Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2231.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

4.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3117 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Ответы:

−

+ C.

2(x2 − 3x + 2)2

2x −1

+ arctg(x +1) + C.

2(x2

+ 2x + 2)

x +1

x + 2

arctg

1 −

1 ln(x2 + x +1) + C.

3(x2 + x +1)

3 3

3x −17

+ 1 ln(x2

− 4x + 5) + 15 arctg(x − 2) + C.

2(x2 − 4x +

− x2 + x

1 ln

x +1

−

1 ln(x2 +1) +

1 arctgx + C.

4(x +1)(x2 +1)

− 3arctgx −

x −1

+ C.

4(x4

−1)

x +1

15x5 + 40x3

+ 33x

arctgx + C.

48(x2 +1)3

x −

x −1

2ln(x2

− 2x + 2) + 3arctg(x −1) + C.

бx

− 2x + 2

§24. Интегрирование тригонометрических функций

смотрим

Рас

несколько классов тригонометрических функций и

методы х

нтегр рован я.

Для

нтеграла

∫

f (sin x;cos x)dx

можно применить пригодную

во всех случаях ун версальную тригонометрическую подставку

(УТП)

t = tg

Отсюда

x = 2arctgt;

dx =

2dt

1+ t2

166

Теперь используем тригонометрические формулы

− tg

1− t2

cos x =

;

+ tg

1+ t2

2tg

sin x =

1+ t2

1+ tg

Итак, УТП – это подстановка вида

t = tg

;

2dt

;

1+ t2

(49)

sin x =

; cos x =

− t

1+ t2

Примеры.

1+ t

Вычислить интегралы от тригонометрических функций.

Решения.

2dt

1.∫

УТП

∫

1+ t2

= ∫

3sin x + 4cos x

2dt

+ 4

− t

6t +

4 − 4t

1+ t

+ t

t −

= −

4 = k;

= −

∫

−

t −1

2 ∫

∫

−

dt = dk.

−

− 2

1 ln

t − 2

1 ln

= −

+ C = −

+ C.

167

2.∫

4sin x + 3cos x +

Применяем УТП, получаем

2dt

∫

= ∫

1+ t2

4sin x +

3cos x + 5

+ 3

− t

+ 5

1+ t2

+ t2

= ∫

2dt

8t + 3(1

− t

) + 5(1

+ t

)

∫

2dt

= ∫

= −

+ C = −

+ C.

8t + 2t

+ 8

+ 2)

+ 2

+И2

Интегралы вида ∫sinm x cosn xdx :
а) если m – нечетное положительное целое число, то применяют
подстановку		t = cos x; dt = −sin xdx					;		Д
									Д

б) если n – нечетное положительное целое число, то применяют
подстановку		t = sin x; dt = cos xdx			;
подстановку		t = sin x; dt = cos xdx			;
в) е	m n – четные положительные целые числа, то исполь-
			А
зуют тр гонометр ческ е формулы
			sin x cos x =					1 sin 2x;
		б						2
сли			cos2 x = 1			(1		+ cos 2x) ;
				2
			sin2	x = 1		(1− cos 2x) ;
С

sin2 x + cos2 x = 1.

168

Примеры.

Вычислить интегралы от тригонометрических функций.

Решение.

sin3 xdx =

∫

sin2 x

sin xdx =

∫

(1− cos2

x) sin xdx

cos x = t;

∫

− sin xdx = dt

cos

= −∫ (1− t

)dt

+ C.

= − t −

+ C = − cos x +

sin5 xdx =

(sin2 x)2 sin xdx

∫

= ∫ (1− cos2 x)2 sin xdx

cos x = t;

− sin xdx = dt

= −∫ (1− t2 )2 dt = −∫ (1− 2t2 + t4 )dt = −(t − 2 t3

+ t5 ) + C

= − cos x +

2 cos3 x − 1 cos5 x + C.

sin6 x cos3

xdx =

∫

sin6 x (1

− sin

x) cos xdx

∫

cos xdx = dt

− t

+ C = sin

x − sin

x + C.

