Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2231.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

4.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3121 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

бому отрезку, не содержащему 0, например при вычислении интегра-

ла ∫2 dx 2 , то в качестве первообразной можно было бы выбрать и

1 1+ x

функцию y = arctgx, и функцию

y = arcctg

1 .

Итак, ∫

+ x

−11

§30. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Рассмотрим интеграл

∫ f (x)dx . Выполним замену

x = ϕ (t) ;

dx = ϕ ' (t)dt

при условиях:

а)

x = ϕ (t) непрерывно дифференцируема на [A;

B].

б)

[a; b] − множество значений функции x = ϕ(t);

в)

y = f (x) непрерывна на [a; b].

Тогда верна формула замены переменнойДв определенном интеграле

Вычи

(59)

∫ f (x) dx = ∫ f (ϕ (t)) ϕ ' (t)dt ,

где a = ϕ (A) ; b = ϕ (B) .

Пр меры.

сл ть определенные интегралы, используя формулу заме-

ны переменных (59).

Решен я.

замена

t = x2 +1;

∫

xdx2

dt = 2xdx;

∫ dt

= 1 ln

= 1 (ln 2

− ln1)= ln

1 + x

при x = 0

t =1;

1 t

при x =1

t = 2.

219

	a									x = asint;					π
2.	a														∫2 sin2 t cos2 tdt =
2.	∫ x		2		a2		− x2 dx			dx = acostdt;			= a4		∫2 sin2 t cos2 tdt =
	0									при 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ t		≤ π .			0
										при 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ t		≤ π .
												2
=	a2 π		2	sin		2	2tdt	=	a4 π 2			a4		1		π 2	=
	a2 π		2			2			a4 π 2			a4		1		π 2
	4	∫							8		∫ (1− cos 4t)dt =	t −		4	sin 4t
	4	0							8		0	8		4		0
																0

=a4 π = πa4 . 8 2 16

Проверим правильность выполнения замены переменных в при-

мере 2.

а)

Функция замены переменных x = a sin t

дифференцируема

x'= acost –

на 0;

; ее производная

непрерывна на 0;

;

до π

б)

при изменении t

от 0

функция замены переменных

x = asint возрастает от 0 до a ;

в)

подынтегральная функция f (x) = x2

a2 − x2

– непрерывна на

[0; a].

Итак, замена выполнена верно.

= π .

∫dx = x

С0

Рассмотр

мбтеперь другой способ решения:

t = tgx;

иdx

;

∫ dx

= ∫

∫

cos2 x

x + cos

cos

x(1+ tg

0 sin

x = 0 t = 0;

x = 0 t = 0.

= ∫

= 0 ≠ π.

0 1+ t

220

Итак, интеграл вычислен двумя способами, причем результаты

вычислений получились разными. Значение интеграла 0 (т.е. второй

вариант решения) неверно, так как замену t = tgx

в данном примере

использовать нельзя:

функция

замены

t = tgx

разрывна

при

x = π [0, π ], т.е. нарушено условие а) теоремы о замене переменной в

определенном интеграле.

4. Вычислим интеграл

двумя способами, сравним ре-

−∫2 x

+ 4

зультаты расчетов.

(arctg1− arctg(−1)) =

a) ∫

arctg

−

;

+ 4

−2 x

−2

x =

;

dx = − tdt2

;

б) ∫

= −

∫

= − ∫

−2 x

x = −2, t = −

;

− 12 t2

4 +

− 12 4t

решении

1 .

2, t

= − 1 arctg2t

= −

π ≠ π .

− 1

Результаты выч слен я разные, значит, по крайней мере одно

решение является ошибочным.

Во втором

мы получили ошибочный результат,

так как

замена x = 1

не может быть использована, потому что t = 0 [− 2; 2] −

точка разрыва, принадлежащая интервалу интегрирования.

