Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2231.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

4.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3123 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

§34. Контрольные работы по разделу «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной. Определенный интеграл»

1.Найти неопределенные интегралы. И

2.Вычислить определенные интегралы.

3.Определить площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций. Д,3. y = (x +1) y = −x +1. А

Вариант 2

x + 2

y 3y2

) ∫

−

) ∫

+1dy

;

в) ∫ arctg x dx .

+ 3

dx ;

π / 2

а)

∫

− 9бх + dx ; б)

∫

;

в)

∫

x −

sin xdx .

х + 4

y =

;

y = 1 x2. .

261

Вариант 3

−

1. а) ∫

;

б)

∫ (1− 3x)e2x−3x2 dx ;

в) ∫ (2x − 3) cos4x dx.

− x

2. а) ∫ (

x − 2)2 dx ;

б) ∫ e

dy ;

в)

∫

xdx .

π / 3

1 y2

π / 4

sin2 x

3. y = x2 / 2,

y = x3 / 8.

Вариант 4

− x

x dx

1. а) ∫

;

б)

∫

3 ;

в)

∫ x

ln xdx .

− 5

2 4 + 3х2

− 2x3

−3x

2. а) ∫

5 dx ;

в)

∫ (4 − 3x)e

dx.

dx ; б) ∫

(2x

+1)

+ 2

3. y = 3 − 2x − x2 ,

y =

Вариант 5

1. а)

− x

3x+1

;

)

x cos(5x2 − 3)dx

; в)

(3x − 2) cos5xdx .

∫

10 − x

−1

2. а)

∫

x +

dx ;

)

∫

;

в) ∫

ln xdx .

−2 (11+ 5x)3

3. y2 = x +1

y2 = 9 − x.

262

Вариант 6

x 3

2 x − 5

а) ∫

∫

; в) ∫ e

+ 3x + 2)dx .

+11

dx ; б)

3 1− 5x6

3 − arctg3 x

π / 2

а)

∫

− 5

dx ;б) ∫

dx ;

в)

∫

(2x − π )sin 2xdx

2 +

1+ x2

−1

y = 3 + 2x − x2 и y = x2 − 4x + 3.

Вариант 7

ln x

а) ∫

5 х2

−

х2

+ 2

dx ;

б) ∫

arctgx

;

в)

∫

dx .

e ln2

x + 2

/ 2

а)

∫

3x2

−

х3 +

−

;

б)

∫

dx ;

в)

И∫ (x − π ) cos 2xdx .

y =

, x + y = 7 .

Вариант 8

cos x

− 5

1− sin

x + x

∫(3x

− 2x) ln xdx.

а)

∫

− x

dx ;

)

∫

; в)

А1 x3

а) ∫

(

+ 4)

dx ;

) ∫

dx;

в) ∫

(π

− 2x)cos

xdx.

+ 2

3. 3x − y = 0, y = 4 − x2.

Вариант 9

3ln

x +

и1 3

в) ∫(3 − 2x) cos 7xdx.

а)

∫

5 − x

+ 2

− x

dx;

б) ∫

dx ;

2 х3 − 3x2 + 4

2 arccos2 x

2. а)

∫

dx ;

б)

∫

dx ;

в)

∫ e2x (2x − 3)dx .

− x

С2

− x

и x + y = 2.

263

Вариант 10

dx ; б)

− x

dx ; в)

1. а)

+ 3 2x −

arctgx + 3

+ 3) ln xdx.

∫

− 7

dx ;

2. а)

∫

+ 7

dx ; б)

∫

в) ∫

(3x

+ 4x) ln xdx .

х2 +

(2ex + 5)

3. y =

y = 2x.

Вариант 11

− xe

3x −

arcsin x

− ln x

1. а) ∫

−

dx ; б) ∫

dx ; в)

∫

dx.

− x2

5 x3

− x2

1 arctg3x

π / 2 И

2. а)

∫

− 2

dx ;

б)

∫

dx ;

в)

∫ (2x +1) cos3xdx .

х2 + 4

+ x2

3. y = (x +1)2 , y = (x −1)2.

Вариант 12

3 − x

) ∫ e2x

−5 x2dx; в)

1. а)

∫

−

dx;

∫ (3 − 4x)sin

dx .

+ 3

Аπ

− 5xe

cos x

2. а)

) ∫

;

∫

2 dx

− x

2 dx;

(2sin x +1)

в) e∫ (2 − 3x2 ) ln xdx .

3. y = 2x − x2 , y = −x + 2, x = 0.

264

Вариант 13

3 − 2cos

+2x−3

1. а) ∫

−

dx ; б)

∫ 3

(5x +1)dx ;

cos

− x

в) ∫ (1− 3x)e−3xdx.

arcsin3x

2. а) ∫

− 5

dx; б) ∫

− x2

dx ; в)

∫ e

(3 − 2x)dx .

2 − 4

3. y = 3x2 +1,

y = 3x + 7.

Вариант 14

2x − 5

x+1

3 −

1. а) ∫

− 4

∫

dx ; в) ∫ (

+ 3)ln xdx .

dx ; б)

−

(2x +1)

2. а) ∫

−

dx ;

б) ∫

dx ;

в) ∫ (3x − 2)e5x dx .

− 2

0 (3x2

− 2)

3. y = 3x − x2 , y + x = 3, x = 0.

Вариант 15

1)2

x+1

1. а) ∫

− 5

; ) ∫ e

+ 5)

dx;

− x

в) ∫ (2 − 5x)sin 5xdx .

2. а) ∫

− 5x

х +

;

) ∫

dx ;

в)

∫ (x

+ 3)ln xdx .

х2 − 9

x +1

+ 5

3. y = 5 − x

б2x

− x.

Вариант 16

x 3

x − 5

; в)

∫ e

+ 3x + 2)dx .

1. а) ∫

dx ; б) ∫

3 1− 5x6

+11

2. а) ∫

(23

x −1)

dx ; б) ∫ cos xe3sin x−2dx ;

в)

∫

(

x +1) ln xdx .

− x2

3. y = 4 − x2 , y = 8 − 2x2.

265

Вариант 17

1. а) ∫

x + 5

ln x

x − 2)

dx ; в)

+ (

−

∫

dx .

2 − x2

dx; б) ∫

cos

х2 − 5

4 cos x − 2sin x

2. а) ∫

∫

dx ; в) ∫ (5 − x)e

−2x

dx .

+ 2x − 2 dx ; б)

sin

3. xy = 4, x + 4y −10 = 0.

Вариант 18

x+1

3x2

− 2 + e

ln x

3 x + 2

1. а) ∫

− x

dx ; б)

∫

dx ;

в) ∫

dx .

x2 + 7

x + 3

y −

2. а) ∫

4x −10

х +1

dx ;

б)

∫

dy ;

в)

∫ (3x −

π )cos

xdx .

0 (y2 + 3)

3. у = х2 + 2х, y = 2 − x; x = 0; x = −2.

Вариант19

2 −

sin xdx

1. а) ∫

∫

5 ;

3 x4

− 2

sin

dx; )

(3cos x −

в) ∫ (x − π ) cosπxdx;

(2 − x)2

πx

2. а) ∫

−

dx ;

)

∫

dx ; в)

∫ (x

+ π )sin

dx .

(x2

x x

x +1

+ 2)

3. y = 2x − x2 , y = 5x − 4.

266

Вариант 20

(5ctgx − 3)10

2 −

3 +

1. а) ∫

+ 2x

+2 dx ; б) ∫

dx;

2 − x

sin

в) ∫ (3 − 8x)e−2xdx .

π / 3 (cos x +

2)dx

e 1− ln x

2. а)

∫

(3 x − 2)

− 5

dx ; б) ∫

sin

; в)

∫

dx.

π / 4

3. y = 2 −

х2

Д2

+ x = 2.

Вариант 21

−

cos xdx

x+1

1. а)

∫

2x x

− 3

dx ; б)

∫

;

3 − x

−

3sin x

−

в) ∫ (2x − 3)e4xdx .

2. а)

2x −

+ ln 2 2x dx ;

)

cos x

dx ;

в)

− 2)ln xdx .

∫

0 (sin x +1)

3. y =

, x + y = 2, y = 0.

Вариант 22

(2x + 3)

+ 3sin

1. а)

∫

−

dx ;

dx ; б) ∫

3 − x2 x

в) ∫ (x

− x + 3) ln xdx;

(x2 + 2)2

e ln

5 y + 3

2. а)

∫

−

dx ; б)

∫

dy ; в)

∫

cos

dx.

иx +1

3. y = x2 +1; y = 9 − x2 .

267

Вариант 23

− 5)

б) ∫ x sin(3 − 5x

)dx ;

1. а)

∫

−

− 2

dx;

в) ∫ (2 − x2 )e2xdx .

(3x − π )cos xdx .

