Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2231.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

4.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3118 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Задачи для самостоятельного решения

1.∫

2.∫

3 + 5sin x + 3cos x

1+ sin x

sin3 3xdx.

∫ sin x + cos x

∫

cos5 x dx.

cos4 6xdx.

∫

sin x

∫

7.∫tg

dx.

8.∫ ctg

5xdx.

sec3 x.

10.

ctg2 x cos ecxdx.

∫

11. cos3x cos2xdx.

12. cos

cos

dx.

∫

Ответы:

+ C.

11.

sin x +

sin 5 x

+ C.

§25. Интегрирование иррациональных функций

Основным методом интегрирования иррациональных функций

является метод, основанный на рационализации подынтегральной

функции путем специальным о разом подобранной подстановки.

ax + b S

ax + b

Интеграл

в да

;

;...;

∫ f x;

cx + d

dx , где

cx + d

a,b,c,d R; Si

– рац ональные числа; f – рациональная функция, вы-

ч сляется с помощью подстановки

ax + b

= t S , здесь S – наименьшее

cx + d

общее кратное чисел {Si }. При этом все корни, присутствующие в п о-

дынтегральной

, выразятся через t рационально.

функции

175

Примеры.

Вычислить интегралы от иррациональных функций.

Решение.

2x + 6 = t6 ;

1. ∫

2dx = 6t5dt;

3t5dt

= ∫

2x +

6 − 2x + 6

dx = 3t5dt;

3 t6 − t6

t = 6

2x + 6.

3∫

t5dt

= −3∫

− t

t −1

мы избавились от иррациональности, получили

неправильную рациональную дробь

(t3 −1)

= −3∫

б6

)dt =

−1

t −

+ t + ln

−1

+ C =

= −3

2x + 6

+ 6

2x + 6 + ln

2x + 6 −1

+ C.

= −3

x = t ;

t 6

2...I = ∫

= 6t

dt;

= ∫

dt = 6∫

dt.

+ t

+ 3

t =

6 x.

176

Выделяем целую часть делением числителя на знаменатель:

СибАДИ

Отсюда получаем

= 6∫ t

− t

+1−

−

+ t

− arctgt

+ C =

6 6

− 2

+ 66

− 6arctg6

+ C.

1− 2x = t4 ;

− 2dx = 4t3dt;

∫

− 2t3dt =

∫ 1−

2x − 4 1− 2x

dx = −2t3dt;

t2 − t

t = 4

1− 2x.

= −2∫ t2dt

= −2∫

(t2 −1) +1dt =

t −1

= −2∫ t +

+ t + ln

+ C =

t −

= −2

−1

= −

− 24

− 2ln

4 1− 2x −1

+ C.

1− 2x

− 6

4.∫

2x −1

3x +1

dx .

(3x +1)

−1)

(3x +

1) +

( (2x

2x −1)

177

Преобразуем интеграл, разделив числитель и знаменатель по-

дынтегральной функции на 63x +1 . После несложных преобразований получим интеграл вида


				2x −1				И
			6	3x +1 −1				И
I = ∫			6	3x +1 −1				dx.

		2			2x −1		2x −1
		2			2x −1		2x −1
	(3x +1)		3			+
	(3x +1)				3x +1	+	3x +1
					3x +1		3x +1

Делаем подстановку

2x −1

= t ,

отсюда

3x +1

2x −1

= t6 ;

2x −1 = t6 (3x +1);

3x +1

x(2 − 3t

) = 1+ t

;

x =

1+ t6

;

− 3t6

(1+ t

)'(2 − 3t

) − (1+Дt )(2 − 3t )'

(2 − 3t6 )2

6t5 (2 − 3t6 )

− (1+ t6 )(−18t

5 )

dt =

30t5dt

;

(2 − 3t

)

−А3t )

3x +1 =

2 − 3t6

Делаем замену в нтеграле и вычисляем

t −1

30t5

dt =

6 t4 − t3

dt =

∫

и∫

(t2 + t3 ) (2

− 3t

)

t +1

(2 − 3t6 )2

∫ t

− 2t

+ 2t −

t +

178

− 2

+ 2

− 2t

+ 2ln

+ C =

2x −1

−

−1

2x −1

−

2x −1

5 3x

3x +1

6 2x

−1

+ C.

II. Иррациональные функции, содержащие корни вида

C ± x2

можно проинтегрировать, применив тригонометрические подстанов-

ки:

следует использоватьИпод-

а) для интеграла ∫ f (x;

a2 − x2

)dx

становку

x = asint;

dx = acostdt.