221

§31. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Рассмотрим функции u = u(x); v = v(x), − непрерывные вместе
со своими производными	u'(x), v'(x)		на отрезке		интегрирования
[a, b]. Используем свойство дифференциала произведения
	d(uv) = du v + u dv ,			И
	d(uv) = du v + u dv ,
или udv = d(uv) − v du .		Д
Проинтегрируем это равенство по отрезку				[a,	b], получим ра-
венство
b	b		b
∫udv = ∫ d(uv) −			∫vdu .			(60)
a	a		a

, из равенства (60), получаем фор-

Т.к.

∫ d(uv) = ∫ (uv)'dx =(uv)

мулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

(61)

∫udv = uv

− ∫vdu .

Пр меры.

Выч сл ть определенные интегралы, используя формулу интег-

рирован я по частям (61).

Решен я.

u = x, du = dx;

1. ∫ xexdx =

dv = e

dx,

v = e

= xex

− ∫ exdx = (e − 0) − ex

= e − (e − e0 ) = e0 = 1.

222

	e			dx			e	e			e


2.	∫ ln xdx =	u = ln x,	du =	x	;	= x ln x	1	− ∫ x dx		= (e ln e −1ln1)	− ∫ dx =
	1	dv = dx, v = x.					1	1	x		1

= e − (e −1) = 1.																											И
= e − (e −1) = 1.
	1											u = arctgx,				du =		dx	;								1	1	xdx


3.	∫ arctgxdx =																						= xarctgx					− ∫			=
																		1+ x2
																		1+ x2											2
	0											dv = dx, v = x.															0	0 1+ x
												dv = dx, v = x.															0
= (arctg1− 0) −													1 ln	x2	+1	1	π	− 1 (ln 2						− ln1) = π				− ln
																1
																=														2.
													2			0	4	2								4
													2			0	4	2								4
								Задачи для самостоятельного решения
Вычислить определенные интегралы.
	1								б											π
																				π
1.	2		x	2 dx .																2
1.	∫		x	2 dx .														2.Дsin x dx.
	∫																			∫
	−1																			0
	1
и																		4.			∫				dx	2 .
3.	∫2					dx			2 .									4.			∫				dx	2 .
															А							3
	1				1− x															1					1+ x
	−2				1− x																	3
	ln 2																		π
5.	∫ x e−x dx .																	6.	∫ x sin x dx .
	0																		0
																							3
7.	∫ arccos x dx .																	8.		∫ x arctg x dx .
	0					x dx														0					x (2 − x2 )12 dx .
9.	1					x dx				.								10.		1
9.	∫									.								10.					∫
	∫				5 − 4 x																		∫
	−1				5 − 4 x															0
11. ∫				2			x dx .											12. ∫(x ln x )2 dx.
		1																			e
		−1		x			+ x +1													0
																						π
		9																		2
С13. x								1− x			dx.							14.						sin x sin 2x sin 3x dx .
		∫		3																			∫
		∫																					∫
		1																		0

223

	−1		d x																		π		2
15.	∫							.										16.			∫(x sin x)			dx.
15.	∫							.										16.			∫(x sin x)			dx.
	−2 x			x2 −1																	0
	1																				ln 2
17.	∫ x15 3 1+ 3x8 dx .																	18.			∫ 1− ex			dx .
	0																				0			И
Ответы:																								И
Ответы:																								π .
1. 3.								2. 1.														3.		π .
4. π .									1 ln e .															3
4. π .								5.	1 ln e .													6.		π .
6									2		2									Д
6									2		2
7 . 1.								8.	2π		−			3		.						9.		1 .
7 . 1.								8.		3	−	2				.						9.		1 .
										3		2												6
10. 315			1		.			11.		1 ln 3			−			π			.			12.			5	e3 −			2	.
10. 315					.			11.		1 ln 3			−						.			12.				e3 −				.
		26								А														27				27
		26								2					2		3							27				27
13. − 66 6 .								14.		1 .												15. − π .
	π 3	7								6														3
	π 3			π						29																	π
						Несобстве
16.	6	−		4			.	17.		270		.										18. 2 −					2	.
§32. Несо ственные интегралы
и																						+∞
Собственным								нтегралом (								пределенным интегралом в собст-

венном смысле слова) называется интеграл от непрерывной функции по конечному отрезку. При нарушении хотя бы одного из этих усло-

в й получаем несо		нный интеграл.
С		нные интегралы I рода

	( нтегралы с бесконечными пределами)
		(видео 4)
Несобственным интегралом I рода (интегралом с бесконечным
пределом интегрирования) называют интеграл ∫ f (x)dx , где подынте-
		a
гральная функция f (x)		непрерывна на [a, + ∞).

Несобственным интегралом I рода называют число, равное пределу

224

+∞

С, интеграл сходится;

f (x)dx

(62)

∫ f (x)dx =

lim ∫

∞, интеграл расходится к ∞;

N→+∞ a

не существует, интеграл расходится.

Если этот предел существует и равен числу С, то говорят, что

несобственный интеграл сходится и равен С:

+∞

f (x)dx = C .

∫

Если предел не существует или равен ∞, то говорят, что инте-

+∞

грал ∫ f (x)dx расходится.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

[a,

+ ∞). Тогда

Пусть f (x) ≥ 0 на

∫ f (x)dx = S(N)

, значение ин-

теграла равно площади криволинейной трапеции.

+∞

f (x)dx =

lim

S(N) , и несобственный интеграл равен пло-

Тогда ∫

N →+∞

щади криволинейной трапеции с бесконечным основанием (рис.29).

S (N)

N → +∞

Рис. 29

Пр меры.б

Выч сл ть несобственные интегралы, определить их сходимость.

Решен я.

несобственных интегралов находим по определению,

Значение

т.е. по формуле (62).

+∞

−x dx

= lim

lim (− e−x )

1. ∫ e

∫ e−x dx

N →+∞

−N

lim (− e

+1)=

−

= 1.

lim

N→+∞

→+∞

225

Это значит, что несобственный интеграл сходится, равен 1. С

геометрической точки зрения найдена площадь ST = 1 криволинейной

трапеции T (рис. 30)

y =

Рис. 30

+∞ dx

N dx

(ln

N − ln1)= +∞.

2. ∫

lim ∫

= lim

lim ln x

N→+∞ 1 x

N→+∞

Т.е. интеграл расходится к бесконечности . ST

= +∞ (рис. 31).

y = x

Рис. 31

+∞

3. ∫sin xdx = Nlim→+∞

− cos x

∫sin xdx = Nlim→+∞

= lim (− cos N + cos 0)

lim (1− cos N).

N→+∞

Предел не существует, т.е. интеграл расходится, его значение не

определено.

Несобственным интегралом ∫

f (x)dx называется предел

−∞

226

	a		= lim		a				(63)
	∫ f (x)dx		= lim		∫ f (x)dx .				(63)
	−∞		N→−∞ N
Сходимость или расходимость в этом случае определяются так
же, как в предыдущем определении (62).								И
Несобственный интеграл			+∞					И
Несобственный интеграл			∫ f (x)dx разбивается в сумму
			−∞
	a			+∞		,			(64)
	∫ f (x)dx			+ ∫	f (x)dx	,			(64)
	−∞			a	Д
	−∞			a
где a – произвольное число.
Интеграл	+∞
Интеграл	∫ f (x)dx сходится, если сходятся оба указанных инте-
	−∞	А
	−∞
							+∞
грала. Если хотя бы один из них расходится, то							∫ f (x)dx расходится.
							−∞
Основные свойства интегралов с бесконечными пределами
				+∞	f (x)dx		+∞	f (x)dx сходятся или
1. Несо ственные интегралы ∫					f (x)dx	и	∫	f (x)dx сходятся или
расходятся одновременно.				a			b
расходятся одновременно.
Действ тельно, свойство 1 получается из равенства, показы-
вающего связь эт х нтегралов:
С		(x)dx + b f (x)dx =				b
+∞ f (x)dx = +∞ f		(x)dx + b f (x)dx =				b	f (x)dx + С
∫	б∫			∫		∫
a	b			a		+∞

				собственный
				интеграл
+∞	N	lim	(c N − c a) =			+ ∞ ,
и2. cdx = lim cdx =		lim	(c N − c a) =			+ ∞ ,
∫	N→+∞ ∫	N→+∞
a	a

значит, интеграл расходится (рис. 32).