2. а)

∫

x − 3

х +

dx ;

б) ∫

dy ;

в)

∫

х2 +16

y3 +1

3. y = x, y = 1 x, y =

Вариант 24

3x − 2

sin xdx

∫ (3x

−1) ln xdx.

1. а)

∫

− 2

dx ;

б) ∫

;

в)

4 − 9x2

cos

x +

arctg4 x

dx ;

2. а)

1∫ (2

−

3 −

x2 + 2

+ 3x )dx ; б)

1∫

в) ∫ (5x − 2)e−5xdx .

+ 2

1+ x2

3. y = x2

+ 2x − 3,

= 1− x.

Вариант 25

xА+1

1− 5x

−

1. а)

∫

−

4x2

−

dx ;

) ∫

5 x2

− x

dx ;

в) ∫

(x +

2 ln(x +1)dx.

1 2y + arctg5 y

π / 3

xdx

2. а)

∫

(x x

+ 2)

x2 +1

dx; б) ∫

y2 +1

dy ; в)

∫

−1

π / 4 cos2

3. y = x3 + 2, y = 2 − x2.

268

Контрольная работа 2

Вариант 1

1. Найти длину дуги кривой, заданной параметрически, заклю-

ченной между точками

= 8sin t

+ 6 cos t;

= 0; t2 = π / 2.

= 6sin t

− 8 cos t,

2. Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры,

ограниченной кривыми x y = 1; y = 2;

y = x ,

вокруг оси Оу.

3. Найти площадь поверхности, образованной вращением кри-

вой y = x3 , 0 ≤ х ≤ 1, вокруг оси Оx.

4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расхо-

димость

∞

dx .

∫3

x2 − 4

Вариант 2

1. Найти длину дуги кривой

ρ = 1 − cosϕ , заключенной между

точками ϕ1

= 0; ϕ2

= π .

Найти

тела, образованного вращением фигуры, огра-

объем

вокруг оси Оу.

ниченной линиями

y =ex ; x = 0; y

= e

3. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигу-

ры, ограниченной кривыми

y = x

x ,

x = 4 и осью Ох.

Найти

4. Вычислить несо ственный интеграл или доказать его расхо-

д мость

+ ∞

d x

.А

−∫∞

x2 +10x + 146

Вариант 3

дл ну дуги кривой, заданной параметрически, заклю-

ченной между точками

−t;

= 0; t2 = 3.

x = 1/ 3 t

y = t2 + 2,

объем тела, образованного вращением фигуры, огра-

ниченной линиями

y = sin x; 0 ≤ x ≤ π

вокруг оси Ох.

3. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг

оси Ох параболы y2 = 2 x + 1 от x

= 1

до

= 7.

4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расхо-

С17 d x

димость

∞

x2 −100 dx.

11∫

269

Вариант 4

1. Найти длину дуги кривой, заданной параметрически, заклю-

cos t;

t1 = 0; t2

= lnπ .

ченной между точками x = e

y = et

sin t,

2. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями 2 y2 = х3 ; х = 4 ,

вокруг оси Ох.

3. Найти площадь поверхности, образованной вращением кри-

вой вокруг оси Ох:

y = 2 x, 0 ≤ х ≤ 2 .

4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расхо-

димость

+ ∞

dx .

∫

−∞

+ 1

Вариант 5

1. Найти длину дуги кривой

y = 2

, заключенной между точ-

ками 0 ≤ x ≤ 1.

объемВариант 6

Найти

тела, полученного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями y = x (

4 − x),

y = 0 ,

вокруг оси Оу.

3. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигу-

Найти2

y = 4 − x .

ры, ограниченной кривой y = 1/ 2 x2 и прямой

4. Вычислить несо ственный интеграл или доказать его расхо-

д мость

+ ∞

d x

−∫∞

x2 +173 + 26 x

дл ну дуги кривой:

x = t 2 , y = t − 1/ 2 t 2 , 0 ≤ t ≤ 3.

объем тела, полученного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями (y − 3)

+ 3х = 0 ,

x = −3, вокруг оси Ох.

3. Найти площадь поверхности, образованной вращением кри-

вой x2

+ y 2

= 1,

где

0 ≤ x ≤ 1,

вокруг оси Ох.

4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расхо-

Сx

димость

∞

d x .

∫ sin

−11

270

Вариант 7

1. Найти длину дуги кривой

ρ = 1 + сos ϕ , заключенной между

точками ϕ1

= 0, ϕ2 = π .

Найти объем тела, полученного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями y = ( 4 − x), x = 0,

вокруг оси Оу.

3. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигу-

ры, ограниченной дугой синусоиды y = sin x

и отрезком оси Ох от

x1 = 0

до x2

= π .

4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расхо-

димость

+ ∞

d x .

∫6

(5 + x) ln3

(x + 5)

Вариант 8

Найти

длину

дуги

кривой,

заданной

параметрически

x = t

;

t = 1, t

= 3.

1 t3

заключенной между точками

y = t −

Найти о ъем тела, полученного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями

y = x2 , y = 2 x2

, x = 1, x =

2, вокруг оси Ох.

Найти

3. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг

оси Ох кр вой

y2 = 4 + x, отсеченной прямыми x = 2, y = 0 .

4. Выч

сл ть несо ственный интеграл или доказать его расхо-

∞

arctg (13 x )

2 d x .

д мость

∫

+ (13 x )

Вариант 9

длину

дуги

кривой,

заданной

параметрически

x = t

/ 6;

заключенной между точками

t1 = 0, t2 = 2.

y = 2 − t4

/ 4,

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, огра-

ниченной линиями y = ex , y = e2 x , x = ln3,

вокруг оси Ох.

271

	3. Найти площадь поверхности, образованной вращением кри-
вой	y2	= 2 x вокруг оси Ох,							0 ≤ x ≤ 2 .
	4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расхо-
		∞
димость ∫ sin x d x .
		0							Вариант 10
									Вариант 10
	1. Найти длину дуги ρ = sin3 ϕ ,									заключенной между точками
			= π .						3
ϕ 1	= 0,	ϕ 2	= π .							Д
					2					Д
	2.	Найти объем тела, образованного вращением фигуры, огра-
ниченной линиями y2 = 4 x, x = 1, y = 0										вокруг оси Оу.
	3. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигу-
								А
ры, ограниченной кривыми									y = 2 x − x2 , y = 0.
	4. Вычислить несобственный интеграл или доказатьИего расхо-
		∞
димость		∫ x e−x / 2 d x .
		0
									Вариант 11
	1.	Найти					длину		дуги,	заданной параметрически
	Найти
x = a cos			2		t;	заключенной между точками t1 = 0, t2 = π / 2.
y = a sin2 t,
	2.	Найти о ъем тела, полученного вращением плоской фигуры,
огран ченной отрезком прямой, соединяющей начало координат с
С
точкой (а; в), вокруг оси Оу.
	3.					коордбнаты центра тяжести однородной плоской фигу-
ры, огран ченной кр выми									x2 = у, х = 4 и осью Ох.
	4. Выч сл ть несобственный интеграл или доказать его расхо-
димость		+ ∞			x d x		.
димость		∫0		( x + 3)4			.
		∫0		( x + 3)4

272

Вариант 12

1. Найти

длину дуги ρ = 1 − sin ϕ , заключенной между то ч-

ками

ϕ1 = 0, ϕ 2

= π / 2.

Найти объем тела,

образованного вращением плоской фигу-

ры, ограниченной кривыми y = x2 / 4, y = x3 /8, вокруг оси Ох.

3. Найти площадь поверхности, образованной вращением кри-

вой

y = x3 ,

где

−

2 ≤ x ≤ 2 , вокруг оси Ох.

4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расхо-

димость

+ ∞

x d x

Ипараметрически

∫

x2 + 1

0 3

Вариант 13

d x

Найти

длину

дуги,

заданной

x = a (1 − sin t );

заключенной между точками t1

= 0, t2 = 2π .

y = a (1 − cost ),

Найти

объем

тела,

полученного вращением плоской фигуры,

ограниченной линиями: y2

= x, x2 = yД, вокруг оси Оу.

3. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигу-

Найти

+ 4 y − 16

y = sin4 t,

ры, ограниченной кривой

= 0 и осью Ох.

4. Вычислить несо ственный интеграл или доказать его расхо-

д мость

+ ∞

− 8 x + 17 .

∫5 x2

Вариант 14

дл ну дуги,

заданной параметрически x = cos4 t ;

заключенной между точками

t1 = 0, t2

= π / 2 .

Найти объем тела,

полученного вращением плоской фигуры,

ограниченной линиями: y = x3 , x = 2, y = 0, вокруг оси Оу.

