§16. Контрольные работы по разделу «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных»

1

Вариант 1

И

1. Найти частные производные первого порядка функций двух

переменных: a)

z = x2 y2 ;

б)

z = x cos y .

2. Найти производную функции z = 1/

в точке M 0 (1; 4) по на-

xy

правлению вектора l (1; −1) .

3.

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

верхности z = 2xy−3x2 −2 y2 +10

в точке

(1; −1).

4. Найти с помощью полного дифференциала приближённое зна-

чение выражения

.

3

3,98

8,02

5. Исследовать функцию

z = x2 + y2 − 2x + 4y +1 на экстремумы.

б2 2

Д2

Вариант

1.

Найти частные производные первого порядка функций двух

выражения

z = x sin y

переменных: а)

z

=

;

)

.

xy

2.

Аz =

xy

в точке M0 (1;9) по на-

Найти про зводную функции

правлен ю вектора l

(1; 1) .

Состав

ть уравнен е касательной плоскости и нормали к по-

3.

верхности z = 2xy − y + x

в точке Д (3;1).

4.

Найти

помощью полного дифференциала приближённое зна-

чение

1

.

4,01

3

8,02

5.

Исследовать функцию

z = x2 + xy + y2 −13x −11y + 7 на экс-

тремумы.

z =

y2

б) z = xtgy .

переменных: a)

;

x

2

И

2.

Найти производную функции

z = cos xy

в точке M 0 (0; π ) по

направлению вектора l (1; −1) .

6

3.

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

верхности z = xy + 2x − y

Д

в точке Д (2; 2).

4.

Найти с помощью полного дифференциала приближённое зна-

чение выражения

4,03

3

1,02

.

5.

2

А

Исследовать функцию z = 2xy

− 3x2

−

2y2 +10 на экстремумы.

Вариант 4

1. Найти частные производные первого порядка функций двух

б2

2

переменных: а)

z =

xy

;

) z = x ctg y .

ln x

в точке M 0 (−1; 4) по

2.

Найти производную функции

z = x

y

Составить

направлению вектора l (1; −1) .

3.

уравнение касательной плоскости и нормали к по-

верхности z = x2 + xy+ y

−6x−9y в точке Д (–1; 1).

4.

Найти

помощью полного дифференциала приближённое зна-

чен е выражен я

3

0,96

9,04

.

5.

Исследовать функц ю z = x + xy + y

+ x − y +1 на экстремумы.

Вариант 5

1.

Найти частные производные первого порядка функций двух

переменных:

а)

z =

xy ;

б) z = x ln y−1 .

2.

Найти производную функции

z =

1

в точке M 0 (1; 4) по на-

С

xy

правлению вектора l (1; −1) .

4

чение выражения

.

И

1,032 + 2,972

5. Исследовать функцию

z = 1+ 6x − x2

− xy

− y2 на экстремумы.

Вариант 6

1.

Найти частные производные первого порядка функций двух

z =

переменных:

а)

xy

;

б) z = xe y .

x

+ y

2.

Найти производную функции z =

1

в точке M 0 (1; 4) в на-

xy

А

правлении, составляющем с осью абсцисс угол α = 450 .

3.

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

верхности z = x

y − x2 − y +6x+3 в точке

(4; 1).

4.

б

Найти с помощью полного дифференциала приближённое

значение выражения cos 460 cos590 .

Д

5. Исследовать функцию z = x2

+ xy + y2 − x − 2y на экстремумы.

Найти

Вариант 7

1.

частные про зводные первого порядка функций двух

С

xy

) z = xexy .

переменных:

)

z =

;

x − y

2.

про зводную функции z =

1

в точке M 0 (1; 1) в на-

xy

правлении, составляющем с осью абсцисс угол α = 1350 .

3.

оставить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

верхности z =

x2 + y 2 − xy

в точке Д (3; 4).

4.

Найти с помощью полного дифференциала приближённое

переменных:

а)

z =

x + y

;

б)

z = 6xy .

x + y

И

2.

Найти производную функции z = ln(ex + ey ) в точке M0

(0;0) в

направлении луча, образующего угол в 600

с осью Ох.

3.

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

верхности z = 2x2 + y2 в точке Д (1; 4).

4.

Найти с помощью полного дифференциала приближённое

значение выражения

sin 460 cos590 .

5. Исследовать функцию z = x2

+ xy − y2 − x − 2y на экстремумы.

