Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4609 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
2231.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
07.01.2021
Размер:
4.29 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 2

 

 

 

 

 

Частные производные

 

 

Приращением функции

z = f (x, y),

или полным приращением

функции по переменным x и y в точке M0 , называется разность вида

 

∆z(M0 ) = z(M )− z(M0 ) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f (x0 , y0 ).

 

 

Частное приращение функции z = f (x, y) по переменной x

в

точке M0 , обозначается ∆x z(M0 ) и имеет вид

 

 

∆x z(M0 ) = z(M1 )− z(M

 

 

 

 

Д

 

 

0 ) = f (x0 + ∆x, y0 )− f (x0 , y0 ).

 

 

Частное приращение функции z = f (x, y) по переменной

y

в

точке M0 , которое обозначается символом ∆y z(M0 ), имеет вид

 

 

∆ y z(M 0 )= z(M 2 )−z(M 0 )= f (x0 , y0 +∆y)− f (x0 , y0 ).

 

 

Частными производными функции

z = f (x, y) в точке M0

по

переменной x (или по переменной y) называют пределИотношения ча-

стного приращения функции к соответствующему приращению аргу-

мента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

 

 

 

 

б

 

 

0

 

 

 

 

 

z′x (M0 )

= lim

∆x z(M0 )

=

lim

 

f

(x0 + ∆ x, y0 )− f (x0 , y0 )

;

 

 

 

 

∆x→0

 

∆x

 

 

∆ x→0

 

 

 

∆ x

 

 

z′y (M0 )

= lim

∆y z(M0 )

=

lim

f (x0 ,

y0 + ∆ y)− f (x0 , y0 )

 

 

ли

∆y

 

 

∆ y→0

 

 

 

∆ y

 

 

 

 

∆y→0

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначен е:

z′x (M0 ) = ∂z

, z′y

(M0 ) =

∂z .

 

 

 

 

 

 

 

 

А∂x ∂y

 

 

Ф з ческ й смысл частных производных: частные производ-

ные z′x (M0 ), z′y (M0 )

– это мгновенная скорость изменения функции

С

 

 

 

 

з точки M

 

в направлении, параллельном

z = f (x, y)

при дв жен

 

 

оси Оx

Oy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометр ческ й смысл частных производных: частные произ-

водные z′x

(M0 )

, z′y

(M0 )

равны тангенсам углов α и β , которые об-

разуются между осями координат Ox, Oy и касательными к кривым, образованными при пересечении поверхности z = f (x, y) с плоскостя-

ми y = y

0

и x = x

0

( M

0

– точка касания): z′x (M0 ) = tg α ; z′y (M0 ) = tg β .

 

 

 

 

316

Приложение 3

Частные производные высших порядков

Вторые производные – это производные от первых производных:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

∂

∂ z

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

∂

∂ z

 

 

 

2

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

∂

z

 

 

′

 

 

 

 

 

 

∂

z

 

 

 

 

 

 

 

∂ x

 

 

 

 

 

 

∂ x

 

 

 

 

 

 

(z′x ) x

= z′x′x

=

 

∂ x

 

=

∂ x2

 

;

 

(z′x ) y

= z′x′y =

∂ y

 

 

=

∂ x ∂ y

;

 

 

 

 

 

∂ z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ y

 

 

∂

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

z

 

(z′y )′x = z′y′x

=

 

 

 

=

 

 

;

(z′y )′y = z′y′y

=

 

 

∂ y

=

 

.

 

∂ x

 

∂ y ∂x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ y

 

 

 

∂ y2

 

 

Третьи производные получаются в результате дифференциро-

вания производных второго порядка. Получим восемь производных

 

 

А

 

∂3 z

 

 

третьего порядка: z′x′′x x =

∂3

z

; z′x′′x y =

∂3

z

;

z′x′′y y =

 

и т.д.

 

 

∂ x

3

 

 

∂ x

2

∂ y

 

 

∂ x ∂ y

2

 

Смешанные частные производные второго, третьего и т.д. по-

рядков – это частные производные

z′x′y ; z′y′x ; z′x′′x y ; z′x′′y y , …

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Если частные производные n -го порядка непрерывны,

то смешанные производные одного порядкаД, отличающиеся лишь по-

рядком дифференцирования, равны между собой.

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

317

Приложение 4

Дифференцирование функции нескольких переменных

Дифференцируемая в точке M (x0 , y0 ) функция – это функция z = f (x, y), такая, что область ее определения содержит некоторую окрестность точки M (x0 , y0 ), и для каждой точки M (x, y) из этой окрестности приращение функции имеет вид

∆ z(x , y) = A∆ x + B ∆ y + α ( ∆ x, ∆ y)∆ x + β ( ∆ x, ∆ y)∆ y,

где А и В не зависят от ∆ x и ∆ y ;

α ( ∆ x, ∆ y) и β ( ∆ x, ∆ y) – беско-

нечно малые функции при ∆ x →0; ∆ y →0.

Свойства дифференцируемой функции:

1. Если функция z = f (x, y)

дифференцируема в некоторой точ-

ке, то она непрерывна в этой точке.

 

2. Если функция z = f (x, y)

дифференцируемаИв некоторой точ-

ке M (x, y), то она имеет частные производные в этой точке, причем

z′x (x, y) = A; z′y (x, y) = B .

 

 

 

3. Функция может

непрерывной, но не иметь производных

в этой точке.

 

 

 

Д

Достаточные условия дифференцируемости функции двух

переменных:

если функция

z = f (x, y) непрерывна, имеет в точке

M (x, y) частные производные и эти производные непрерывны в не-

которой

точкиАM (x, y), то эта функция дифференцируе-

ма в этой точке.быть

 

 

окрестности

 

 

 

С

 

 

 

 

318

Приложение 5

Дифференцирование сложных и неявных функций

I. Полная

производная

функции z = f (x, y), если x = x(t ) ,

y = y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III. Дифференцирование неявной функций F(x, y) = 0 одной пе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ременной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А∂ z ∂ y Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ x

 

переменных:

 

 

= −

 

;

 

 

 

 

 

= −

 

.

∂ x

 

 

∂ F

 

 

 

 

 

∂ y

 

∂ F

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ z

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

319

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности