Ответ:

2

x

+ 7 ln

x − 2

1

+ C.

2.

arctg

+ C.

4.

ln

x +

x2 +

4

x + 2

3

3

4

6

3

5.−

1

− arctg x + C.

8. sin x − cos x + C.

x

§20. Замена переменных в неопределенном интеграле

Подведение под знак дифференциала

Метод основан на применении следующей теоремы.

Теорема (о подстановке под знаком неопределенного интегра-

ла). Пусть функция

f (u)

на множестве

[a,b]

имеет первообразную

F(u).

Пусть u = ϕ(x)− функция,

И

имеющая на [c,d]

производную и

принимающая на этом сегменте значения, не выходящие из [a,b]. То-

гда верна формула

∫ f (ϕ(x)) ϕ'(x)dx =ДF(ϕ(x))+ C .

(37)

Схема применения метода подведения под знаком дифферен-

циала

состоит

в

следующем.

Пусть

надо

вычислить

интеграл

∫

g(x) dx , который не сч тается непосредственно с использованием

А

табл цы. Тогда этот

нтеграл прео разуют:

∫ g (x) d x = ∫ f (ϕ (x)) ϕ '(x) d x = ∫ f [ϕ (x)]d ϕ (x) = ∫ f (u) d u,

б

где u = ϕ (x) .

Используем также свойство неопределенных интегралов: если

известнозначениеинтеграла ∫ f (x)dx = F(x) + C; u = u(x)

– диффе-

ренцируемая функция, то

∫ f (u)du = F(u) + C .

Интеграл

∫ f (u)du ,

полученный после подведения под знак

дифференциала, должен получиться проще исходного интеграла для

Свычислений. После нахождения его первообразной F(u) выписывает-

F(ϕ(x))+ C .

Примеры.

Вычислить неопределенные интегралы подведением под знак

дифференциала.

И

Решения.

1

1 ∫ cos7xd(7x) =

= 1

1.∫cos7xdx =

∫cos7x 7dx =

u = 7x

∫ cosudu =

7

7

7

=

1 sinu + C =

1 sin7x + C.

7

7

2.∫

x3dx

=

1

∫

4x3dx

=

1

∫

dx4

=

u

= x

4

=

1

∫

du

=

8

4 2

4 2

2

1+ x

4

1+ (x

)

А

4 1+ u

4

1

+ (x

)

=

1 arctgu + C =

1 arctgx4 + C.

4

4

б

3.

∫

dx

=

1

∫

3dx

=

1

∫

d(3x + 2)

u = 3x + 2

=

1

∫

du =

2 + 3x 3

3x + 2 3

3x + 2

Д3 u

=

1 ln

u

+ C =

1 ln

3x + 2

+ C.

3

3

cosx

dsinx

= ∫ du

4.∫ctgxdx = ∫

dx = ∫

=

u = sinx

= ln

u

+ C =

С

sinx

sinx

u

= ln

sinx

+ C.

dx

1

1

1

1

dx

dx

5.

∫

=

∫

−

dx

=

∫

− ∫

=

2

2

− a

x − a

x + a

иx − a 2a x

x + a

2a

=

1

d(x − a)

− ∫

d(x + a)

=

1

(ln

x − a

− ln

x + a

)

+ C =

∫

2a

x − a

x + a

2a

1

x − a

+ С.

=

ln

2a

x + a

6.∫

exdx

= ∫

dex

=

1

arctg

ex

+ C.

И

4 + e

2x

(e

x

)

2

+ 4

2

2

7.∫ cos

2

xdx

=

1

∫ (1+ cos2x)dx =

1

1

∫ cos2xd

2

2

x +

2

(2x) =

=

1

sin2x

+ C.

1

Д

3

2

x +

2

8.∫sin3 x d x = ∫sin2 x sinx d x = −∫ (1− cos2 x) d cosx =

cos

3

x

+ C.

= − cosx −

3

1

1 (3ln x + 8)

2

9.∫

3ln x − 8

dx =

∫ (3ln x + 8)

2 d(3ln x + 8)

=

+ C =

x

3

3

32

А

я

2

Линейна

=

(3lnx

+

8)3

+ C.

9

С

10.

arcsin3

x d x =

∫

arcsin3 x d (arcsin x) = arcsin4 x + C.

∫

4

1− x2 б

Решения.

1. ∫cos(7x + 3)dx .

t = 7x + 3. Теперь

Обозначим аргумент косинуса одной буквой:

выписываем равенство дифференциалов левой и правой частей заме-

ны переменных

t'dt = (7x + 3)'dx;

И

dt = 7dx.

Отсюда dx

dt

= 7 .

Теперь выполним замену в интеграле

t = 7x + 3;

= ∫ cos t dt

1 ∫ cost d t = 1 sin t + C =

∫ cos (7x +

3)dx

dt =

7dx;

=

А1

7

dx =

1 dt

7

7

7

= 1 sin(7x + 3) + C

7

б

(в конце вместо t вновь подставили его значениеД7х+3).

t = 2x − 4;

= ∫sin t dt =

1

1 cost + C =