= ∫t6 (1− t2 )dt

= ∫ (t6

− t8 )dt = t

169

4.		sin			5		x cos							5		xdx				=				(sin x cos x)									5	dx				=			1				5	dx =
4.		sin					x cos									xdx				=		∫		(sin x cos x)										dx				=	∫		2		sin 2x)			dx =
∫																						∫																	∫		2
=		1		∫sin5						2xdx =
=	32			∫sin5						2xdx =
	32
		1																											cos 2x = t;																1	1
=		1		∫(1− cos2 2x)2 sin 2xdx																									− 2sin 2xdx = dt;															= −	1		∫ (1− t2 )2 dt =
=	32			∫(1− cos2 2x)2 sin 2xdx																									− 2sin 2xdx = dt;															= −	32		∫ (1− t2 )2 dt =
	32																																												32	2
																																			Д
																													sin 2xdx									= − 1 dt
																																								2
			1													2				4								1							t	3			t	5
= −							∫ (1			−		2t					+ t				)dt					= −												+				+ C =
			64																								64								3				5					И
																									А
			1															2						3				1				5
= −			64			cos 2x −												3		cos						2x +		5	cos				2x					+ C.
			64															3										5
										б																										dx −					cos 2xdx) =
5. cos2 xdx												=				1		(1− cos 2x)dx =													1		(		∫	dx −				∫	cos 2xdx) =
∫															∫ 2																2				∫					∫
	1								1
и
=	2		x				−		2	sin 2x									+ C.
	2								2
6.∫cos					4			xdx									1													2					1		∫(1− 2cos 2x + cos										2	2x)dx =
6.∫cos								xdx				=∫					2		(1− cos 2x)											dx =					4		∫(1− 2cos 2x + cos											2x)dx =
																	2																		4
=	1		∫																		1		(1− cos 4x)
=	2		∫	1− 2cos 2x +																	2		(1− cos 4x)								dx =
	2																				2
=	1										1		sin 2x +										1					1										+ C =
=	2		x − 2								2		sin 2x +										2			x −		4	sin 4x									+ C =
	2										2												2					4
	1			3														−		1		sin 4x						+ C.
С= x − sin 2x																		−		8		sin 4x						+ C.
	2			2																8

170

7. sin

xdx =

(sin

dx =

∫

+ cos 2x)

d x =

∫

	=	1	∫ (1+	3cos2 2x +3cos 2x + cos3 2x)dx =
		8														И
	1			1							3					И
=	1			1		∫ (1− cos 4x)dx +					3	sin 2x +	∫ cos	2			=
=	8	x + 3		2		∫ (1− cos 4x)dx +					2	sin 2x +	∫ cos			2x cos 2xdx	=
	8			2							2	Д
		1		3			sin 4x		3			Д
	=	1		3			sin 4x		3	sin 2x + ∫ (1			− sin		2
	=	8	x +	2	x −		4	+	2	sin 2x + ∫ (1			− sin			2x) cos 2xdx .
		8		2			4		2

																А
Последний интеграл вычислим отдельно:
∫(1 − sin2 2x)										cos 2xdx							sin 2x	= t;					= ∫(1 − t2 ) dt =
								б																		2
																	2 cos 2xdx = dt									2
	1						t3						1					1			3
=		t				−			+ C			=		sin 2x −					sin			2x		+ C.
и
	2						3						2					3
	2						3						2					3
Теперь вып шем ответ исходного примера и сделаем его упро-
щен я.
С									1		5			3				3						1		1
∫ cos			4		xdx			=	1		5	x −		3		sin 4x +		3		sin 2x			+	1	sin 2x −	1	sin	3	+ C =
									8		2			8				2						2		6
=	1			5		x +		2sin 2x −						3	sin 4x −			1	sin		3			+ C.
=	8			2		x +		2sin 2x −						8	sin 4x −			6	sin			2x		+ C.
	8			2										8				6

171

8. sin

x cos

xdx =

dx =

sin

2xdx =

∫

sin 2x

∫

∫ (1+ cos 4x)dx

+ C.

x +

sin 4x

Интегралы вида ∫ tgm xdx и ∫ctgm xdx,m Z+ .