и т

ригонометрическую

формулу

a2 − a2 sin2 t = a2 cos2 t ;

б) для

нтеграла

∫

f (x;

a2 + x2

)dx используется подстановка

x = atgt;

dt.

;

cos2 t

a2 + a2tg2t =

;

cos2 t

179

в) интеграл ∫ f (x;x2 − a2 )dx вычисляется с помощью подстановки

x =

;

cost

;

a sin t

dx =

dt.

cos2 t

− a

a2 sin2

cos2

cos2 t

Примеры.

Вычислить интегралы от иррациональных функций.

Решения.

4 − x2

x = 2sint;

∫

4 − 4sin2 t

2costdt = 2

∫

cos2 t

dt =

∫

dx = 2costdt.

2sint

sint

cos

cost = k;

2∫ cos2 t sintdt = 2∫

sintdt

= −2∫

dk =

1 − k

sin

1 − cos

dk = −sintdt.

(k 2 −1) +1

k −1

= 2∫

+ C =

−1

dk = 2∫ 1 +

−1

dk = 2 k +

k +1

= 2cos t

+ ln

cos t −1

б+ C.

cos t +1

Осталось вернуться к переменной х.

x = 2sint ,

sint =

Так

как

то

;

4 − x2

1 −

cost =

1 − sin2 t

, поэтому

180

4 − x2

−1

− 2

4 − x2

− x2

I = 2

+ ln

+ C = 4 − x

+ ln

+ C.

4 − x

− x

+ 2

x = 3tgt;

3dt

2.∫

= ∫

cos2 t

3 ∫

dx =

dt.

sin t

9 + x2

3tgt +

9 + 9tg2t

cos

cost = k;

∫

sin t d t

= 1

∫

− dk

∫

dk = −sin tdt.

1− cos

1− k

−1

∫

k −

+ C

1 ln

cost −1

+ C.

3 2

−1

k +1

cost +1

Так как tg t =

;

tg2t =

−1;

cos

+1 =

x2 + 9

;

cos

cost =

+ 9

Поэтому

−1

1 ln

3 −

x2 + 9

I =

x2 + 9

+ C =

+ C.

3 +

x2 + 9

181

x =

− a2 a sin t dt =

cost

x2 − a2

∫

cos2 t

∫

dx =

a sin t

cos2 t

sin2 t

1− cos2 t

= a

∫

dt = a

∫

dt = a

∫

− ∫

cos

cost

= a

sin t

∫

−

∫

2 cos

cost

sin t

d sin t

sin t

sin t −1

− ∫

+ C.

1− sin

cos

sin t

cos

Возвращаемся к переменной х. Так как x =

, то cost = a

;

cost

1− a2

x2 − a2

sin t =

1− cos2 t

Поэтому получаем значение интеграла

− a

−1

I =

x − a

+ C =

x a

x − a

182

x2 − a2

+ 1 a2 ln

x2 − a2

− x

+ C.

x2 − a2

+ x

Задачи для самостоятельного решения

−1

2x − 5

1.∫

dx.

2.∫

dx.

1+ 3

2x − 5

x dx

−1

3.∫

4.∫

dx.

1− x2

3x + 5

dx.

∫

3x + 5 −1

∫ 3 x − 315 x

x2 + 9

dx.

x2 −1

dx.

∫

. И

9.∫

10.∫

x 1− x2

x x2 + 8

Ответы:

1. 3

(2 x − 5)7

−

3 6

(2 x − 5)5

2 x − 5

− 6

2 x − 5

+ arctg 6

+ C.

2x − 5

2. x − 4

+ 4ln

− 2

+ C.

формулируйте

3. −

1− x2

+ C.

Вопросы

задан я для самопроверки по разделу

«Интегральное

сч сление функции одной действительной

переменной. Неопределенный интеграл» ([1,2,3,5,6,7], прил. 11–14)

1. Что называется первообразной функции?

теорему о виде всех первообразных.

лемму о признаке постоянства функции.

С4. Докажите теорему о виде всех первообразных.

5.формулируйте определение неопределенного интеграла.

6.Как можно проверить правильность выполнения интегрирования?

7.Как связаны дифференцирование и интегрирование функции?

8.Приведите основные свойства неопределенного интеграла.

9.Докажите основные свойства неопределенного интеграла.