273

3. Найти площадь поверхности, образованной вращением кри-

вой x = 2cos3 t;

0 ≤ t ≤ π

/ 2 , вокруг оси Ох.

y = 2sin3 t,

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расхо-

димость

+ ∞

d x

∫

e x (ln x)

Вариант 15

Найти

длину

дуги,

заданной

параметрически

заключенной между точками

t1 = 0, t2 = π / 2 .

x = a cos

y = a sin3 t,

Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры,

ограниченной кривыми y = x2 + 1, y = 0, x = 1, x = 2,

вокруг оси Ох.

Скорость движения тела задана функцией

v =

t + c

м/с.

Найти путь, пройденный телом за 20 с.

Вычислить

интеграл или доказать его расхо-

димость

+ ∞

− x3

d x .

∫

Вариант 16

1. Найти

дл ну дуги

ρ = 1 +sinϕ ,

заключенной между то ч-

ками ϕ1

= 0; ϕ2

= π / 2.

Найти о ъем тела, полученного вращением плоской фигуры,

огран ченной кр выми

y = ln x, x = e, y = 0,

вокруг оси Ох.

несобственный

коорд наты центра тяжести однородной плоской фигу-

ры, огран ченной кр выми x2 = y, x = 5 и осью Ох.

4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расхо-

+∞		x d x
		x d x
Найти
димость ∫	( x + 2)		3 .
0	( x + 2)
С

274

Вариант 17

Найти

длину

дуги,

заданной параметрически

x = a ( cost

+ t sin t);

заключенной

между

точками

− t cost ),

y = a (sin t

ограниченной

АД

−0,01 t

v = t e

м/с. Найти путь, пройденный точкой за 5 с.

4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расхо-

димость

несобственный

t1 = 0, t2 = π

/ 2.

полученного вращением плоской фигуры,

Найти о ъем тела,

ограниченной кривыми

y = x3 , x = 1, x = 2, y = 0, вокруг оси Оу.

коорд наты центра тяжести однородной плоской фигу-

ры, огран ченной отрезком прямой

= 1 и осями координат.

4. Выч

сл

ть

интеграл или доказать его расхо-

д мость ∫

d x .

(8x

− 40 )

Найти

Вариант 19

1. Найти длину дуги

y = ln(1 − x2 ), заключенной между точ-

ками x1

= −1/ 2, x2 = 1/ 2.

полученного вращением плоской фигуры,

Найти объем тела,

ограниченной кривыми

y = 2 x − х2 , y = 0, вокруг оси Ох.

275

3. Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y2 = 2 x , отсекаемого прямой x = 8 и осью Ох.

4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расхо-

димость

+ ∞

d x .

∫

5 ( x − 4)

Вариант 20

1. Найти длину дуги

ρ = a sin4 ϕ

, заключенной между то ч-

ками ϕ1

= 0, ϕ2

= π .

Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры,

ограниченной кривой

= 4 − x ,

вокруг оси Оу.

3. Определить координаты центра тяжести прямоугольника со

сторонами а и в

(а > 0,

в > 0).

4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расхо-

димость

+ ∞

d x.

−∫∞

+ 24 x

+ 313

Вариант 21

Вычислить

y =

2 − x2

, заключенной между то ч-

1. Найти длину дуги

ками x1

= 0, x2

= 1.

Найти о ъем тела,

полученного вращением плоской фигуры,

огран ченной кр выми

y = x2 + 3, x = 4, y = 0, x = 0, вокруг оси

Ох.

3. Определ

коорд наты центра тяжести однородной плоской

ф гуры, огран ченной параболой

x +

= a и осями координат.

несобственный интеграл или доказать его расхо-

димость

∫ ln x d x .

276

Вариант 22

1. Найти длину дуги

ρ = sin3 ϕ

, заключенной между точк а-

ми ϕ1 = π / 2, ϕ2 = π .

Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры,

ограниченной кривыми

y = x2 − 1, x = 1, y = 0,

вокруг оси Оу.

3. Найти координаты центра тяжести однородной плоской пла-

стинки, ограниченной кривой y = cos x и осью Ох.

4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расхо-

димость

+ ∞

d x .

16∫

− 225

Вариант 23

1. Найти

длину

заключенной

между

дуги

y = arcsin (e−x ),

точками

= 0, x2 = 1.

Найти

объем

тела, полученного вращением плоской фигуры,

ограниченной кривыми

y = 6x − x2 , x + y − 6 = 0, вокруг оси Ох.

3. Определить координаты центра тяжести однородной плоской

Найти

(−1 ≤ x ≤ 1).

фигуры, ограниченной частью кривой y = ex + e−x

4. Выч сл ть несо ственный интеграл или доказать его расхо-

+ ∞

д мость

∫5

− 4 d x .

Вариант 24

дл ну дуги

y = ex , заключенной м ежду

точками

x1 = 0,

x2 = 1.

объем тела, полученного вращением плоской фигуры,

ограниченной кривыми

y = 4 − x2 ,2 x + y − 4 = 0,

вокруг оси Ох.

3. Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, которая представляет собой прямоугольный треугольник с катетами а и h.

4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расхо-

димость ∫2 xx2d−x1 .

−2

277

Вариант 25

Найти длину

дуги

y = arccos (e−x ),

заключенной между

точками

= 0, x2

= 1.

Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры,

ограниченной кривыми y2

= 9 x,

y =3x, вокруг оси Ох.

3. Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограни-

ченной кривой y = 4 x − x2

и осью Ох.

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расхо-

x2 + 3

димость

+ ∞

d x .

∫

Контрольная работа 3

Вычислить определенные интегралы.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками дан-

ных функций.

объем

Вычислить длину дуги кривой.

Вычислить

тела, образованного вращением фигур, ог-

раниченных графиками функций:

а) ось вращения Оx;

) ось вращения Oy.

Вариант 1

2π

x dx

ln 2

−x

а)

∫sin 3x cos

3xdx;

)

∫

;

в) ∫ xe

dx.

25 − x2

а)

y = (x − 2)3 ,

y = 4x − 8;

б) x

2 cos

x ≥ 2.

r = 8cosϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π

y = 2

2 sin3 t,

y = −x2 + 5x − 6, y = 0.

278

			Вариант 2
1. а) ∫ 28	cos3	xdx;	б) ∫	x dx	3 ;
0			4
−π 2			0	(16 + x2 ) 2

в) ∫ xsin xdx.

2 cos t;

а)

y = 4 − x2 , y = x2

− 2x;

б) x =

y ≥ 2.

2 sin t,

y = 2

r = 6(1+ sinϕ),

≤ ϕ ≤ π.

4. 2x − x2 − y = 0, 2x2 − 4x + y = 0.

Вариант 3

а)

4 sin2 (x 2) cos

2)dx;

б)

− x2 dx;

2π

∫ 2

∫ x

в) ∫ x2 cos xdx.

2. а) y = x

9 − x2

, y = 0, 0 ≤ x ≤ 3;

x = 4(t − sin t);

y ≥

4, 0

≤ x ≤ 8π.

б)

y = 4(1− cost),

3. r

= 2ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 4.

y = 3sin x, y = sin x,

0 ≤ x ≤ π.

∫sin(x 4) cos4

Вариант 4

а)

(x 4)dx;

)

∫

x dx

2 ;

в) ∫ ln x dx.

2π

16 − x

а)

y = sin x cos2 x,

y = 0, 0 ≤ x

≤

;

б)

x = 2cost;

y ≥ 3.

и3. r = 2(1− cosϕ), − π ≤

π .

y = 6sin t,

ϕ ≤ −

y = 5cos x, y = cos x,

x = 0, x ≥ 0.

279

Вариант 5

2π

а)

∫sin6 x cos

xdx;

б)

∫ x

4 − x2 dx;

в) ∫arccos xdx.

б) x

= 16cos

а)

y =

4 − x2

y = 0,

x = 0,

x = 1;

x ≥ 2.

r = 4(1 − sinϕ), 0 ≤ ϕ ≤

y = 2sin3 t,

x = sin2 x, x = π ,

y = 0.

Вариант 6

а)

∫ 24 sin3 xdx;

б)

∫

x dx

;

в)

∫ xarctgxdx.

0 И

(4 − x2 )3

2. а) y = x2

4 − x2

, y = 0, 0 ≤ x ≤ 2;

x = 2(t − sin t);

y ≥ 3, 0 ≤ x ≤ 4π.

б)

y = 2(1− cost),

= 3(1+ sinϕ),

−π

≤ ϕ ≤ 0.

y = 3

y =1.

y − 2, x =1,

АВариант 7

xdx .

а)

∫ 28

cos3 xdx;

) ∫

x dx

3 ;

в) ∫

(2 − x )

−1

5 − 4x

а)

y = cos x sin2

y = 0,

0 ≤ x ≤

;

б) x

= 16cos

x ≥ 6

иπ

≤ ϕ ≤

y = sin3 t,

5(1

− cosϕ),

y = xex , y = 0,

x =1.

