→

Применим формулу grad u (M0 )= {u′x (M0 ); u′y (M9 ) }= {− 3; 30} и

→

получим grad u (M0 ) = {− 3; 30}.

§12. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Рассмотрим функцию

z = f (x, y). Графиком функции является

некоторая поверхность

А

пространстве. Пусть

в

трехмерном

M0 (x0 , y0 , z0 )− точка на данной поверхности.

И

Касательной плоскостью к поверхности

z = f (x, y) называется

плоскость, в которой лежат все прямые-касательные к различным

б

кривым, проведенным через точку M0 на поверхности z = f (x, y) с

точкой касания M0 (рис. 13).

Д

и

С

Рис. 13

Нормалью к поверхности

z = f (x, y) называется прямая, пер-

Рис. 14

Д

Уравнения касательной плоскости и нормали зависят от способа

задания поверхности.

M0 (x0 , y0 , z0 )−

I. Пусть поверхность задана явно:

z = f (x, y),

точка на данной поверхности, т.е.

z

0

= f (x

0

, y

0

). Тогда уравнение ка-

сательной плоскости имеет вид

И

z = z0 + fx′

M0 (x − x0 )+ f y′

M0 (y − y0 ).

(27)

Уравнение нормали имеет вид

плоскости

x − x0

=

y −

y0

=

z − z0

.

(28)

f ′

f ′

−1

x

M0

y

АM

0

II.

Пусть

поверхность

задана

неявно:

u (x, y , z ) = 0,

M

0

(x

0

, y

0

, z

0

)−

очка на данной поверхности. Тогда уравнение каса-

б

тельной

меет в д

u′x

M

0

(x − x0 )+ u′y

M0 (y − y0 )+ u′z

M

0

(z − z0 ) = 0.

(29)

Уравнение нормали имеет вид

С

x − x

0

=

y − y

0

=

z − z

0

.

(30)

u′x

u′y

u′z

M0

M0

M0

ности z =

x2

− y2 в точке M0 (2, −1,

1).

2

Решение. Функция

задана явно.

Используем для

составления

И

уравнения касательной плоскости и нормали формулы (27) и (28).

Вычисляем частные производные:

′

x2

2

′

1

′

− y

zx =

x = 2 x = x ;

zx (M0 ) = 2;

2

2

Д

′

x2

2

′

′

(M0 ) = −2 (−1) = 2.

− y

zy

=

2

y = −2 y ;

zy

Составляем уравнение касательной плоскости по формуле (27):

z = 1+ 2 (x − 2)+ 2 (y +1).

б

Прео разуем уравнение:

уравнение

z = 1+ 2 x −

4 + 2 y +1;

Аz = 2 x + 2 y − 2 .

Составляем уравнен е нормали по формуле (28):

x − 2

=

y +1

=

z −1

.

2

2

−1

M0

Итак,

касательной плоскости к поверхности в точке

имеет

вид

z = 2 x + 2 y − 2 .

Уравнение нормали

имеет вид

x − 2

=

y +1

= z −1 .

2

2

−1

2. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к сфере

Сx + y + z = 9 в точке M0 (1,2,2) .

2

2

2

уравнения касательной плоскости и нормали формулы (29) и (30).

Т.к.

частные производные

функции u = x2 + y2 + z2 − 9 в точке

M0 (1,2,2)

равны

u′x

M0

= 2x

M0

= 2;

u′y

M0

= 2y

M0

= 4;

u′z

M0

= 2z

M0

= 4 ,

то уравнение касательной плоскости имеет вид

И

2(x −1) + 4( y − 2) + 4(z − 2) = 0

или

2x + 4y + 4z −18 = 0 ;

уравнение нормали имеет вид

x −1

=

y − 2

=

z − 2

.

2

4

4

3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверх-

ности 3 x y z − z3

= a3 в точке M0 (0, a).

Д

Решение. Функция задана неявно. Используем для составления

уравнения касательной плоскости и нормали формулы (29) и (30).

Вычисляем z0 . Для этого подставим координаты точки M0 (0, a)

в уравнение поверхности:

А

3a 0 z − z3 = a3 ;

z

3 = −a3

;

z

0

= −a .

б

Введем теперь функцию

F = 3 x y z − z3 − a3 ,

полученную

из

уравнения

. Ищем ее частные производные и их значения

в точкеповерхностина

M1

(0, a, − a):

С

′

Fz′ = (3 x y z − z3 − a3 )′zx = 3 x y − 3 z2 ;

Fx′(M1 ) = 3 0 a − 3(− a)2 = −3a2 .

И

Составляем уравнение касательной плоскости по формуле (29):

(− 3a2 ) (x − 0)+ 0 (y − a)+ (− 3a2 ) (z + a) = 0;

Далее упрощаем уравнение, приходим к виду касательной плос-

кости:

Д

x + z + a = 0.

А

Уравнение нормали составляем по формуле (30):

x − 0

=

y − a

=

z + a

.

− 3a2

0

− 3a2

б

и точ-

4. Даны функция двух переменных z = x3 + 8y3 − 6xy + 5

ка M0 (−1;1). Составить уравнение касательной плоскости и нормали

к поверхности

z

в точке

M0 .

Решение

уравнение

поверхности к

виду

.

Прео разуя

x3 + 8y3 − 6xy + 5 − z = 0

о означив

его

левую

часть

через

F(x, y, z), найдём частные производные:

С

Fx′ = 3x2 − 6y ;

Fy′ = 24y2 − 6x ;

Fz′ = −1.

Вычислим

их значения в

данной

точке

Fx′ (M0 ) = −3;

Fy′ (M0 ) = 30 и значение z0 (M0 ) = 18.