183

10. Как получают формулы из таблицы интегралов?				d x
11. Напишите табличные интегралы ∫ xn d x ; ∫ ax d x; ∫				d x	.


				x2 − a
12. В чем заключается метод непосредственного (табличного)
интегрирования?			И
13. Как производится интегрирование методом подведения под
знак дифференциала?
14.	Напишите формулу замены переменных в неопределенном
интеграле.
15.	Приведите пример замены переменных в неопределенном
интеграле.		Д
интеграле.
16.	Напишите формулу линейной замены переменных в неоп-
ределенном интеграле.
17.	Приведите пример устного вычисления примера методом
		А
линейной замены переменных в неопределенном интеграле.
18.	Напишите формулу интегрирования по частям.
19.	Докажите формулу интегрирования по частям.
20.	Какие типы интегралов, вычисляемых по частям, вы знаете?
21.	Приведите пример вычисления по частям неопределенного
интеграла.
22.	Какие интегралы называются циклическими?
23.	Как вычисляются циклические интегралы?
24.	Какие дро и называют рациональными?
правильной
25.	Какие рациональные дро и называют правильными (непра-
в льными)?
26.	Как ми пр емами неправильную дробь можно представить
в в де суммы целой части правильной дроби?
С
27. Как е четыре т па рациональной дроби называют простейшими?
28. Как разложбть правильную рациональную дробь в сумму
простейш х?
29. В чем заключается метод неопределенных коэффициентов
разложения		рациональной дроби в сумму простейших

дробей?

30. Как вычисляется неопределенный интеграл от простейшей дроби ∫ xd+xa ?

184

31. Как вычисляется неопределенный интеграл от простейшей

дроби ∫ (xd+ xa)n ?

32. Как вычисляется неопределенный интеграл от простейших

дробей

∫

d x

;

∫

d x

+ a x

+ b

x2 + a x + b

33.

Как вычисляется неопределенный интеграл от простейших

дробей

∫

d x

34.

(x2 + a x + b)

Дm n

Опишите процедуру нахождения неопределенного интеграла

от рациональной дроби.

35.

Какая замена переменных называется универсальной триго-

нометрической подстановкой?

36.

Обоснуйте

формулы

универсальной

тригонометрической

подстановки.

37.

Интегралы от каких функций вычисляются с использованием

универсальной тригонометрической подстановки?

38.

Какие тригонометрические формулы используются при вы-

числении интегралов от тригонометрических функций?

39. Как вычисляются интегралы ∫sin x cos

x d x при различных

значениях m, n?

Задачи

40.

Как вычисляются интегралы от тригонометрических функ-

ций разных аргументов?

41. Оп ш те процедуруАнахождения неопределенного интеграла

от тр гонометр ческой функции.

42.

В чем заключается основная идея вычисления неопределен-

ного нтеграла от

ррац ональной функции?

43.

Оп ш те процедуру нахождения произвольного неопреде-

ленного

нтеграла.

для самостоятельного решения по разделу 2.1

Вычислите неопределенные интегралы.

1. ∫

2x+1 − 5x−1

d x .

d x

2. ∫(2 x + 3)

x d x

Сd x

3. ∫

4. ∫

2x2 + 7

3x2 − 7

185

ex d x

d x

∫

4 − e

sin

x 4 ctg x

∫

d x

∫

d x

(x −1)(x + 3)

sin x

d x

9. ∫

10. ∫

(x2 − 2)(x2 + 3).

x2 + x − 2

11.

∫

x d x

12. ∫

(2 x + 3 )d x

+ 3 x

+ 3x −10

13.

∫

x d x

14. ∫

−1

5 + x − x2

15.

∫ cos5 x d x .

16. ∫sin6 x d x .

17.

∫sin 5x cos x d x .

18.

∫

sin3 x

d x .

cos

∫ cos x cos 2 x cos3 x d x .

Иd x

19.

20. ∫

2sin x

− cos x + 25

sin x cos x

21.

∫

d x .

22. ∫ sin x + 2cos x − 3 d x .

sin x + cos x

sin x − 2cos x + 3

x +1

23.

∫

d x .

24. ∫

cos x

d x .

2 + x +1

1+ sin x

+ cos2

d x

25.

∫

2 + x − x2

d x .

26. ∫

1−

x +1

d x .

x 3

2 + x

d x .

27.

∫

28.

∫

3 x +1

x +

+ x

x d x

d x

29.

б.

30.

∫ (x2

∫ (x3 +1)2

−1)2

Ответы:

1. −

+ C .

(2x + 3)

+ C .

ln 5

5ln 2

x2 + 7

+ C .

x +

+ C .

3 x2 − 7

4 4

4 − ex

+ C .

−

ctg3 x + C .

− ln

186

								x		+ C .																															1 ln			x −1		+ C .
7. ln			tg					x		+ C .																													8.		1 ln			x −1		+ C .
				2																																					4		x + 3
9. 1 ln							x −1						+ C .
							x −1
							x + 2
3							x + 2																																						И
														x −																					x
10.				1						ln				x −						2				−				1			arctg				x		+ C .
10.										ln				x +										−							arctg						+ C .
	10 2													x +						2							5		3				3
11.	1			ln					x2 +1									+ C .
	1								x2 +1
	2								x	2 + 2
	2								x	2 + 2
12.	ln				x − 2							+ ln								x + 5						+ C .
12.	ln				x − 2							+ ln								x + 5						+ C .
																					+ 1 arcsin 2 x −													1 + C .
13.	−						5 + x − x2														+ 1 arcsin 2 x −													1 + C .
									x −1											2											21
14.		1 ln													− 1 arctg x + C .


	4								x +1											x								А
	4								x +1									2
15.	sin x −										2 sin3 x +													1 sin5 x + C .
											3													5
16.		5				x −				1 sin 2x +														3				sin 4x +					1			sin3			2x + C .
	16									4														64									48				Д
17.	−			1 cos 4 x −																1			cos 6x + C .														Д
17.	−			1 cos 4 x −															12				cos 6x + C .
				8															12
и
19.	x			+ sin 2 x												+ sin 4 x												+ sin 6 x					+ C .
	4									8										16											24
	1												3tg							2		+1
20.				5		arctg										3					5				+ C .
С																3																	x
	1																											1					x					π
21.	2			(sin xб− cos x)−																										ln		tg				+		8		+ C .
	2																							2				2					2					8
				3 x							4																									6					5 tg	x			+1
				3 x							4																									6						2			+1
22.	−			5					+		5		ln					sin x − 2cos x + 3																−		5		arctg			2				+ C .
				5							5						+ 1 ln												1 +							5					2
23.																										x +														+ C .
23.				x2 + x +1																						x +							x2 + x +1							+ C .
																				2									2

24. arcsin 2sin x −1 + C .

187

25.

2 x -1

+ 9 arcsin 2 x −1 + C .

2 + x-x

26. 2

− 2ln(1+

)

+ C .

27. 6i − 3i2 − 2i3 +

3 t4

+ 6 t5

− 6 t7

+ 3ln (1+ t2 )− 6arctg t + C , где

t = 6

x +1

28.

3 t4

−

3 t2 −

3 ln

t −1

+ 15 ln (t2

+ t + 2)−

arctg

+ C ,

где t = 3

2 + x

29. −

x2 + x + 2

x +1

+ C .

8(x +1)2 (x −1)

x −1

30.

(x +1)2

2x -1

+ C .

3(x3 +1)+

9 ln

arctg

x2 − x +1

разделу

«Интегральное

§26. Контрольные работы по

исчисление функции одной действительной переменной.

Неопределенный интеграл»

Контрольная работаД1

Выч

неопределенные интегралы.

ислить

Вариант 2

Вариант 1

−

− 2

dx.

7 x

∫

− x

3.∫

5ln x −1

dx.

4.∫

dx.

x2 +10x − 2

−

+ 77 x dx.

∫

∫ cos2 (7x − 3)

3tgx

− 4dx.

x + 2

dx.

∫

cos

∫

+12x − 8

188

Вариант 3

1.∫

−

2.∫

+ 7 −1 dx.

sin

(6x −1)

arcsin x

dx.

x − 8

dx.

x2 + 6x + 20

∫

1 − x2

∫

Вариант 4

1. (3cos x − 6x

+ 8x10 )dx.

∫

4 − 3x

3. sin x5

5cos+1

dx.

x2 − 4x

− 20

dx.

∫

Вариант 5

(3sin x − 2ex

+ e 3x −11)dx.

6 + (8x)2

∫

3x + 6

3.∫ x e

dx.

4.∫

dx.

x2 − 8x

Вариант 6

(

− 7 3x

+ 3 7x − cos x)dx.

1+ (3x)2

∫

3x + 8

dx.

∫

− 6x +

2 ln x

−

Вариант 7

(

−

2 + 2x )dx.

2. sin(11x + 8)dx.

sin2

cos2

∫

x3 cos(2x4 +1)dx.

dx.

∫

7 − x2 − 2x

189

Вариант 8

1. (

−

)dx.

2. 26x−2 dx.

1+ x2

∫

1 − x2

∫

2x − 4

dx.

3.∫ cos x

sin xdx.

4.∫

− x2

Вариант 9

− 3x + 7 cos x − 16

Д2

)dx.

e3x+1dx.

∫

7x −1

3. sin x(3cos x −1)4dx.

dx.

x2 + x + 5

∫

Вариант 10

1. (3sin x − 2cos x +

)dx.

2. cos(3x − 2)dx.

∫

x2 3

∫

3x +1

x2 sin(3x3

−

4)dx.

dx.

∫

x − 20x + 2

Вариант 11

1.∫

(2sin x −

)dx.