280

Вариант 8

x2 −1

ln 2

1. а)

sin x cos

xdx;

б)

dx; в)

−1dx.

∫ 2

∫

−π 2

2. а) y =

И1

ex −1, y = 0, x = ln 2;

x =

3(t − sin t);

y ≥ 3, 0 ≤ x ≤

6π.

б)

3(1− cost),

y =

3. r =

eϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π

4. y = 2x − x2 , y = −x + 2, x = 0.

Вариант 9

4 sin(x

)cos4 (x

)dx; б)

1. а) ∫ 2

∫

;

в) ∫ x(2

− x2 )12 dx.

(2 − x4 )

y =

, y = 0, x =1, x = e3 ; б)

x = 6cost;

2. а)

y ≥ 3.

y = 2sin t,

1 + ln x

r = 1− sinϕ, 0 ≤ ϕ ≤

y = 2x − x2 , y = −x + 2.

Вариант 10

2π

x dx

а)

∫sin

cos

dx;

) ∫

;

в) ∫(xln x)

dx.

+ x )

б 0 (9

2 cos t;

а)

y = arccos x,

y = 0,

= 0;

б) x = 8

x ≥ 4.

y =

2 sin3 t,

≤ ϕ

≤ π

= 3e3ϕ 4 ,

− π

y = e1−x , y = 0, x = 0, x =1.

281

Вариант 11

xdx .

а)

∫sin2 xdx;

б)

∫

x (5 − х2 )−1,5 dx;

в) ∫

2π

0,5

−1

+ x +1

2 cost;

а)

y = (x +1)2 ; y2 = x +1;

б)

x =

y ≥ 3.

2 sin t,

y = 3

≤ t

≤ π

x = e (cost + sin t);

y = et (cost − sin t),

y = x2 , y2 − x = 0.

Вариант 12

а)

∫ 24 cos3 xdx;

б)

∫ x

2 1

− x3 dx;

в) ∫ x 3

1− xdx.

2. а) y = 2x − x2 + 3;

y = x2 − 4x + 3;

б)

x = 6(t − sin t);

0 < x < 12π y ≥ 9.

y = 6(1− cost),

6cos

0 ≤ t ≤

x =

= 6sin

3 t,

− 2)2

=1.

Вариант 13

а)

sin

x cos

xdx;

)

x dx

;

в)

−1

∫

(25 + x2 ) 25 + x2

x −1

б0

−2

а)

y = x

y = 0, 0 ≤ x ≤ 6; б) x = 32 cos

x ≥ 4.

36 − x2

y = sin3 t,

x =

2,5(t − sin t);

≤ t ≤ π.

2,5(1− cost),

y =

y =1 − x2 , x = 0, x =

y − 2, x =1.

282

Вариант 14

(x 2)cos

(x 2)dx; б)

+ 2

1. а)

3x + 5

dx;

∫ 2

sin

∫

3 1

+ 5

−5

в) ∫ x7 1+

3x8 dx.

x = 3cost;

а)

x = arccos y,

x = 0, y

= 0;

б)

y ≥ 4.

y = 8sin t,

x = 3(t − sin t);

π ≤ t ≤ 2π.

y = 3(1− cost),

y = x2 , y =1, x = 2.

Вариант 15

2π

а)

∫sin3 (x 4)dx;

б)

∫ x

256 − x2 dx; в) ∫2sin 2x sin 3xdx.

а)

y = arctgx,

y = 0,

x =

6(t − sin t);

y ≥ 6, 0 < x < 12π.

б)

6(1

− cost),

y =

x = 3(cost

+ t sin t);

≤ t ≤ π

y = 3(sin t − t cost),А

y = x3 ,

y =

Вариант 16

а)

∫cos2 xdx;

б) ∫

x dx ;

в)

∫ (x sin x)2 dx.

2π

16 − x2

а)

y = x2

8 − x2

y = 0, 0 ≤ x ≤ 2;

б) r = sinϕ,

r = 2sinϕ.

x = 10cos

0 ≤ t ≤ π

y = 10sin3 t,

y = sin(π x

y = x2 .

283

284

Вариант 17

а)

sin

x cos

xdx;

x + 3

в)

xdx.

∫ 2

б) ∫

2 dx;

∫ x cos

18 (x

+ 3)

а)

y =

−1,

x = 0,

y = ln 2;

б) r =1 +

cosϕ.

0 ≤ t ≤ π.

x = e (cost + sin t);

y = et (cost − sin t),

y = arccos (x 3 ),

y = arccos x,

y = 0.

Вариант 18

x3 dx

x cos xdx;

а)

∫ 2

sin

б) ∫

;

в)

∫ x

−1 dx.

− x4

а)

y = x

− x

y =

0, 0 ≤ x

≤ 2; б) r =

+ cosϕ.

x = 3(2cost − cos 2t);

0 ≤ t

≤ 2π.

y = 3(2sin t − sin 2t),

πД

y = arcsin x, y =

= arcsin

Вариант 19

π 2

x dx

(x − 2)cos xdx.

а)

∫ 28 sin

x cos2 xdx;

)

∫

;

в)

∫

−π

−12 2 + 2x +1

а)

y =

б, y = 0, x =1;

б) r =1 +

2 sinϕ.

x = 4(cost + t sin t);

0 ≤ t ≤

y = 4(sin t − t cost),

= x

x = 2,

y = 0.

Вариант 20

2 x dx.

а)

∫ 24

sin2 (x 2 )dx;

б) ∫ x +

3x − 2 −10 dx;

в)

∫6

sin

+ 7

cos

3x − 2

а)

y =

y = 0,

x = ± π .

б) r = (5 2 )

sinϕ, r = (32 ) sinϕ.

1 + cos x

x = 5(t − sin t);

0 ≤ t ≤ π.

y = 5(1− cost),

y = x2 +1, y = x, x = 0, x =1.

а)

∫ cos5

)dx;

Вариант 21

∫ cos 5x cos xdx.

б) ∫

sin x dx ;

в)

2π

2 + cos x

а)

x = (y

x =

4y − 8;

б) r = (

)cosϕ,

Иr = ( )cosϕ.

− 2)

y = ex

+13,

≤ x ≤ ln

y =

y = 0, y =1, x = 0,5.

x −1,

Вариант 22Д

2π

x cos

xdx;

sin x dx

2ln 2 exdx

а)

∫sin

) ∫

;

в)

∫

3 − cos x

ln 2

−1

а)

y = cos5xsin 2x,

Аy = 0, 0 ≤ x ≤ ; б) r = 4cos4ϕ.

y = ln(x2

−1), 2 ≤ x ≤ 3.

y =

= ln x,

x = 2,

Вариант 23

а)

π 2

sin x cos

xdx;

б) π

sin 2x dx

; в)

π 3 sin2 xdx.

и∫

∫

3 − cos 2x

∫

а)

y =

x =1;

б) r = sin 6ϕ.

(1 + x2 )

y =

+ arccos x,

0 ≤ x ≤ 8 .

1 − x2

4. y = (x −1) , y =1.

285

Вариант 24

x cos

xdx;

x5 dx

π 4

1− sin x

dx.

1. а)

∫ 2

sin

б) ∫

;

в)

∫

x + cos x

16 − x6

2. а)

x = 4 − y2 ,

x = y2-2y; б) r = 2cosϕ,

r = 3cosϕ.

3.y = ex + 6, ln8 ≤ x ≤ ln 15.

4.y2 = x − 2, y = 0, y = x3, y =1.

Вариант 25

3xdx;

1 3

2ln x − 3

а)

∫ 2

sin

б) ∫

;

в) ∫

+ x

−π 2

а)

y =

e 1x

y = 0, x = 2, x =1;

б) r = cosϕ +Иsinϕ.

, 1 ≤ x ≤1.

y = 2 + arcsin

x − x2

y = x3 , y = x2 .

Вариант 26

1 3

2tg x − 3

π 2

а)

∫

cos2 (x

)dx;

)

;

в)

∫

(3x + 5)cos xdx.

∫

cos

а)

y = x2

y = 0,

0 ≤ x ≤ 4; б) r = 2sin 4ϕ.

16 − x2

= ln

3 ≤ x ≤ 8.

y = arccos

, y = 0.

286

Вариант 27

2π

(x 4)cos2 (x 4)dx;

1. а)

∫sin2

б)

∫

;

в)

∫ x(1 − x)2 dx.

25 − x

а)

x =

4 − y2

x = 0,

y = 0, y =1;

б) r = 2cos6ϕ.

y = −ln cos x,

≤ x ≤ π .

y = arcsin x,

y = arccos x,

y = 0.

Вариант 28

3arcsin

xdx

−x

а)

∫ 2

sin3x cos

3xdx;

б)

;

в)

∫(x +1)e

dx.

∫

1− x6

а)

y = (x −1)2 ,

= x −1;

б) r = cosϕ − sinϕ.

−

ln x

, 1≤ x ≤ 2.