А

Вариант 9

1.

Найти частные производные первого порядка функций двух

переменных:

а)

z =

x − y

;

)

z = x2 y2 − x2 y + xy2 .

x + y

Д

(1; 4)

2.

Найти производную функции

z = xy M

0

в на-

в точке

правлении луча, о разующего угол в α = 450 с осью Ох.

3.

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

верхности z = 2x 2 −4y 2 в точке Д (2; 5).

4.

Найти с помощью полного дифференциала приближённое

значен е выражен я

sin 320 cos590 .

5.

Исследовать

функцию

z = −3x2

+ 4xy +14x − 5y2 − 22y на

экстремумы.

б

Вариант 10

Найти1. частные производные первого порядка функций двух

переменных:

а)

z =

x − y

;

б) z =

1 x2 y2

− 2xy + 2y .

xy

2

2.

Найти

производную

функции

z = x3 − 2y2

+ xy

в

точке

СM (1; −1)

α = 300

с осью Ох.

0

в направлении луча, образующего угол в

переменных: а) z = x2 y2 − x2 y + xy2 ;

) z = 10xy .

С

2. Найти про зводную функции

z = xy в точке M 0 (1; 4) в на-

правлен

луча, образующего угол в 450 с осью Ох.

3.

остав ть уравнен

е касательной плоскости и нормали к по-

верхности z = xy+4 y2

−2x

в точке Д (3; –1).

Найти4. с помощью полного дифференциала приближённое

значение выражения

1

.

3

4,01

8,02

5. Исследовать функцию

z = x2 − xy + y2 − x − 2y

на экстремумы.

переменных: а)

z =

x + y

;

б) z = x3 y2 − 3xy − y2 .

x + y

z = 6xy

И

2.

Найти производную функции

в точке

M0

(1; −1)

в на-

правлении луча, образующего угол в 300 с осью Ох.

3.

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

верхности z = xy+ x− y в точке Д (5; –1).

4.

Д1

Найти с помощью полного дифференциала приближённое

значение выражения

4,03

3

1,02

.

5. Исследовать функцию z = −3x2 + 6x + y2 −12y − 2 на экстремумы.

А

Вариант 14

1.

Найти частные производные первого порядка функций двух

переменных: а)

z =

x − y

;

) z = xexy .

x + y2 −1

2.

Найти производную функции

z =

в точке M 0 (1; 1)

в на-

xy

Составить

с осью Ох.

правлении луча,

разующего угол в α = 1350

3.

уравнение касательной плоскости и нормали к по-

верхности z = 6 − x

2

− 2y

2

в точке Д (5; –3).

4.

Найти

помощью полного дифференциала приближённое

С

0

значен е выражен я

3

0,96

9,04

.

5. Исследоватьбфункц ю z = 2x2 + 4xy − 3y2 −10y на экстремумы.

Вариант 15

1.

Найти частные производные первого порядка функций двух

переменных: а)

z =

x + y

; б) z = x2 y2

− 3xy .

x + 4y2

−1

2.

Найти производную функции

z =

xy

в точке

M (1; 1)

в на-

x + y

4.

Найти с помощью полного дифференциала приближённое

значение выражения 0,971,05 .

5.

Исследовать функцию

z = x2 + y2 − 6x + 8y на экстремумы.

Вариант 17

выражения

1.

Найти частные производные первого порядка функций двух

переменных: )

y

x

z = cos(2xyА) ; ) z = x + y .

2.

Найти

про зводную

функции

z = x2 − xy − 2y2 в точке

С

M 0 (1; −1)

направлен , составляющем с осью Оx угол в 600 .

3.

Составбть уравнен е касательной плоскости и нормали к по-

верхности

z = x2 + y 2 − x− y в точке Д (–1; 2).

4.

Найти с помощью полного дифференциала приближённое

значение

2,022 1,982 .

5.

Исследовать функцию

z = 2x − 2y − x2 − y2 + 6 на экстремумы.

переменных: а) z = sin xy ;

б)

z =

y

.

3x

И

2. Найти производную функции z = sin xy

в точке M 0 (0; π ) в на-

правлении вектора l (1; −1) .

6

3. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

верхности z = 4(x− y)− x2 − y2

в точке

(–2; 2).

4. Найти с помощью полного дифференциала приближённое

значение выражения

3,04 0,99 .

