Приложение 21

I. Статические моменты относительно осей Ox и Oy дуги

И

( a ≤ x ≤ b) вычисляются

по

формулам

b

b

dl =

M x = ∫ ydl ;

M y = ∫ xdl ,

где

a

a

кривой.

II. Моменты инерции относительно осей

Ox

и Oy дуги пло-

ской

кривой

y = f (x)

( a ≤ x ≤ b)

Д

формулам

вычисляются

по

b

b

1 + (y ')2 dx

Ix =

∫ y2dl ;

I y

=

∫ x2dl ,

где dl =

– дифференциал дуги

a

a

А

кривой.

III. Статические моменты криволинейной трапеции, огра-

ниченной кривой y = f (x) ,

осью Ox и прямыми x = a ;

x = b, вычис-

ляются по формулам M x =

1 b

1 b

M y

b

=

b

∫ ydS =

∫ y2dx ;

= ∫ xdS

∫ xydx .

б

2 a

a

a

2 a

IV. Моменты инерции криволинейной трапеции, ограничен-

ной кривой y = f (x) ,

осью Ox и прямыми x = a ;

x = b, вычисляются

по формулам Ix

b

I y =

b

b

= 1 ∫ y3dx ;

∫ x2dS = ∫ x2 ydx .

3 a

a

a

V. Коорд наты центра тяжести ( x , y ) однородной дуги пло-

ской

кр вой

y = f (x) ,

a ≤ x ≤ b

вычисляются

по

формулам

1 b

1 b

1 + (y ')2 dx , а L – длина дуги.

x =

∫ xdL ;

y =

∫ ydL , где dL =

С

L a

L a

VI. Коорд наты центра тяжести ( x ,

y )

однородной криво-

л нейной

трапец

вычисляются

по

формулам

1 b

1 b

y =

1 b

ydS =

1 b

y

2

dx .

x =

xdS =

xydx ;

∫

∫

и∫ ∫

S a

S a

2S a

2S a

t1

И

описанной центром тяжести фигуры.

VIII. Работа переменной силы f (x), действующей в направле-

нии

оси Ox на отрезке

[x0 , x1 ], вычисляется

по

формуле

x1

f (x)dx.

A = ∫

Д

x0

IX. Количество электричества Q, протекшего через попереч-

(t1 < t2 ),

[по проводнику течет ток переменной силы I = I (t ),

где

I (t ) ≥ 0 ) ],

t2

А

вычисляется по формуле Q = ∫

I (t )

d t .

б

и

С

Эллиптический

x

2

+

y

2

= 1

цилиндр

a

2

b

2

Гиперболический

x

2

−

y

2

= 1

цилиндр

a

2

b

2

Параболический

x2 = 2py

цилиндр

Сфера

Эллипсоид

x

2

y

2

z

2

b2

c2

Однополостный

x

2

+

y

2

−

z

2

= 1

гиперболоид

a

2

2

2

b

c

Двуполостный

x2

y2 z2

гиперболоид

+

−

= −1

a

b

c

Эллиптический

2

2

лоид

a

b

c

параб

x

+

y

= 2z,

где

p > 0; q > 0

p

q

Г пер ол ческ й

x

2

−

y

2

= 2z

пара оло д

p

С

q

2

2

2

порядка

x

+

y

−

z

2

2

2

декартовой системе координат уравнением второй степени относи-

тельно координат x , y и

z .

И

Эллипсоид

Конус

x2

+

y2

+

z2

= 1

x2

+

y2

−

z2

= 0

+

−

= 1

Двуполостный+ − = −1

c2

a2

b2

c2

гиперболоид

гиперболоид

Однополосный

x2

y2

z 2

x2

y2

z2

a2

b2

c2

a2

b2

c2

и

С

Окончание прил. 22

Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид

x2

+

y2

= 2z .

x2

−

y2

= 2z .

a2

b2

a2

b2

Эллиптический цилиндр

Д

x2

+

y2

= 1.

y2 = 2 px .

a2

b2

б

и

x

2

−

y

2

=

1.

a

2

b

2

С