= x2 −

2x +1,

x = 2,

y = 0.

Вариант 29

а)

2π

x cos xdx;

)

−7

6 x + 2

dx;

в)

sin x

dx.

∫sin

∫

(x +

cos

−14

А15

−

а)

y = x2 cos x,

y = 0, 0 ≤ x ≤ π 2 ;

б) r = 3sinϕ,

r = 5sinϕ.

y =

+ arcsin x,

0 ≤ x ≤ 7

1 − x2

y = x3 ,

y = x.

Вариант 30

xdx;

13arctg3 xdx

x3dx

а)

∫

sin

б) ∫

;

в) ∫

+ x

1+ x

π 2

а)

x = 4 − (y −1)2 ,

x = y2 − 4y + 3;

б) r = 6sinϕ,

r = 4sinϕ.

С3. y = ln x,

≤ x ≤

15.

x = 0.

= arccos x,

y = arcsinx,

287

Найти неопределенные интегралы

Контрольная работа 4

Вариант 1

1.∫

(2x −1)dx

. 2.∫

x2 − x +1

dx. 3.∫

sin x dx

−

+ x

+ 5cos x

x2 −

4x +1

Вычислить определенные интегралы:

1 2

arcctg3 4x

2x dx

dx.

∫

5. ∫

16x

(1+x2 )3

6. Найти несобственный интеграл или установить его расходи-

∞

мость

∫ e−4x (x2 − 9x + 7)dx .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнениями 4y = x2 и y = 8/(x2 + 4). СделатьИчертеж.

Вариант 2

Найти неопределенные интегралы:

(5x +

2)dx

8x3 − x − 2

1.∫

. 2.∫

dx. 3.∫

+ x

3 + sin x − cos x

x2 + x

− 3

Вычислить определенные интегралы:

+ 4

∫

А. 5.

dx .

(9-x2 )arcsin6 x

∫

6. Найти

интеграл или установить его расходи-

мость

∞

−2x

(3x

+ 2x +1)dx .

∫

несобственный

7. Выч сл ть площадь фигуры, ограниченной линиями, кото-

рые заданы

y = x2 + 4x

и y = x + 4. Сделать чертеж.

уравнениями

288

Вариант 3

Найти неопределенные интегралы:

1.∫

(x − 4)dx

2.∫

(3x +1)dx

3.∫

(3 − cos x)dx.

x2 − 6x+5

+ x +1

1+ cos x

Вычислить определенные интегралы:

6 arccos2 x

x2 + 4

dx.

dx .

4. ∫

∫

1− x2

6. Найти несобственный интеграл или установить его расходи-

∞

мость ∫ e−4x (x2 + x + 5)dx.

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнениями y2 = x + 1

y2 = 9 – x. Сделать чертеж.

Вариант 4

Найти неопределенные интегралы:

1.∫

(2x + 7)dx

. 2.∫

(x + 2)dx

. 3.∫

− x

1−

1+2x − x2

4sin x + 3cos x

Вычислить определенные интегралы:

1 2 arcctg7 2x

dx .

1-x

dx.

4. ∫

∫

+ 4x

x + 2

1 2

6. Найти несо ственный интеграл или установить его расходи-

∞

мость ∫ e−4x (x2 + 2x + 2)dx .

7. Выч сл ть площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

= x2 – 2x. Сделать чертеж.

заданы уравнен ями

y = 4 –

Вариант 5

Найтинеопределенные интегралы:

1.∫

(2x +1)dx

. 2.∫

8x3-3x-3

dx. 3.∫

x2+8x+9

+ x

7 sin x +

5cos x

Вычислить определенные интегралы :

2 8

Сarccos 5x

dx .

5.∫ x 4

− x

dx .

4. ∫

1− 25x2

289

6. Найти несобственный интеграл или установить его расходи-

∞

мость ∫ e−2x (x2 − x + 8)dx .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнениями y = (x + 1)2

и y2

= x + 1. Сделать чертеж.

Вариант 6

Найти неопределенные интегралы:

1.∫

(2x − 3)dx

. 2.∫ (x3

+ 8)dx2 . 3.∫

1+x − 4x2

+ 2x

− sin x + cos x

Вычислить определенные интегралы:

1 2

+ 9

dx.

∫

3 6 (1+ x )arctg

−

6. Найти несобственный интеграл или установитьИего расходи-

∞

мость

∫ e−5x (x2 + 3x + 9)dx .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнениями y = (x – 2)3

и y = 4x – 8. Сделать чертеж.

Найти

Вариант 7

Найти неопределенные интегралы:

1.∫

(2x − 3)dx

. 2.∫

. 3.∫

5 + 3cos x

x2 − 6x +1

5x − x +1

Выч сл ть определенные интегралы :

∫

2x dx.

5.∫

42+x

dx.

arccos

1 4

б2

1-4x2

− 3

несобственный интеграл или установить его расходи-

∞

−5x

2x + 4)dx.

мость ∫ e

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнениями y = 2 x – x2 + 3 и y

= x2 – 4x + 3. Сделать чертеж.

290

Вариант 8

Найти неопределенные интегралы:

1.∫

(3x+1)dx

. 2.∫

(2x2 + 2x −1)dx

. 3.∫

− x

3 − 4sin x + 7 cos x

x2 − 6x +1

Вычислить определенные интегралы:

arcsin83x

x dx

dx.

∫

1− 9x

∫

(x2 + 3)5

Найти несобственный интеграл или установить его расхо-

∞

димость

∫ e−31x (x2 + 22x +

1)dx .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнениями y = 6/x

x + y – 7 = 0. Сделать чертеж.

Вариант 9

Найти неопределенные интегралы:

(2x −13)dx

(6x3

1)dx

б2

1.∫

3x2 − 6x

. 2.∫

− x

. 3.∫

5 + 2sin x

+ 7 cos x

− 4

Вычислить определенные интегралы:

3 arctg

53x

1-x2

Найти

∫

dx.

∫

+ 9x

dx .

6. Найти несо ственный интеграл или установить его расходи-

∞

мость ∫ e−14x (x2 + 3x +1)dx .

7. Выч сл ть площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнен ями y = x

y = 3 – 2x. Сделать чертеж.

Вариант 10

неопределенные интегралы:

1.∫

(x − 3)dx

. 2.∫

(x3 − 2x2 − 2x +1)dx

. 3.∫

x2 − 4x

−1

+ x

− sin x + 2cos x

Вычислить определенные интегралы:

1 4 3

arcsin 5x

x2 −1

dx .

dx.

4. ∫

∫

1-25x2

291

6. Найти несобственный интеграл или установить его расходи-

∞

мость ∫ e−2x (2x2 + x + 2)dx .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнениями y = 1/(x2 + 1) и y

= x2/2 . Сделать чертеж.

Вариант 11

Найти неопределенные интегралы

(3x −1)dx

2x2 − 5x +1

1.∫

. 2.∫

− 2x

+ x

dx. 3.∫

+ 5cos x

2x2 − 5x +1

Вычислить определенные интегралы:

1 2

arcctg2 2x

dx .

4. ∫

5. ∫

3 6 1+ 4x

А4 3

(1+x2 )3

6. Найти несобственный интеграл или установитьИего расходи-

∞

мость ∫ e−4x (6x2 + 9x + 7)dx .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнениями 4y = x2 и y = 8/(x2 + 4). Сделать чертеж.

Найти

Вариант 12

Найти неопределенные интегралы:

1.∫

(5x + 2)dx

. 2.∫

4x3

+8x2-x-2dx. 3.∫

3 + 2sin x + 3cos x

+ 3x − 4

+ 2x

+ x

Выч сл ть определенные интегралы:

+ 4

dx .

4. ∫

(4 − x2 )arcsin6 x 2

∫

несобственный интеграл или установить его расходи-

∞

мость ∫ e−2x (7x2 + 5x + 8)dx .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, кото-

рые заданы уравнениями y = x2 + 4x и

y = x + 4. Сделать чертеж.

292

Вариант 13

Найти неопределенные интегралы:

1.∫

(x −1)dx

. 2.∫

(3x2 +1)dx

. 3.∫

(3sin x − 2cos x)dx

− x

1+ cos x

3x2 − x+5

− x +1

Вычислить определенные интегралы:

6 arccos2 3x

x2 + 4

dx .

4. ∫

∫

1− 9x2

6. Найти несобственный интеграл или установить его расходи-

∞

мость ∫ e−2x (x2 + 3x + 5)dx .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнениями y2 = x + 1

= 9 – x. Сделать чертеж.

Вариант 14

Найти неопределенные интегралы:

1.∫

(2x +1)dx

. 2.∫

3+ 2)dx2 . 3.∫

1+x − 3x2

− x

5 −

5sin x + 3cos x

Вычислить определенные интегралы:

1 2 arcctg3 2x

dx .

