Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2231.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

4.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3129 30 31 > Следующая >>>

Приложение 16

Несобственные интегралы I рода

Собственным интегралом (определенным интегралом в собст-

венном смысле слова) называется интеграл от непрерывной функции

по конечному отрезку.

I. Несобственным интегралом I рода называют число, равное

пределу

С, интеграл сходится;

+∞

∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx

= ∞, интеграл расходится к ∞;

N→+∞ a

интеграл расходится.

не существует,

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода: не-

+∞

f (x)dx = lim

S(N)

равен площади криволи-

собственный интеграл ∫

N→+∞

нейной трапеции с бесконечным основанием (рис. 55).

S (N)

N → +∞

Рис. 55

II.

Несо ственный

− это предел вида

нтеграл

∫ f (x)dx

−∞

f (x)dx

∫

= lim ∫ f (x)dx

−∞

N→−∞бN

III. Несобственный

нтеграл

+∞

∫ f (x)dx

разбивается в сумму

−∞

+∞

f (x)dx

∫

f (xи)dx + f (x)dx, где a – произвольное число. Интеграл

∫

−∞

сходится, если сходятся оба указанных интеграла. Если хотя бы один

+∞

из них расходится, то

∫ f (x)dx расходится.

−∞

334

							Окончание прил. 16
Основные свойства интегралов с бесконечными пределами
1. Несобственные интегралы					+∞	+∞
1. Несобственные интегралы					∫ f (x)dx и	∫ f (x)dx сходятся или
расходятся одновременно.					a	b	И
							И

2.	+∞	lim	N	lim (c N − c a) =		+ ∞ ,	интеграл расхо-
2.	∫cdx =	lim	∫cdx =	lim (c N − c a) =		+ ∞ ,	интеграл расхо-
	a	N→+∞	a	N→+∞
дится.	a		a
дится.	a				a Д
						+∞
3. Если f (x) ≥ 0, то несобственный интеграл							∫ f (x)dx либо схо-

дится, либо расходится к бесконечности.

4. Признак сравнения несобственных интегралов неравенст-

вом: пусть f (x) и ϕ(x) – непрерывные на [a, + ∞)								функции, причем
				А a							a
выполняется неравенство 0 ≤ f (x) ≤ ϕ(x) на [a, + ∞). Тогда
		+∞			+∞
а) если		∫	ϕ(x)dx	сходится, то	∫ f (x)dx тоже сходится;
		a	б		a
		+∞			+∞
б) если		∫	f (x)dx расходится, то ∫ϕ(x)dx расходится.
5. Признак сравнения отношением: если								lim	f (x)	= k , при-
5. Признак сравнения отношением: если								lim		= k , при-
Если+∞								x→+∞ g(x)			+∞
								x→+∞ g(x)
							+∞				+∞
чем k ≠ 0; k ≠ ∞, то несо ственные интегралы								∫ f (x)dx и			∫ g(x)dx
сходятся	ли расходятся одновременно.
+∞			сход тся при p >		1;
С		= расход тся при p ≤ 1.
6.	∫1 xdxp	= расход тся при p ≤ 1.
7.					+∞
7.		несобственный интеграл ∫				f (x)	dx сходится, то несобст-
					a
венный интеграл ∫ f (x)dx также сходится. В этом случае											∫ f (x)dx
			a								a
называется абсолютно сходящимся, а функция								y = f (x) − абсолют-
но интегрируемой на				[a, + ∞).

335

Приложение 17

Несобственные интегралы II рода (интегралы

с бесконечными разрывами подынтегральных функций)

I. Несобственным интегралом	b	И
	∫ f (x)dx от функции, опреде-

ленной и непрерывной на конечном интервале [a, b) и разрывной в

						b				t
точке b , называется число, равное						∫	Д
точке b , называется число, равное						∫	f (x)dx =		lim	∫ f (x)dx .
						a			t→b−0	a
	Геометрический смысл несобственного интеграла II рода:
если		f (x) ≥ 0	на [a, b) и функция разрывна в точке b , то несобствен-
ный интеграл			b		А∫
ный интеграл			∫ f (x)dx равен площади криволинейной трапеции с
			a
бесконечной высотой (рис. П. 17.1).
					y = f (x)
			б∫			∫	t → b	b
	и				a		t → b	b
	и				Рис. П. 17.1
					Рис. П. 17.1
	II. Несо ственным				нтегралом b			f (x)dx от функции, опреде-
							a
лена		непрерывна на		нтервале (a, b] и разрывной в точке a , называ-
ется ч		сло, равное b		f (x)dx = lim		b f (x)dx .
			a		t→a+0 t		b
	III. Несобственный				нтеграл		b
	III. Несобственный				нтеграл		∫ f (x)dx		от функции y = f (x) ,

определена непрерывна на интервале [a, b], кроме точки c (a, b), в которой функция имеет разрыв 2-го рода, разбивается в сумму двух

	b	c		b
несобственных интегралов	∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx			+ ∫ f (x)dx .			Интеграл
b	a	a	c	c		b
b			c	f (x)dx	и	b	f (x)dx .
Сf (x)dx сходится, если сходятся оба интеграла			∫	f (x)dx	и	∫	f (x)dx .
∫			∫			∫
a			a			c

336

Приложение 18

Основные варианты применения определенных интегралов

Определенный интеграл используется при вычислении:

1)	площади фигур, ограниченных кривыми;
2)	длины дуг различных кривых;
3)	объемы тел, образованных вращением плоских фигур вокруг
осей координат;
4)	площади поверхностей, образованных вращением дуги кри-
вой вокруг осей координат.
1)	путь, пройденный точкой (по известной скорости);
2)				И
	работа силы, под воздействием которой перемещается точка
вдоль осей координат;
3)	статические моменты и центр тяжести плоской фигуры;
4)	количество электричества, протекающего через поперечное
сечение проводника за промежуток времени и т.д.
			Д
		А
иб

337

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3129 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20214.26 Mб12227.pdf
#
07.01.20214.27 Mб722228.pdf
#
07.01.20214.28 Mб12229.pdf
#
07.01.2021357.88 Кб1223.pdf
#
07.01.20214.29 Mб42230.pdf
#
07.01.20214.29 Mб62231.pdf
#
07.01.20214.31 Mб82232.pdf
#
07.01.20214.32 Mб02233.pdf
#
07.01.20214.32 Mб12234.pdf
#
07.01.20214.32 Mб32235.pdf
#
07.01.20214.32 Mб12236.pdf