Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2231.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

4.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3119 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

2.2. Интегральное исчисление функции одной действительной

переменной. Определенный интеграл

§27. Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть

задана

непрерывная

на

отрезке

[a,b]

функция

y = f (x) ≥ 0.

Задача: найти площадь криволинейной трапеции ST , то есть

площадь плоской фигуры T , ограниченной кривой y = f (x)

и прямы-

ми y = 0; x = a ; x = b (рис. 19).

y = f (x)

Рис. 19

Решение.

отрезок

[a, b]

произвольно

точками

a = x0 < x1 < x2 < ... < xk−1 < xk < ... < xn

= b .

Обозначим ∆xk = xk − xk−1 –

длины получившихся отрезков,

k =1, 2, ..., n .

Разобьем

(xk )

(x1)

a = x

−

b = x

x x

1 1

2 2

n−1

Рис. 20

208

В каждом из получившихся отрезков [xk−1, xk ]		выберем произ-
вольно точки xk и вычислим значение функции	y = f (xk ) в выбран-
~		~

ных точках. Составим ступенчатую фигуру из прямоугольников, ос-

нованиями которых служат отрезки [xk−1, xk ], а высоты равны						f (xk )
						~
(рис. 20).				И
Площадь ступенчатой фигуры равна				И
Площадь ступенчатой фигуры равна
~	~	~	n		~	(50)
Sn = f (x1 )∆x1 + f (x2 )∆x2		+ ... + f (xn )∆xn = ∑ f			(xk )∆xk .	(50)
			k=1
		Д
Получили {Sn } – последовательность сумм (50).
Можно считать,	что площадь ступенчатой фигуры примерно

равна площади криволинейной трапеции	ST ≈ Sn .
Ошибка вычисления будет тем меньше, чем больше точек выби-
рается на [a,b]. Положим, по определению, что площадь криволиней-
ной трапеции равна
ST = lim Sn .	(51)
n→∞

Замечание. Предел(49) вычисляем при условии, что одновре-

менно с увеличением числа n выполняется условие max ∆xk → 0, то

ч сла точек xk

есть при увел чен

нужно следить за тем, чтобы все

дл ны отрезков [xk−1

, xk ]

стремились к нулю.

= x

x =

a = x0

b = xn

b xn

. 21

Рис. 22

Рис

На рис. 21 показано правильное расположение точек на [a,b], на

рис. 22 – неправильное,

т.к. [x1, x2 ]

при увеличении числа точек не

изменяет своей длины (условие max ∆xk → 0 не выполнено).

209

§28. Определение определенного интеграла и его

геометрический смысл

Пусть функция

y = f (x)

определена и непрерывна на отрезке

[a,b]. Аналогично тому, как это сделано в предыдущем параграфе, со-

ставим сумму

(52)

= ∑ f (xk )∆xk .

k=1

Будем называть Sn (52)

интегральной суммой.

на [a,b] назы-

Определённым интегралом от функции

y = f (x)

вается число, равное пределу

lim

∑ f (xk )∆xk .

n→∞

{∆x

→0}k=1

∫

Это число

символом

∫ f (x)dx

или

f (x)dx. При

[a,b

]

этом b – верхний предел, a – нижний предел интегрирования.

Итак, значение определенного интеграла по определению равно

f (x)dx

lim

)∆x

(53)

∫

∑ f (x

Аk

n→∞

k=1

{∆xk

→0}

Геометр ческ й смысл определенного интеграла

обозначается

y = f (x)

Рис. 23

Если f (x) ≥ 0 на [a,b], то определенный интеграл ∫ f (x)dx ра-

вен площади криволинейной трапеции ST

(рис. 23).

210

Свойства определенного интеграла

∫ f (x)dx = 0.

∫ f (x)dx

= −∫ f (x)dx .

Свойства 1 и 2 очевидно следуют из определения определенного

интеграла.

∫[f (x) ± g(x)]dx =

∫ f (x)dx ±∫ g(x)dx .

Доказательство.