1− x

dx .

4. ∫

+ 4x

5. ∫

1 2

6. Найти несо ственныйАинтеграл или установить его расходи-

∞

мость ∫ e−3x (6x2 + 2x + 7)dx .

7. Выч сл ть площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнен ями y = 4 – x2

y = x2 – 2x. Сделать чертеж.

Вариант 15

Найтинеопределенные интегралы:

1.∫

(2x + 5)dx

. 2.∫

4x4+8x3 − 3x-3

dx. 3.∫

4x2+8x+9

+ 2x

+ x

10sin x +

5cos x

Вычислить определенные интегралы :

2 8

Сarccos 4x

dx .

5.∫ x

+ x

dx .

4. ∫

1−16x2

293

6. Найти несобственный интеграл или установить его расходи-

∞

мость

∫ e−2x (5x2 + 3x + 8)dx .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнениями y = (x + 1)2

и y2= x + 1. Сделать чертеж.

Вариант 16

Найти неопределенные интегралы:

1.∫ (2

x −10)dx . 2.∫ (x3+ 2)dx2 . 3.∫

1+x − x2

+ x

− sin x +

2cos x

Вычислить определенные интегралы:

1 2

+ 9

dx.

4. ∫

∫

3 6 (1+ 4x )arctg 2x

6. Найти несобственный интеграл или установитьИего расходи-

∞

мость

∫ e−4x (2x2 + 3x + 5)dx .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнениями y = (x – 2)3 и y = 4x – 8. Сделать чертеж.

Найти

Вариант 17

Найти неопределенные интегралы:

1.∫

(2x

− 8)dx

. 2.∫

. 3.∫

− x

− x +1

5 − 3cos x

− x

Выч сл ть определенные интегралы :

1 4

arccos

4+x

б2

4. ∫

− 4x2

dx .

5.∫

dx.

несобственный интеграл или установить его расходи-

мость

∞

−2x

(3x

+ 9x +

4)dx .

∫ e

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые заданы уравнениями y =2 x – x2 + 3 и y = x2 – 4x + 3 . Сделать чертеж.

294

Вариант 18

Найти неопределенные интегралы:

1.∫

(3x+4)dx

. 2.∫

(2x2 − 2x −1)dx

. 3.∫

− x

8 − 4sin x +

7 cos x

x2+6x +13

Вычислить определенные интегралы:

arcsin33x

dx.

∫

1− 9x

∫

(x2

+ 3)5

Найти несобственный интеграл или установить его расх о-

∞

димость

∫ e−3x (6x

2 + 2x +1)dx .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнениями y = 6/x

x + y – 7= 0. Сделать чертеж.

Вариант 19

Найти неопределенные интегралы:

(2x −

13)dx

1)dx

б2

1.∫

. 2.∫

− x

2 . 3.∫

5 +

2sin x + 3cos x

3x2 − 3x

−16

Вычислить определенные интегралы:

3 arctg33x

1− x2

Найти

∫

dx.

∫

+ 9x

dx.

6. Найти несо ственный интеграл или установить его расходи-

∞

мость ∫ e−4x (2x2 + 3x +1)dx .

7. Выч сл ть площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнен ями y = x

и y = 3 – 2x. Сделать чертеж.

Вариант 20

неопределенные интегралы:

1.∫

(x − 3)dx

. 2.∫

(x3 − 2x2 − 2x +1)dx

. 3.∫

2x2 − 4x

−1

− x

5 − 4sin x +

2cos x

Вычислить определенные интегралы:

1 4 3

arcsin 2x

2 −1

dx.

4. ∫

∫

1− 4x2

295

6. Найти несобственный интеграл или установить его расходи-

∞

мость

∫ e−3x (9x2 + 6x + 2)dx .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнениями y = 1/(x2 + 1) и y = x2/2 . Сделать чертеж.

Вариант 21

Найти неопределенные интегралы:

(2x −10)dx

(x + 2)dx

1.∫

. 2.∫

. 3.∫

− x2

+ x

3 − sin x − 2cos x

Вычислить определенные интегралы:

1 2

x + 9

dx .

∫

+ 4x

)arcctg

5.∫

6. Найти несобственный интеграл или установить его расходи-

∞

мость

∫ e−4x (12x2 + 3x +

2)dx .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнениями y = (x – 2)3

и y = 4x – 8. Сделать чертеж.

Найти

Вариант 22

Найти неопределенные интегралы:

(x − 8)dx

А4x dx dx

1.∫

. 2.∫

. 3.∫

− 2x

− 3cos x

− 8x

Выч сл ть определенные интегралы :

1 4

arccos

dx.

7+x

dx.

4. ∫

− 4x2

5.∫

несобственный интеграл или установить его расходи-

мость

∞

−2x

(3x

+ 2x +1)dx .

∫ e

296

Вариант 23

Найти неопределенные интегралы:

1.∫

(3x= 4)dx

2.∫

(2x2 −1)dx

. 3.∫

− x

+ 4sin x + 7 cos x

x2+4x +5

Вычислить определенные интегралы:

arcsin53x

xdx

dx .

∫

1− 9x

∫

(x2 + 23)5

Найти несобственный интеграл или установить его расхо-

∞

димость

∫ e−3x (2x2 +

3x +1)dx .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнениями y = 6/x

x + y – 7= 0. Сделать чертеж.

Вариант 24

Найти неопределенные интегралы:

∫

(x −11)dx

. 2.

∫

(x3 + 4)dx

. 3.

3x2 − 6x − 2

x3 − x2

Д∫ 7 + sin x + 3cos x

Вычислить определенные интегралы:

ями

3 arcctg3

dx .

8 − x2

dx.

∫

1+ 9x

6. Найти несо ственный интеграл или установить его расходи-

∞

(12x2

8x +1)dx .

мость

∫ e−4x

7. Выч слбть площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнен

y = x2

= 3 – 2x. Сделать чертеж.

297

Вариант 25

Найти неопределенные интегралы:

1.∫

(x + 3)dx

. 2.∫

(x3 − 2x2 − 2x)dx

. 3.∫

− x

− sin x + 2cos x

− 4x −1

Вычислить определенные интегралы:

1 4 3

arcsin4 2x

x2 + 5

dx.

dx .

4. ∫

∫

1− 4x2

6. Найти несобственный интеграл или установить его расходи-

∞

мость ∫ e−4x (x2 − x + 2)dx .

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, которые

заданы уравнениями y = 1/(x2 + 1) и y = x2/2 . Сделать чертеж.

298

Тесты по разделу «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных»

1. Частная производная функции z = x5 cos 2y по переменной y

вточке M 1;π равна…

а) –2;		б) 5;		в) 2;				г) 0.			И

2. Частная производная функции z = x3 sin y											по переменной y в
точке M (1;0) равна…
а) 2;		б) 1;		в) 0;				г) 3.
3.Частная производная функции								z = ex4 + y по переменной x в
точке M (1;−1)		равна…		А

а) –4;		б) 4e;		в) 3;						г) 4.
4. Частная производная функции								z = ex3 + y			по переменной x в
точке M (1;1) равна…
2		б) 4e;		в)	4						2
а) 2e	;				3e	;Дг) 3e .
5.		уровня функции z = 3
							x − y2		являются…
Линиями					в) прямые;						г) эллипсы.
а) пара олы;			) гипер олы;
6.Частная про зводная функции z = x3 sin 3y по переменной y в
точке М (1; π ) равна …
С		б) 1; в) 1,5;
	9
а) 0,5;										г) 3.
7. Частная производная функции z = x3 sin 3y											по переменной x в
точке М (1;0) равна …
а) 3;		б) 1;		в) 0;					г) 2.
8. Градиентом скалярного поля u = xy2z2 в точке M(3;2;–1) явля-
ется вектор…				б) i + 4 j − 2k
а) 4i	+12 j − 24k ;							;
в) 3i	+ 4	j − 2k	;	г) 3i + 2 j − k .

299

9. Дана функция двух переменных z = x + y . Тогда область определения этой функции изображена на рисунке …

а) ; б) ; в) ; г) .

10. Направление наискорейшего возрастания скалярного поля u = xyz в точке P(0;1;1) совпадает с направлением вектора…

а) j + k ;	б) i ;	Д
		в) k ;	г) j .

11. Если градиент скалярного поля Z = z(x,y) в точке P – это век-

тор q = (2 5 +1;2 + 5), то производная поля Z в точке P в направле-

нии вектора a

= (− 2;1) равна…

И.

а) 3;

б) –3;

в) −

;

г) −

12. Если градиент скалярного поля Z = z(x,y) в точке P – это век-

P в направлении вектора

тор q = (2;10), то производная поля Z в точке

a = (5; 12) равна…

а) 10;

) 20;

в) 0;

г) 35.