2.∫ cos(3x −1)dx.

4x −1

x5 3x6+2 dx.

dx.

∫ x2 − 2x

∫

Вариант 12

1.∫

2.∫ xe

dx.

2 +

−

11 x2

dx.

tgx − 2

dx.

∫

cos

∫

+ x

−

190

Вариант 13

−

dx.

1+ x2

4 + x2

∫

6 x

∫

1− (8x)2

4tgx −1

dx.

∫

cos2 x

Вариант 14

∫

x2 − x + 2

4x−1

+ x2

−

5x + 7e

dx.

2. 5

dx.

∫

(3log7 x − 2)3

2x +1

dx.

3.∫

dx.

4.∫

x2 − 9x + 2

Вариант 15

1. (3sin x −

)dx.

2. 75x−11 dx.

∫

1 − x2

6 − x2

∫

x −1

(4arctgx

− 3)4

dx.

∫

1+ x

Д∫

− 6x

Вариант 16

8x−1

− 2x dx.

2. 3

dx.

− x2

4 + x2

∫

3x −1

3. 2x3 x

2dx.

dx.

∫

+ 6x +

Вариант 17

3cos x − 7sin x − 26

x +

dx.

∫

∫ cos2 (6x − 3)

x − 8

ex dx .

dx.

∫

+ 4x −

191

Вариант 18

8x−1

+ 7

− x

2.∫ e

dx.

1.∫

3 x2

dx.

x sin 7x2dx.

x −1

dx.

∫

x2 − 6x − 6

Вариант 19

(2 cos x − 3x

− 4x 6x

+ x6 )dx.

cos(12 −11x)dx.

∫

exdx

dx.

∫

1+ e2x

∫

x2 +10x

Вариант 20

1.∫

−

2.∫cos(8x − 3)dx.

4 + x2

− x2

7 + x

dx.

3x −1

dx.

∫

x2 −10x +1

Вариант 21

3x−5

+ 7x

− cos x +

dx.

+ x2

∫

x + 3

3.∫ 7

(4 cos(7

) −1)dx.

4.∫

dx.

x2 − 6x +1

Вариант 22

∫

(7x −10)

dx.

7cos x −

dx.

4 − x

∫

3x −1

x(3x2 −10)4 dx.

dx.

∫

x2 + 3x −1

192

Вариант 23

2 cos x

− 3

− e

dx.

+ 6x

∫

x2dx

+ 6

dx.

∫ 8 − x3

∫

Вариант 24

−

+ x2

−

2x + 3

dx.

(33 − x)3

∫

cos2 x

∫

x2dx

4x −1

33 − x3

∫

x2 + 2x −11

Вариант 25

8 dx

(3tgx − 7)

1∫ 2e

−

1− x2

−1 dx.

2.∫

cos

dx.

∫

sin

(4x)

Д∫ 2

− 4x

Вариант 26

7 x+1

1.∫

3cos x − 6sin x −

+ 2

2.∫

dx.

− x2

dx.

2x −1

cos5x dx.

x2 + 4x

4x.

∫

Вариант 27

− 6x

8x −

2. cos(31x + 8)dx.

dx.

∫

(5ln x −1)10

dx.

7x −1

dx.

x2 + 8x −12

∫

193

Вариант 28

3 7

−

dx.

x2 −1

(12x)

∫

∫ sin2

arctgx

dx.

2 − x

dx.

∫ 1+ x2

∫

3 − x

−

Вариант 29

(3sin x − 2

− 3

)dx.

(5cos x

−

7)4 sin xdx.

∫

2x +1

3.∫sin(4x − 2)dx.

4.∫

5 − x2 + 6x

dx.

Вариант 30

3dx

1.∫

−

2.∫

2 .

− x

dx.

5 − (7x)

∫

sin

∫

dx.

3.∫

cos x sin xdx.

4.∫

6 − x

− x

Вычислить

Контрольная работа 2

неопределенные интегралы.

Вариант 1

xdx

(5x − 8)e10xdx.

(x −1)(x + 3)

cos6 3xdx.

∫

3 x +

Вариант 2

1.∫

x +1

dx.

2.∫ (7x − 2) log12 xdx.

−1)(x

+1)

xdx

sin5 xdx.

x − 2 + 3

x − 2

∫

194

Вариант 3

x2 +1

dx.

3x−1 cos 2xdx.

(x2 + 4)x

∫

sin2 x cos9 xdx.

∫

x −1 + 24 x

−1

Вариант 4

x + 6

(x − 2)(x − 3)(x + 8)

dx.

(2x

3 + x) log

xdx.

∫

3. sin7 xdx.