227

		c
			S =+∞
			a
			Рис. 32			+∞
3. Если						+∞
3. Если	f (x) ≥ 0, то несобственный интеграл					∫ f (x)dx либо схо-
дится, либо расходится к бесконечности.						a
дится, либо расходится к бесконечности.
Действительно, интеграл с				переменным		верхним пределом
N
Ф(N) = ∫ f (x)dx является возрастающей функцией. При N → +∞ вся-
a
кая возрастающая функция стремится к конечному пределу или к + ∞
(рис. 33).						И
						И
			Ф(N)
			a	N →+∞
			Рис. 33		Д
			Рис. 33
4. Признак сравнения несо ственных интегралов неравенством.
Пусть f (x)		ϕ(x) – непрерывные на [a, + ∞) функции, причем
выполняется неравенство			А
выполняется неравенство			0 ≤ f (x) ≤ ϕ(x) на [a, + ∞). Тогда
	+∞			+∞
а) если	∫ϕ	(x)dx сход тся, то		∫	f (x)dx тоже сходится;
	a			a
	+∞ б			+∞
б)	∫ f (x)dx расходится, то				∫ϕ(x)dx расходится (рис. 34).
	a				a
если				y = ϕ (x)
С a				y = ϕ (x)
					y = f (x)

Рис. 34

228

5. Признак сравнения отношением.

Если lim

f (x)

= k , причем k ≠ 0;

k ≠ ∞, то несобственные ин-

x→+∞ g(x)

+∞

тегралы ∫ f (x)dx и

∫ g(x)dx сходятся или расходятся одновременно.

Хотя, в случае сходимости, значения этих интегралов могут су-

щественно различаться, даже в случае k =1 и

a = b .

Чаще всего исследование сходимости несобственных интегра-

лов на основании признаков сравнения неравенством или отношени-

ем проводят сравнением с интегралом

+∞

. Выясним сходимость

∫

этого интеграла в зависимости от

Если p =1, то

+∞dx

= lim

N dx

lim

(ln

− ln1)= +∞,

∫

N →+∞

N→+∞

т.е. интеграл расходится.

Если p >1, то интеграл сходится:

+∞ dx

lim N x− p dx = lim

Если

N →+∞

(1 − p)x p−1

∫

x p

N →+∞ ∫

lim

N →+∞

1 − p

N p−1 −1

p −1

1, то

p <

+∞

lim

N x− p dx = lim

(N1− p −1)= +∞,

∫

N→+∞

∫

N→+∞ 1− p

интеграл расходится.

229

Итак, получили, что сходимость интеграла зависит от p:

+∞

сходится при p > 1;

(65)

∫1 x p

расходится при p ≤ 1.

+∞

6. Если несобственный интеграл

∫

f (x)

dx сходится, то несобст-

венный интеграл

+∞

f (x)dx

также сходится. В этом случае

+∞

f (x)dx

∫

называется абсолютно сходящимся, а функция

y = f (x) − абсолютно

интегрируемой на

[a, + ∞).

Примеры.

Исследовать сходимость интегралов.

Решения.

+∞

∫

3 x2 +1

+∞

. Так как p =

Используем для сравнения интеграл ∫

< 1, то

этот интеграл расходится (65).

Заметим также, что

≠

lim

А= lim = 1

x→+∞

x→+∞ x

≠ ∞

поэтому, спользуя пр знак 5, устанавливаем расходимость иссле-

дуемого

нтеграла.

+∞

∫

x3 +1

+∞

Интеграл

сходится,

т.к.

сходится

интеграл

∫

+∞

+∞ dx

x3 +1

(65).

∫

x32

230

Кроме того,

= 1 ≠ 0 ,

x3 +1

lim

= lim 3

x→+∞

≠ ∞

x3+1

что позволяет использовать признак 5 и сделать вывод о сходимости

исследуемого интеграла.

+∞sin x

dx .

3. ∫

+∞sin x

Интеграл

сходится

абсолютно, т.к.