При вычислении таких интегралов применяются формулы

Д5 1 5

xdx =

∫

−1 dx =

∫

tg x

dx −

∫

xdx =

cos2

∫

cos2

∫

dx −

∫

−1 dx

dx −

cos

−

∫

бdx + tg xdx =

−

cos2

cos

∫

tgx = t;

и− tg x dx +

∫

tgx

dx −

∫

tgxdx

;

∫

cos

cos2 x

cos2

tg2 x =	1		−1;	ctg2 x =	1		−1.
	cos2	x			sin2	x

С помощью этих формул постепенно понижаем степени тангенса и котангенса.

Примеры.

Вычислить интегралы от тригонометрических функций.

Решения.

172

cos x = k;

∫t5dt − ∫t3dt + ∫tdt − ∫ − dk

= t

− t

+ t

− sin xdx − dk.

+ ln

+ C

tg6 x

−

tg4x

tg2x

+ ln

cos x

+ C.

ctg

xdx =

∫

ctg

−

1 dx =

∫

ctg

−

2 x

sin2

∫

sin

− ∫ctg

−1 dx =

∫ctg

−

∫ ctg

sin

ctg = t;

+ ∫

−1 dx

dt = −

dx.

= −∫t dt +∫t dt

+ ∫

−

sin

sin2

− ∫ dx = − t5

+ t3

− ctgx − x + C =

= −

ctg5 x

ctg3 x

− ctgx − x + C.

tg4x sec6 xdx

∫

tg4 x sec4 x sec2 xdx

∫

tg4 x(1

+ tg

2x)2

cos2

∫

tgx = t;

= ∫t4 (1+ t2 )2 dt =∫t4 (1+ 2t2 + t4 )dt =

= dt

cos

= ∫(t4 + 2t6 + t8 )dt =

2t7

+ C

tg5 x

2tg7 x

tg9 x

+ C.

173

Интегралы вида

∫sin mxcosnxdx; ∫cosmxcosnxdx; ∫sin mxsin nxdx.

Используем при решении тригонометрические формулы

sinα cos β =

(sin(α + β )

+ sin(α − β ));

cosα cos β =

(cos(α + β ) + cos(α − β ));

sinα sin β =

1 (cos(α − β )

− cos(α

+ β )).

Примеры.

Вычислить интегралы от тригонометрических функций.

Решения.

(sin(3x + 5x) + sin(3x − 5xИ))dx =

sin 3x cos5xdx = 1

∫

cos8x

cos 2x

∫

(sin 8x

− sin 2x)dx =

−

+ C.

2.∫ cos 7x cos11xdx =

∫ (cos(7x +11x) + cos(7x −11x)) dx =

(cos18x + cos(−4x))dx =

sin18x

sin 4x

∫

+ C.

А2 18

sin x sin 2x sin 3xdx =

∫

sin x 1 (cos(−x) − cos5x)dx =

∫

∫ (sin x cos x − sin x cos5x)dx =

и1 1 1

∫

sin 2x −

(sin 6x + sin(−4x))

dx =

=	1	∫ (sin 2x − sin 6x + sin 4x)dx =	1	− cos 2x		+	cos 6x	−	cos 4x	+ C.
			4		2		6		4
С4

174

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3117 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20214.26 Mб12227.pdf
#
07.01.20214.27 Mб722228.pdf
#
07.01.20214.28 Mб12229.pdf
#
07.01.2021357.88 Кб1223.pdf
#
07.01.20214.29 Mб42230.pdf
#
07.01.20214.29 Mб62231.pdf
#
07.01.20214.31 Mб82232.pdf
#
07.01.20214.32 Mб02233.pdf
#
07.01.20214.32 Mб12234.pdf
#
07.01.20214.32 Mб32235.pdf
#
07.01.20214.32 Mб12236.pdf