5. Исследовать функцию

z = x2 + xy + y2 − 2x − y на экстремумы.

Вариант 19

1. Найти частные производные первого порядка функций двух

2y

x

б

. Д

переменных: а) z =

tgx

; )

z

= sin

y

2. Найти производную функции z = x

y

в точке M 0 (−1; 4) в на-

правлении вектора l (1; −1) .

3. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

верхности z = − x2 + xy+8x−А5 в точке Д (–2; –1).

4. Найти с помощью полного дифференциала приближённое

значен е выражен я

2,011,02 .

5. Исследовать функц ю

z = x2 + y2 + 4x − 4y + 3 на экстремумы.

Вариант 20

Найти1. частные производные первого порядка функций двух

переменных; а) z = 2xy −

y

; б) z = x cos 2y − sin 3x .

x

2. Найти производную функции z =

2xy + y2

в точке M 0 (1; 4) в

С

l (1; −1)

.

направлении вектора

3. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

верхности z = (x

2 + y2 ) / 4 в точке Д (3; –1).

4. Найти с

помощью полного дифференциала приближённое

значение выражения 3,0013 2,992 .

5.

Исследовать функцию

z = 4x + 5y − x2

И

− xy

− y2

+

4

на экс-

тремумы.

Вариант 21

1.

Д

Найти частные производные первого порядка функций двух

переменных:

а) z = 2 x2 −2y +1;

б) z = ln

x

.

y2

y

2.

Найти производную функции

z = x2 y −

xy

в точке M 0 (1; 4) в

А

450 .

направлении, составляющем с осью абсцисс угол α =

3.

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

верхности

z = x2 +3xy+ y 2

в точке

(2; –1).

4.

Найти с помощью полного дифференциала приближённое

значение выражения

1,012 + 2,023 .

5.

Исследовать функцию

z = 3x + 9y − x2 − xy − y2 − 4

на экс-

тремумы.

Найти

Вариант 22

1.

Найти частные про зводные первого порядка функций двух

переменных:

а) z = sin(2x − y); б) z = ln(ex

+ e−x ) .

С

про зводную функции

z

1/

xy

в точке

0

в на-

2.

б

=

M

(1; 4)

правлен

б

ссектр

сы 1-го координатного угла.

3.

остав

ть уравнен

е касательной плоскости и нормали к по-

верхности

z =

x

2 + y2

в точке Д (2; –4).

4.

Найти с помощью полного дифференциала приближённое

значение выражения

4

.

1,032 + 2,972

5. Исследовать функцию

z = 1+ 6x − x2 − xy − y2

на экстремумы.

Вариант 23

1.

Найти частные производные первого порядка функций двух

переменных:

а) z = cos2 (x − y) ; б) z = 5+2x+ y2 − x.

2.

Найти производную функции z = 1/

в точке M 0

(1; 1)

в на-

xy

И

правлении вектора, образующего с осью Ох угол 600 .

3.

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

верхности z = x3−3xy + y3

в точке Д (–1; –1).

4.

Найти с помощью полного дифференциала приближённое

значение выражения

4,052 + 2,932 .

Д

5.

Исследовать функцию

z = 13y +11x − xy − x2

− y2 + 5 на экс-

тремумы.

А0 0

Вариант 24

1.

Найти частные производные первого порядка функций двух

переменных:

а) z =

y2 +6x

− x2 ;

б)

z = ln cos xy .

б

2

2.

Найти производную функции z

=

3 y

−

9xy

+

y

в точке

M

0

(1; 1)

в направлении вектора, о разующего с осью Ох угол 600 .

3.

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

Найти

в точке Д (4; –1).

верхности z

= 3 y2 −9xy+ y

4.

Найти с помощью полного дифференциала приближённое

значен е выражен я

sin 32

cos59 .

5. Исследовать функц ю z = 6x − 8y − x2

− y2 −17 на экстремумы.

С

Вариант 25

1.

частные производные первого порядка функций двух

переменных:

) z = 2x − 3xy2 ;

б)

z = arcsin xy .

ции двух переменных z =

x − y

.

Д

x2 + y2 −1

2. Найти все частные производные второго порядка функции

двух переменных z = arctg xy .

3. Найти градиент функции z

=

x

3

−

2y

2

+

xy в точке

M

0

(1; −1)

.

4. Найти с помощью полного дифференциала приближённоеИзна-

чение выражения

1

.

3

3,98

8,02

2

2

б