+∞ dx

( p = 2 >1)

∫

sin x

сходится (65)

и верно неравенство

≤

(использовали признак

А∫

сравнения неравенством 1 для и сследования сходимости исходного

интеграла).

Несобственные интегралы II рода (интегралы

с бесконечными разрывами подынтегральных функций)

Рассмотрим функцию

y = f (x) , определенную и непрерывную

на конечном интервале [a, b). При этом в точке b , например, функция

Если

имеет разрыв.

нтегралом b

Несо ственным

f (x)dx от функции, разрывной в

точке b , называется ч

сло, равное пределу

f (x)dx = lim

(66)

∫

∫ f (x)dx .

t→b−0

предел существует и равен числу, то говорят, что интеграл

∫ f (x)dx сходится. В остальных случаях интеграл расходится.

231

Геометрический смысл несобственного интеграла II рода

на [a, b)

При

f (x) ≥ 0

несобственный интеграл ∫ f (x)dx (66) ра-

вен площади криволинейной трапеции с бесконечной высотой (рис. 35).

y = f (x)

t → b

Рис. 35

Пусть функция

y = f (x) определена и непрерывна на интервале

(a, b]. Пусть также в точке a

функция имеет разрыв. Тогда

f (x)dx = lim

(67)

∫

∫ f (x)dx .

t→a+0

Сходимость и расходимость определяются так же, как в пред ы-

дущем определении.

определена, непрерывна на [a, b],

Пусть теперь функция y = f (x)

кроме

c (a, b),

в которой функция имеет разрыв 2-го

рода. То-

гда ∫ f (x)dx раз

вается в сумму двух несобственных интегралов

(68)

∫ f

(x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx .

точки

С a

Рис. 36

232

	b
Считаем, что	∫ f (x)dx сходится, если сходятся оба интеграла
	a

c				b															b	f (x)dx является расходящимся
∫ f (x)dx		и ∫				f (x)dx . Иначе интеграл													∫	f (x)dx является расходящимся
a				c															a
(рис. 36).
					Задачи для самостоятельного решения (видео 5)
Вычислить несобственные интегралы или определить их сходимость.
						2														Д
+∞ d x																					1												И
1.	∫				2 .														2.		∫ ln x dx .
	a x				dx																0				dx
+∞					dx															1					dx
3.	∫										.								4.	∫											.
							2
							2
−∞ 1				+ x														А											2
−∞ 1				+ x																−				1− x					2
																					1			1− x
+∞						d x														+∞					d x
5.	∫			2		+ x						− 2			.				6.	∫			1		+ x			3	.
	2 x					+ x						− 2								0			1		+ x
+∞ x				2 +			1													1							d x
										б
7.	∫			4		+	1				dx .								8.	∫	(2				− x) 1							− x		.
	0 x					+	1													0	(2				− x) 1							− x
+∞ sin							x dx														2				dx
9.	∫													.					10.			∫						.
9.	∫					x								.					10.			∫		ln x				.
	0					x															0			ln x
и																										arctg x dx
		+∞						dx														+∞				arctg x dx
11. ∫				x		3			x			2	+	1		.			12.				∫						x		3			.
	1			x					x				+	1									0
Ответы:
С																	2.	−1.								3. π .
1.	1 .																2.	−1.								3. π .
	a																	2 ln 2 .												2π
4. π .																	5.	2 ln 2 .							6.								.
		π																3											3			3
		π																π
7 .					.												8.	2 .								9. Расходится.
7 .			2		.												8.	2 .								9. Расходится.
10. Расходится. 11. Сходится.																										12. Расходится.

233

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3121 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20214.26 Mб12227.pdf
#
07.01.20214.27 Mб722228.pdf
#
07.01.20214.28 Mб12229.pdf
#
07.01.2021357.88 Кб1223.pdf
#
07.01.20214.29 Mб42230.pdf
#
07.01.20214.29 Mб62231.pdf
#
07.01.20214.31 Mб82232.pdf
#
07.01.20214.32 Mб02233.pdf
#
07.01.20214.32 Mб12234.pdf
#
07.01.20214.32 Mб32235.pdf
#
07.01.20214.32 Mб12236.pdf