равноЕсли…

13. Если

U = e2x−5 y+z2 , то значение U′y в точке M(0;–1;1) равно…

;

а) –e ;

) 5e

Ав) 2e ;

г) –5e .

14. Если

U = sin(x + 2y 2 − z),

то значение Uz′ в точке M(π/2;0;0)

равно…

а) 3 / 2;

б) –1/2;

в) 0;

г)

/ 2.

15.

U = ln(3x − y2 + 2z3 ), то значение Uz′ в точке M(1;0;1)

а) 1/3;

б) 6/5;

в) 1/5;

г) 0,2.

16. Если U = cos(x2 − y + z3 ),

то значение Uz′ в точке M(0;–π/2;0)

равно…

а)

/ 2;

б) –1/2;

в) 0;

г)

/ 2.

300

17. Для функции z = 2x2 + 5xy – 2y + 1 определить направление наиболее быстрого ее роста в точке A(1;–1) .

а) i − 3 j ;

б) i + j ;

в) − i + 3 j ;

г)

18. Найти производную функции z = 3x2 + 6xy + 5x + 2y2 в на-

правлении наиболее крутого ее подъема в точке A(–1;1) .

а) 3 / 2;

б) 1,3;

в) –1/2;

г) 29 .

19. Найти производную функции u = xy2z2 в точке M(3;2;–1) в

направлении градиента…

а)

6005 ;

б)

;

в) –1/2;

г)

6016

20. Найти производную функции

z = ex3 + y

в точке M (1;1)

в на-

правлении градиента…

а) 10 e

;

б) – 10 e

;

в 10 e;

г) 7e .

И2

Ответы:

1–а 2–б

6–в

7–в

8–а

9–г

10–б

3–г 4–г

5–а

11–б 12–а 13–г 14–в 15–в 16–Дв 17–в 18–г 19–б 20–а

Тесты по разделу «Интегральное исчисление функции

Первообразными

одной действительной переменной. Неопределенный интеграл»

разными функции y = e3 – 5x являются… (укажите не

менее двух вар антов ответа)

) –1/5 e3 – 5x ;

в) e3 – 5x;

г) –1/5 e3 – 5x + 9.

а)

–5e3 – 5x;

функции y = e10x – 9 являются…(укажите не

менее двух вар антов ответа)

а) 0,1e10x – 9 – 10;

б) 10e10x – 9;

в) e10x – 9 ;

г) 0,1e10x – 9 .

3. Первообразными функции y = e7x + 15 являются…(укажите не

менее двух вариантов ответа)

а) 7e 7x + 15;

б) 1/7 e 7x + 15;

в) e 7x + 15;

г) 1/7 e 7x + 15 + 11.

301

4. Первообразными функции

y =

являются… (укажите

1 − 5x

не менее двух вариантов ответа)

а) 37 − 8 1 − 5x ; б) 40 1− 5x + 27 ; в)

; г) − 8 1 − 5x .

(1 − 5x)3/ 2

5. Первообразными функции y = 9sin(3x + 1) являются… (ука-

жите не менее двух вариантов ответа)

а) –9cos(3x + 1) – 19;

б) –3cos(3x + 1);

в) 27cos(3x + 1);

г) –3cos(3x + 1) + 17.

6. Первообразными функции

= (7x + 1)3

являются… (укажи-

те не менее двух вариантов ответа)

а)

21(7x +1)2 ;

б)

(7x +1)4 ;

в)

(7x +1)4

− 31;

г)

(7x +1)4 + 21.

7. Множество первообразных функций f (x) = sin5x имеет вид…

первообразных

а)

−

1 cos5x + C ;

)

1 cos5x + C ;

в) 5cos5x + C ;

г) cos5x + C .

функций f (x) = sin10x имеет вид…

8. Множество

а) − 0,1cos10x + C ;

А) 10cos10x + C ; в) −10cos10x + C ;

г) 0,1cos10x + C .

функций f (x) = 7x6 имеет вид…

9. Множество

а) x7 ln x + C ; б) x7 + C ; в) 42x5 + C ; г) 7x7 + C .

10. Множество первообразных функций f (x) = 3x2 имеет вид…

а) x3 ln 2 + C ; б) 6x + C ; в) 3x3 + C ; г) x3 + C .

11.

Первообразными

функции

y = 9cos(3x +1)

являются…

(укажите не менее двух вариантов ответа)

а) 3sin(3x + 1); б) 9 sin (3x + 1) – 19; в) –27 sin (3x + 1); г) 3sin (3x + 1) + 17.

302

12.

Первообразными

функции

y =

−

+ 6x −1

являют-

sin2

ся… (укажите не менее двух вариантов ответа)

а) − ctgx +

+ 3x2 − x − 2;

б) − ctgx +

+ 3x2 − x;

2cos x

в) − ctgx −

+ 3x2

− x ;

г)

−

+ 6x .

sin3 x

13. Правильную рациональную дробь

можно пред-

(x −1)(x + 2)

ставить в виде суммы простейших дробей…

а)

;

б)

;

x −1

x + 2

x −1

x + 2

в)

;

г)

Ax + B + Cx + D .

x −1

x + 2

x −1

x + 2

14. Правильную рациональную дробь

x +1

можно предста-

(x + 3)x2

б2

вить в виде суммы простейших дробей…

а)

+ 3

;

б)

x +

;

Дв) + ;

x x +

г)

−

2(x + 3)

15. Интеграл

x3dx

∫

равен…

9 − x4

а)

)

+ C ;

в) arcsin

+ C ;

9 − x

+ C ;

−

9 − x

г) −

1 arcsin

+ C .

и16. Интеграл

можно представить в виде суммы инте-

5x − x2

гралов…

∫

б) ∫ dx

в) ∫ dx −

∫ dx2 ;

а) ∫

+ ∫

;

∫

;

5 − x

5(5 − x)

Сdx

г)

∫

− ∫

5 − x

303

17.

Интеграл

∫

можно представить в виде суммы инте-

+ x2

гралов…

dx +

∫ dx2 ;

а) ∫

− ∫

;

б) ∫

+ ∫

;

в) ∫

4(x + 4)

x + 4

г)

∫

− ∫

4(x + 4)

18. ∫

−1

dx =

б) ln(x2 +1) + arctg x + C ;

а) ln(x2 +1) + C ;

в)

ln(x2 +1) − arctg x + C ;

г) 2ln(x2 +1) + arctg x + C .

19. ∫cos2 x dx =

а)

1 sin 2x + C ;

б)

1 sin 2x + C ;

в)

1 cos 2x + C

;

г)

− 1 sin 2x + C .

20.

∫

4 + x

dx =

а)

− x

+ C ;

б)

;

в)

−

+ C ;

г)

+ x2 + C .

21.Установ те соответствие между интегралом

∫ dx

;

2. ∫ cos x dx ;

3. ∫

;

∫

и его первообраз-

x2 +1

ной 1. ln

x +

1 + x2

;

2. arctg x;

3. sin x;

4. ln|x| .

а) 1–1 ; 2– 2; 3– 3; 4– 4;

б) 1– 2; 2– 3; 3– 4; 4– 3;

в) 1–4; 2–3; 3– 1; 4– 2;

г) 1–3; 2– 4; 3– 1; 4–2.

304

22. Если в неопределенном интеграле

∫ (8x + 3) sin

dx , приме-

∫u dv = uv − ∫vdu ,

няя метод интегрирования по частям:

положить, что

u(x) = 8x + 3, то функция v(x) будет равна…

а)

1 cos

;

б) sin

;

в) − 5cos

;

г) 5sin

23. Укажите все верные утверждения, С – произвольная посто-

янная (укажите не менее двух вариантов ответа).

а)

∫

x ln 3xdx =

∫

xdx

∫

ln 3xdx;

б)

(

− x2 )dx)′

= 3 − x2

;

∫

в)

∫ d(2x−1 )=(2x−1 )′ + C ;

г)

∫ 2sin xdx = 2∫sin xdx + C .

24.Укажите все верные утверждения,

С – произвольная посто-

янная (укажите не менее двух вариантов ответа).

)=(

)′ + C ;

а) ∫ e2x cos xdx = ∫ e2x dx ∫ cos xdx; б) ∫d(

3 − 2x

в) (

x3dx)′ = x3 ;

г)

∫

4cos xdx = 4

∫

cos xdx .

∫

25.Укажите все верные утверждения, С – произвольная посто-

янная (укажите не менее двух вариантов ответа).

а)

(

cos7xdx)′

= cos7x ;

)

∫

x2dx =

∫

exdx

∫

x2dx ;

∫

′

в)

∫3log2 xdx = 3∫ log2 xdx;

г) ∫d(tg 2x)=(tg 2x)

+ C .

26.Укаж те все верные утверждения, С – произвольная посто-

янная (укаж тебне менее двух вариантов ответа).