∫

3x +1

Вариант 5

6x −1

dx.

23x sin xdx.

∫

(x −1)(x2 + 2)

∫

xdx

∫

1+ cos 2x

∫

Вариант 6

6x −1

dx.

(cos3x)x3dx.

∫

(x +1)(x

+1)

∫

6x −1

dx.

1+ sin x − cos x

∫

3 +

6x −1

Вариант 7

7 − 4x2

dx.

1.∫

2.∫ arcsin xdx.

(2 + x2 )(x − 3)

3.∫

4.∫

Сcos x − 2sin x

4 +

x − 2

195

Вариант 8

1. sin8 xdx.

2. (4x2 −1)e3x dx.

∫

3x −1

∫

dx.

+ 5)

x −1

∫ (x +1)(x2

∫

Вариант 9

dx.

2. (4x + 8)e3xdx.

∫ (x2 −1)(x + 6)

∫

xdx

sin4 x cos4 xdx.

x + 3 x

∫

Вариант 10

x +1

dx.

23x

cos xdx.

(x −1)(x + 3)(x + 8)

∫

cos2

3x sin 5xdx.

∫

x + 7 +1

Вариант 11

3x −1

dx.

x2 cos2 xdx.

(x + 5)(x2 + 5)

∫

А∫

cos3

3x sin 5xdx.

dx.

∫

3x − 4 + 8

∫

Вариант 12

x −1

dx.

(3x

− 8) cos 4xdx.

∫

(x +

1)(x + 3)(x + 7)

∫

−1

dx.

cos3x sin2 4xdx.

2x −1

∫

2x +1

196

Вариант 13

x −1

dx.

(2x −1)e4xdx.

(x + 5)(x2

+ 7)

∫

xdx

sin x

dx.

x +1 − 2

∫ cos x +1

∫

Вариант 14

1.∫

7x2 +1

dx.

2.∫ (4x − 8)sin 8xdx.

(x2 + x +1)(3x −1)

− 2

dx.

sin3 x cos4 xdx.

∫

x +1

Вариант 15

1.∫

x −1

dx.

2.∫

(5x + 8) cos3xdx.

(x + 8)(x −11)

3.∫sin

4x cos

4xdx.

x −1 −1

4.∫

dx.

+ 5

x −1

Вариант 16

1.∫

2x −1

dx.

2.∫ arcctg3xdx.

(x −1)(x2

+ 3x + 5)

3.∫sin 5x cosб5x sin10xdx.

4.∫

dx.

−1

Вариант 17

1.∫

x + 8

dx.

2.∫ arcsin 8xdx.

(x + 3)(x + 5)

sin5 3xdx.

dx.

∫

x + 3 x

+ 24 x

197

Вариант 18

x + 8

dx.

e3x x3dx.

(x − 3)(x + 3)(x

+1)

∫

sin3 3x cos3xdx.

1+ x

dx.

∫

1− x

Вариант 19

x − 8

dx.

(4x −1)23x dx.

(x2 + 5)(x + 5)

∫

cos 2x sin2 6xdx.

x −1

dx.

∫

x −1 −1

Вариант 20

dx.

x3 log

xdx.

(x −1)(x + 6)

∫

cos x

3x −1

3.∫

dx.

4.∫

sin x − cos x

+ 4

3x −1

Вариант 21

3x2 +1

dx.

(x3 −1) ln xdx.

(4 − x)(x2 + 4)

∫

3. cos3 5xdxб.

∫

x +1 −

x +1

Вариант 22

1.∫

dx.

2.∫ (4x −1) cos xdx.

(x2 +10)(x −1)

sin5 3xdx.

∫ 3

∫

x − 4

198

Вариант 23

x2 −11

dx.

(x + 8)e3xdx.

(x −1)(x +1)(x + 2)

∫

−1

dx.

sin2 4x cos3xdx.

∫

x −1

Вариант 24

2x −1

2.∫ (7x + 8) cos11xdx.

1.∫

(x −1)(x + 8)

dx.

sin х

3.∫

dx.

4.∫

1+ cos3 х

5x − 4

Вариант 25

dx.

(5x −11)e3xdx.

∫

(x −1)(x +10)

∫

sin x cos x sin 6xdx.

Д4.

dx.

∫

+1 −

Вариант 26

dx.

x cos2 xdx.

(x − 8)(x + 8)(x + 3)

∫

sin2 2xdx.

∫

x −1 +1

Вариант 27

x +1

xdx.

1.∫

dx.

2.∫ arctg

(x − 8)(x + 2)

−1 dx.

sin2 3x cos2 3xdx.

∫

x +1

199

Вариант 28

1.∫

x − 3

dx.