∫[f (x) ± g(x)]dx = lim ∑

[f (xk ) ± g(xk )]∆xk =

n→∞ k=1

= lim

∑ f

(xk )∆xk

∑ g(xk )∆xk

n→∞

k=1

= lim

∑ f

(xk )∆xk ± lim ∑ g(xk )∆xk

= ∫ f (x)dx ±∫ g(x)dx.

n→∞ k=1

4. ∫c f (x)dx = c∫ f (x)dx.

Доказательствоб:

∫ c f (x)dx = lim ∑c f (xk )∆xk = lim c ∑ f

(xk )∆xk =

n→∞ k=1

n→∞

k=1

= c lim ∑ f

(xk )∆xk

= c∫ f (x)dx.

n→∞ k=1

∫c dx = c(b − a) .

211

Это свойство очевидно из рис. 24.
		c	y = c
		c
			a				b
			Рис. 24
		b				c		b
6. Если	a < c < b, то	∫	f (x)dx =			∫	f (x)dx +	∫ f (x)dx.
		a				a		c	И
Свойство проиллюстрировано на рис. 25.
						y = f (x)
							Д
		a		c			b
			Рис. 25
		Аb
7. Если	f (x) ≥ 0 на	[a, b], то			∫ f	(x)dx > 0 .
	б				a
					b
8.					∫ f (x)dx < 0 .
8.	f (x) ≤ 0 на	[a,b], то			∫ f (x)dx < 0 .
Если					a
Если
С
				212

y= g (x) y = f(x)

9. Если f (x) ≤ g(x) на [a,b], то	b	b
9. Если f (x) ≤ g(x) на [a,b], то	∫ f (x)dx < ∫ g(x)dx (рис. 26).
	a	a

Рис. 26

	b	b
	b	b
10.	∫ f (x)dx	≤ ∫	f (x)	dx.
10.	∫ f (x)dx	≤ ∫	f (x)	dx.
	a	a

Доказательство. Очевидно, что −

f (x)

≤ f (x) ≤

f (x)

. Проин-

тегрируем неравенство по отрезку [a,b].

По

свойству 9 получаем

− ∫

f (x)

dx ≤ ∫ f (x)dx ≤ ∫

f (x)

dx ,

то есть верно свойство 10.

f (x)dx

≤ b

f (x)

dx.

∫

Следств я.

	наб[a,b] верно, что f (x) ≤ k , то		b
			b
1.			∫ f (x)dx	≤ k(b − a).
			a
2.	m − на меньшее,	M − наибольшее значения функции
y = f (x) на [a,b], то
Если
С	b	f (x)dx ≤ M (b − a).
	m(b − a) ≤ ∫	f (x)dx ≤ M (b − a).
	a
	a

213

11. Теорема о среднем значении.

Пусть функция y = f (x) непрерывна на [a,b]. Тогда существует точка c [a,b], такая, что верна формула

b
∫ f (x)dx ≤	f (c) (b − a) .	(54)
a

Доказательство. Непрерывная функция y = f (x) на [a,b] при-

нимает свое наименьшее значение m и наибольшее M на данном отрезке. То есть на [a,b] верно неравенство m ≤ f (x) ≤ M . Проинтегри-

ровав данное неравенство с учетом свойства 9, получим

∫mdx ≤ ∫ f (x)dx ≤ ∫Mdx .

По свойству 5 имеем

m(b

− a) ≤ ∫

f (x)dx ≤ M (b − a) ,

или

f (x)dx

∫

m ≤

≤ M .

b − a

Непрерывная функц я принимает все промежуточные значения

(теорема

[a,b], для которой верно

поэтому найдется точка c

∫ f (x)dx

равенство

= f (c) , из которого следует утверждение теоремы.

Коши

b − a

214

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3119 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20214.26 Mб12227.pdf
#
07.01.20214.27 Mб722228.pdf
#
07.01.20214.28 Mб12229.pdf
#
07.01.2021357.88 Кб1223.pdf
#
07.01.20214.29 Mб42230.pdf
#
07.01.20214.29 Mб62231.pdf
#
07.01.20214.31 Mб82232.pdf
#
07.01.20214.32 Mб02233.pdf
#
07.01.20214.32 Mб12234.pdf
#
07.01.20214.32 Mб32235.pdf
#
07.01.20214.32 Mб12236.pdf