а)

(

ln(2 − x)dx)′

= ln(2 − x) ;

б)

∫

3 2x dx = 3

∫

2x dx ;

в);

∫

г)

∫ x arctg xdx = ∫ xdx ∫ arctg xdx .

Ответы:

1–б,г 2–а,г

3–б,г

4–а,г

5–б,г

6–б,в

7– а

8–а

9–б

10–г

11–а,г

12– а,б

13–в

14–г

15–б

16–б

17–г

18–в

19–г

20–в

21–в

22–в

23–б,г

24–в,г

25–а,в

26–а,б

305

Тесты по разделу «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной. Определенный интеграл»

1. Площадь фигуры, изображенной на рисунке, вычисляется интегралом…

	1	1	1		2
а)	∫ (1− x2 )dx ; б)	∫ (2 − x2 )dx ; в)	∫ (1+ x2 )dx ;	г)	∫ (1− x2 )dx .
	0	0	0		0

2. Площадь фигуры, изображенной на рисунке, вычисляется ин-

тегралом…										И
										И
			б						Д
	3		б						1
а)	3	(3 − 2x2 )dx;			)	0	(−2x2		1
а)	∫	(3 − 2x2 )dx;			)	∫	(−2x2	+ 3)dx ; в) ∫ (2x2 − 2)dx ;
и						−1			0
	0					−1			0
г)	1	(−2x2 + 2)dx.					А
г)	∫	(−2x2 + 2)dx.					А
	0
3. Площадь ф гуры,							зо раженной на рисунке, вычисляется ин-
С
тегралом…
	0						0		0
а)	∫ (−x2 +1)dx ;				б)		∫ (−x2	+1)dx ; в) ∫		(x2 −1)dx ;
	−1						−1		−1
	3		2
г)	∫ (3 − x		2	)dx.
г)	∫ (3 − x			)dx.
	0

306

4. Площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке, равна…

а) π ;		б) π ;	в) π ;		г) 1.	И
	8	4	2	Д
	8	4	2
5. Площадь фигуры, изображенной на рисунке, вычисляется ин-
тегралом…		б
	3	б				1
а)	3	2x2 )dx;	1		в)	1
а)	∫ (3 −	2x2 )dx;	) ∫ (2x2 +1)dx ;		в)	∫ (2x2 + 3)dx ;
и			0			0
	0		0			0
	1		А
г)	∫ (−2x2 + 2)dx.		А
	0
6. Площадь кр вол нейной трапеции, изображенной на рисунке,
С
равна…
	10	7	14		8
а)	3 ;	б) 3 ;	в) 3	;	г) 3 .

307

7. Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2; y = 3x2; x=1,
вычисляется с помощью определенного интеграла…
1	1	1	1
а) ∫ x2dx ;	б) ∫ (3x2 − x2 )dx ;	в) ∫3x2dx ;	г) ∫	(x2 − 3x2 )dx.
0	0	0	0

8. Площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке,

равна…

а) 4π ;

б) 1;

в) 1

;

г)

3 .

y = x2 ,

y = −

9. Площадь фигуры, ограниченной линиями

x = −1, вычисляется с помощью определенного интеграла…

площади

xdx;

в)

∫(x2 −

x)dx ; г)

∫(x2 +

x)dx .

а) ∫ x2dx

;

) ∫

10. На р сунке

зо ражен график функции y = f (x)

и заданы

ч сла S1 , S2 ,

указанных фигур. Тогда ∫b

f (x)d x равен…

а) S1 + S2

+ S3 ;

б) S1 – S2 + S3 ; в) – S1 + S2 + S3 ;

г) S1 + S2 – S3 .

11.Определенный интеграл, выражающий площадь треугольни-

ка с вершинами (0;0), (3;15), (0;15), имеет вид…

а) ∫ (5x −15)dx; б) ∫ (5x −15)dx ; в)

∫ (15 −

5x)dx ;

г) ∫ (15 −

)dx .

308

12. Если	0	1	1
12. Если	∫	f (x)dx = 3 и ∫ f (x)dx = −1, то интеграл ∫2 f (x)dx равен…
	−1	0	−1

а) 4;		б) – 4;		в) 2;			г) –8.
13. Если	1/ 2						1			1
13. Если		∫ f (x)dx = −2			и		∫ 2 f (x)dx = 3	, то интеграл		∫	2 f (x)dx
равен…		−1					1/ 2			−1
равен…
а) 7;	б) – 1;		в)	1;			г) –5.
							Д
14. Если	0				1				1
14. Если	∫	2 f (x)dx = 1		и	∫	f (x)dx = 2 , то интеграл			∫ 2 f (x)dx равен…
	−2				0				−2

а) 2,5;

б) – 1;

в)

г) –5.

Иравен…

15. Определенный интеграл

(2x − 1

) dx

∫

а) 6 − e2 − 4

; б) e

2 + 4

− 2; в) e2 + 4

− 6;

г) e2 + 4

+ 6.

f (x) является нечетной на отрезке

16. Ненулевая функция

y =

[− 6,6] . Тогда

∫ f (x) dx равен…

−6

а) 0;

)

∫ f (x) dx;

в) 12∫ f (x) dx;

г) 2∫ f (x) dx .

17. Определенный

нтеграл

− 4x +1)dx равен…

∫(6

а) –2,5;

б) – 12;

в) 4;

г) –4.

18. Определенный интеграл ∫(6x2 −

4x +1)dx равен…

а) 0;

б) 8;

в) 1;

г) –1.

19. Определенный интеграл

π / 6

∫sin 6xdx равен…

а) 0;

б) 1/3;

в)

1/6;

г) –1/3.

309

20. Определенный интеграл

π / 4

∫sin 4xdx равен…

а) –0,5;

б) 0,25 ;

в)

г) –0,25.

–4;

21. Определенный интеграл

∫e

dx равен…

б) 1

а) 3(e – 1);

(1 − e) ;

в)

3(1 – e);

г) 3e – 1.

22. Значение интеграла

dx равно…

1∫

x2 + 3

а) −

;

б) 1 ln

;

в)

−

;

г) ln

А6

23. Несобственный интеграл

3dx

равен…

∫

а) 1;

б) ∞;

в) 0;

г) 3.

24. Несо ственный интеграл

∞

равен…

∫

e2 x

ln x

а) 0;

) + ∞;

в) –2;

г) 2.

х27.

одящимися

являются интегралы… (укажите не менее

25. Несо ственный интеграл

∞(x −

−2 dx

равен…

∫

а) 1;

) 1/6;

в)

1/2;

г) 1/5.

б1 x−3dx

равен…

26. Несобственный

нтеграл

∫

а) 0;

б) 1/6;

в)

1/2;

−1

г) 1/5.

двух вариантов ответа).

∞

−

∞

− 1

∞

−

∞

− 5

а) ∫ x

4 dx;

б) ∫ x

4 dx;

в) ∫ x

4 dx;

г) ∫ x

4 dx.

310

28. Сходящимися являются интегралы… (укажите не менее двух вариантов ответа).

1	−	3	1	−	1	1	−	7
а) ∫ x	−	4 dx ;	б) ∫ x	−	4 dx ;	в) ∫ x	−	4 dx ;
0			0			0

1	−	5
г) ∫ x	−	4 dx .
0

								И
	29. Укажите несобственные интегралы… (укажите не менее
двух вариантов ответа).							7
	1		+∞			2	7	1		3dx .
	а) ∫ x3dx ;		б) ∫ x3dx ;		в) ∫ x−		4 dx ;	г) ∫ x−		3dx .
	0		0			Д
	0		0			1		−	2
	30. Укажите несобственные интегралы… (укажите не менее
двух вариантов ответа).							7
	+∞		1			2	7	1
	а) ∫ x3dx ;			А				г) ∫ x− 3dx .
	а) ∫ x3dx ;		б) ∫ x−3dx ;		в) ∫ x 4 dx;			г) ∫ x− 3dx .
	−∞		−1			1		1	2
	Ответы:
1–б	2–г	б			6–а		7– б	8–г		9–г	10–б
1–б	2–г	3–а	4–в	5–г	6–а		7– б	8–г		9–г	10–б
11–г	12– а	13–	14–в	15–в	16–а		17–в	18–в		19–в	20–б
21– а	22–	23–	24–	25– а	26– а		27– в,г	28– а,б		29– б,г	30– а,б
	и
С

311

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3123 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20214.26 Mб12227.pdf
#
07.01.20214.27 Mб722228.pdf
#
07.01.20214.28 Mб12229.pdf
#
07.01.2021357.88 Кб1223.pdf
#
07.01.20214.29 Mб42230.pdf
#
07.01.20214.29 Mб62231.pdf
#
07.01.20214.31 Mб82232.pdf
#
07.01.20214.32 Mб02233.pdf
#
07.01.20214.32 Mб12234.pdf
#
07.01.20214.32 Mб32235.pdf
#
07.01.20214.32 Mб12236.pdf