2.∫ (7x −1) cos xdx.

(2 − x)(x + 4)(x +1)

cos3 5xdx.

dx.

x +1

∫

Вариант 29

7x + 2

dx.

2. x2e−xdx.

(x −1)(x + 8)

∫

3. sin 8x cos3xdx.

dx.

∫

x +1

Вариант 30

dx.

x 3x dx.

∫

(x −1)(x +11)

∫

sin 6x cos2 xdx.

∫

x − 3

Контрольная работа 3

Вычислить неопределенные интегралы.

xdx .

В2 ариант

Вариант 2

Аsin xdx

∫

3 + 2cos x

(3 + 2x3 )

2. ∫

xdx

б.

∫ ln5xx dx .

1− x4

∫

x +

arcsin

dx .

1+ ln x

∫

dx .

1 − x2

∫

dx .

4. ∫

x4 +1

+ 4

∫

(

x + 2)

xdx.

∫(x2

+1) dx .

ln xdx

∫ x

ln xdx .

∫ x

∫

dx ,

dx .

+ 4x −12

∫

−

2x +

200

Вариант 3 Вариант 4

1. ∫

dx .

1. ∫5x 1− 2x

dx .

− 2x

2. ∫

2x dx

tg3 x

8x3 − 7

∫

dx .

2 x

−1

cos

∫

dx .

3. ∫

(arcsin x)3 1

− x2

∫

dx .

sin

4. ∫

x dx

5. ∫(x2 +1)2

dx .

2x3 + 9

∫(1 +

)2 2xdx .

∫(2x + 3)cos xdx.

∫ x ln xdx .

7. ∫

dx .

∫

dx .

4x +13

2x + 2

Вариант 5

Вариант 6

1. ∫

cos xdx

1. ∫

dx .

2sin x +1

− 3

иx

∫

+ sin x

dx.

∫

x + arctgx

dx .

ex − cos x

1+ x2

3. ∫

dx .

∫

5cos xdx2 .

arctgx

1+ x

sin x

ex dx

4. ∫ 25 −16e2 x .

∫

e2x

dx б.

+ 4

∫(x3 + 2) xdx .

5. ∫(2x + 3)2 xdx .

ln x

6. ∫

ln xdx .

∫

dx .

∫

dx .

7. ∫

dx .

+ 2x − 2

+ x

+ 3

201

Вариант 7

Вариант 8

sin xdx

∫ (3 −

∫

dx .

cos

∫

dx.

∫sin

x cos xdx .

3x2

∫

2 + ln x

dx.

3. ∫ xsin x2dx .

∫

xdx

∫

xdx

1−

25x

4 − 9x2

5. ∫ (x + x2 )dx .

5. ∫ x

(х2 + 3)dx .

∫

ln xdx.

∫ x ln xdx .

dx .

dx.

∫ x2 + 2x + 2

∫ x2 − 4Иx +1

Вариант 9

Вариант 10

+ x

Дxdx

∫

dx .

∫

−1

xdx

∫

2x2

+ 7

+ ln x

∫

sin x

dx.

∫ xln2

+ cos x

∫

4xdx

∫

1− x8

1− x

xdx.

∫(

+ 3)2 xdx .

∫ (2x + 3)

6. ∫(2 − x) ex dx .

∫ x cos xdx .

dx .

7. ∫

dx .

∫

+ 6x

+13

− 4x +1

202

Вариант 11

Вариант 12

dx .

sin xdx

∫

2 + ln x

∫

3 + 2cos x

∫

cos xdx

∫

dx .

sin2 x

∫

dx.

∫

1 + 4x2

4 − x2

exdx

3arctgx

∫

dx .

1+ x

4 − e2x

∫ xsin 4xdx .

∫ xe

dx .

∫ x

ln xdx.

ln x

∫

dx .

∫

dx.

∫

2x − 3

dx.

+ 2x +

+ 2x − 7

Вариант 13

Вариант 14

∫2x

x2 + 4

dx .

∫

arcsin x

dx .

− x2

2. ∫

ln x − 7

− 2)

dx.

∫

∫ 2 + ln x dx.

∫ xe

dx .

dxб

x dx

∫

+ x

4 + x

∫

(2x +1)sin xdx .

ln x

и6. arctgxdx .

∫

dx .

∫

∫arcsin xdx .

∫

dx .

x2 + 6x

−16

∫

− 6x

+ 4

203

Вариант 15

Вариант 16

∫

xdx

∫

e3x dx

ex2−1

1 − e3x

∫

ln x +10

∫

1− arctgx

dx .

+ x

3. ∫(2x x − 7x)

4. ∫

2x dx

4. ∫ (2x

− 3)2 dx .

1− 4x

∫ xsin(3x + 5)dx .

∫ x arctgxdx .

∫ x

ln xdx.

6. ∫ x3 ln xdx .

dx .

∫

dx .

∫

+ 4x −12

+10x −

Вариант 17

Вариант 18

1− 2x

dx .

1. ∫

dx .

Д∫

− 2x

2. ∫

2x dx

tg3 x

∫

dx .

8x3 − 7

cos

∫

2 x

−1

dx .

3. ∫

Аe

(arcsin x)3 1

− x2

∫

dx .

sin

5. ∫ x (х + 3)dx .

∫ 2x3

+б9

∫ (x + x2 )dx .

∫ x ln xdx .

∫

x ln xdx.

dx.

и1

∫

2 − 4x

∫

dx .

+ 2x

+ 2

204

Вариант 19

Вариант 20

1. ∫

cos xdx

∫

dx .

− 3

2sin x +1

ex + sin x

∫

x + arctgx

dx .

∫

dx.

1+ x2

ex − cos x

3. ∫

arctgx

dx .

∫ 5cos xdx2

1+ x

sin

∫

4xdx

∫

x3dx

1− x4

1− x

∫ (2x + 3)2 xdx.

∫(

+ 3)2 xdx .

∫ x cos xdx .

∫(2 − x) ex dx .

dx .

∫

7. ∫ x2 − 4x +1dx.

x2 + 6xИ+13

Вариант 21

Вариант 22

sin xdx

Д(3 − x )

∫

dx .

cos

∫

dx.

∫sin

x cos xdx .

3x2

2 + ln x

dx.

∫ xsin x

dx .

А∫

xdx

∫

1− 25x2

4 − 9x2

∫ xe

∫ xsin 4xdx .

dx .

∫ x4 ln xdx.

∫ ln2x dx .

иx

∫

dx.

x2 + 2x + 5

∫

−

dx.

+ 2x − 7

205

Вариант 23 Вариант 24

x5 + x + 3

xdx

∫

dx .

∫

−

∫

xdx

∫

1+ ln x

2x2 + 7

∫

sin x

dx.

1 + cos x

∫

xln2 x

4xdx

∫

1− x8

1− x4

∫

ln x

dx .

∫(2x +1)sin xdx .

∫ arctgxdx .

∫arcsin xdx .

∫

dx .

x + 6x

−16

x2 − 6x

+ 4

Вариант 25

Вариант 26

2 + ln x

Дsin xdx

∫

dx .

∫

3 + 2cos x

∫

cos xdx

∫

dx .

5 sin2 x

∫

dx.

∫

+ 4x2

4 − x2

3arctgx

∫

exdx

∫

dx .

+ x

4 − e2x

∫ xsin(3x + 5)dx .

∫ x arctgxdx .

∫ x2 ln xdx.

∫ x3 ln xdx .

∫

dx .

∫

dx .

10x − 21

+ 4x −12

206

Вариант 27 Вариант 28

1. ∫2x

+ 4 dx .

∫

arcsin x

dx .

∫

− x2

(x3 − 2)

ln x − 7

dx.

∫

∫ 2 + ln x dx.

∫ xe

dx .

4. ∫

x2dx

∫

x2dx

5 + x

4 + x

5. ∫ (x + x2 )dx .

5. ∫ x

(х2 + 3)dx .

6. ∫

ln xdx.

∫ x ln xdx .

∫

dx.

7. ∫ x2 + 2x + 2 dx .

− 4Иx +1

Вариант 29

Вариант 30

xdx

∫ ex2−1

∫1

− e3x .

sin xdx.

∫

2 − cos x

ln x

+10

∫

1− arctgx dx .

∫(2x x − 7x)

dx .

А1+ x

4xdx

(2x

− 3)2 dx .

∫

1− x4

(

x + 3)

xdx .

∫ (2x

∫

+ 3)

xdx.

∫ x cos xdx .

∫(2 − x) ex dx .

dx.

∫

dx .

и∫ 2

+ 6x +13

− 4x +1

207

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3118 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20214.26 Mб12227.pdf
#
07.01.20214.27 Mб722228.pdf
#
07.01.20214.28 Mб12229.pdf
#
07.01.2021357.88 Кб1223.pdf
#
07.01.20214.29 Mб42230.pdf
#
07.01.20214.29 Mб62231.pdf
#
07.01.20214.31 Mб82232.pdf
#
07.01.20214.32 Mб02233.pdf
#
07.01.20214.32 Mб12234.pdf
#
07.01.20214.32 Mб32235.pdf
#
07.01.20214.32 Mб12236.pdf