Задачи для самостоятельного решения

2x + 5

dx.

x2 − 5x + 3

1.∫

2.∫

dx.

x2 − 6x + 8

x(x2 −1)

2x5 − x4 − 3x2 +1

Д

∫

∫ x2 + x

5.

dx

.

6.

∫

dx

.

∫

x3 +1

А

x(x +1)2

7.

dx

.

8.

∫

dx.

∫

x

4

+ 2x

2

+ 9

(x

2

2

−И3x −10)

9.

x4 + 2x2 + 9

dx.

10.

x5 + 7x3 − 8x

dx.

∫

(x −1)(x

+ 3)

∫

x

2

+

3x + 22

Ответы:

б

1. ln

x2

− 6 x + 8

x − 4

+ C.

− 3 ln

x + 3

+ C.

обозначения

2

x − 2

5

5

1

+ ln

x

+ C.

8.

−

+

ln

+ C.

1 + x

x +1

49(x

− 5)

49(x + 2)

343

§23. Метод Остроградского

С

Метод Остроградского интегрирования рациональных функций

спользуется в с туац ях, когда знаменатель дроби имеет кратные

корни.

Введем

:

P(x)

− правильная рациональная дробь;

Q(x)

Q1 (x)

− наибольший общий делитель (НОД) многочлена Q(x) и

Запишем равенство интегралов

∫

P(x)

dx =

X (x)

+∫

Y (x)

dx,

(46)

Q1 (x)

Q 2 (x)

Q (x)

где X (x) и Y (x)

− многочлены с неопределенными коэффициентами,

степени которых соответственно на единицу меньше степеней Q1 (x)

и Q2 (x).

X (x) и Y (x) вы-

Неопределенные коэффициенты многочленов

числяются при помощи дифференцирования тождества (46).

Примеры.

И

1. Вычислить интеграл

∫

dx .

(x − 3)

2

(x +1)

2

Решение. Решаем методом Остроградского

Q(x) = (x − 3)2 (x +1)2 ;

б

Q'(x) = 2(x − 3)(x +1)2 + 2(x − 3)2 (xД+1) = 2(x +1)(x − 3)

и2

Q1 (x) = НОД(Q(x);Q'(Аx))= (x − 3)(x +1);

Q (x) =

(x − 3)2

(x +1)2 : (x − 3)(x +1) = (x − 3)(x +1).

С

2

Так как Q1 (x)

Q2 (x)

– многочлены второй степени, то X (x) и

Y (x) – многочлены первой степени. Запишем теперь равенство (46):

∫

5x + 6x + 9

dx

=

Ax + B

+

∫

Cx + D

dx.

(x

− 3)

2

(x

+1)

2

(x − 3)(x +

1)

(x − 3)(x +1)

5x2 +

6x + 9

=

+

.

(x − 3)2

(x +1)2

(x − 3)2

(x +1)2

(x − 3)(x +1)

Равенство для числителей имеет вид

И

(x +1).

Д

Теперь при различных значениях x получаем

x

А

x = −1:

8 = 4(−A + B);

x = 1:

20 = −4A − 4(C + D);

б

x

=

0 :

9 = −3 + 2B − 3D.

Получим систему

и

3A + B = −18;

A − B = −2;

A + C + D = −5;

С

3A − 2B + 3D = −9.

4A = −20;

A = −5; B = −3.

Теперь последние два уравнения имеют вид

C + D = 0;

3D = 0.

Поэтому C = 0;

D = 0.

∫

5x2

+ 6x + 9

dx =

+ ∫ 0dx =

+ C.

(x − 3)

2

(x +1)

2

(x + 3)(x +1)

(x + 3)(x +1)

Ответ:

− 5x − 3

+ C .

И

(x + 3)(x +1)

2. Вычислить интеграл ∫

dx .

(x2 +1)2

Д

Решение. Решаем методом Остроградского:

Q(x) = (x2 +1)2 ;

Q '(x) = 2(x2 +1) 2x = 4x(x2 +1);

Q

(x) = НОД(Q(x);Q '(x))= x2 +1;

1

б

Q (x) = x2

+1.

2

Так как Q1 (x) и Q2 (x) – многочлены второй степени, то много-

неопределенными

коэффициентами X (x) и Y (x)

имеют пер-

члены с

вую степень.

Зап сываем равенствоА

С

∫

2dx

2

dx = Ax2

+ B + ∫ Cx2

+ D dx.

(47)

(x

+1)

x

+1

x

+1

Для нахожден я коэффициентов продифференцируем (47):

1

A(x2 +1) − (Ax + B) 2x

Cx + D

=

+ x2 +1 .

(x2 +1)2

(x2 +1)2

Записываем равенство для числителей:

1

= A(x

2

+1) −

(Ax + B) 2x + (Cx

+ D)(x

2

+1).

x

=

0 :

1 = A + D;

x = 1:

1 = 2A − 2(A + B) + 2(C + D);

x = −1:

1 = 2A + 2(−A + B) + 2(−C + D);

И

x = 2 :

1 = 5A −

4(2A + B) + 5(2C + D).

Делаем упрощения

Д

A + D =1;

2C + 2D =1;

2B − 2C + 2D =1;

4B +10C + 5D =1.

− 3A −

Сложим второе и третье уравнения:

4D = 2; D = 1 ,

2

из первого уравнения

A = 1− 1 = 1

. Из второго уравнения B = C , а

уравнение

2

2

6C = 0,

поэтому C = 0; B = 0.

четвертое

принимает вид

Равенство (47) пр н маетАвид

С

dx

1 x

1

1 x

1

2

2

2

б= +

dx =

+

arctgx + C.

∫ (x2

+1)2

x

+1

2

x2

+1

∫

x2

+1

2

1 x

1

Ответ:

2

+

arctgx + C .

2

x2 +1

3. Вычислить интеграл ∫

dx

.

(x

3

−1)

2

Решение. Решаем методом Остроградского

Q(x) = (x3 −1)2 ;

Q'(x) = 2(x3 −1) 3x2 = 6x2 (x3 −1);

Q (x) = НОД(Q(x);Q'(x))

= x3

−1;

1

Д

Q

(x)

= x3 −1.

2

Так как Q1 (x)

и Q2 (x) – многочлены третьей степени, то X (x) и

Y (x) – многочлены второй степени снеопределенными коэффициентами.

Выписываем основное равенство

И

∫

dx

=

Ax2 + Bx

+ C

+ ∫

Dx2

+ Ex + F

dx.

3

2

3

3

б

(x

−1)

x

−1

Дифференцируя это тождество, получим

и

−1) − 3x2 (Ax2 + Bx + C)

Dx2

+ Ex + F

1

=

(2Ax

+ B)(x3

+

,

(x

3

−1)

2

3

2

x

3

−1

А(x −1)

ли

С

1

=

x5

D = 0;

x4

E − A = 0;

x3

F − 2B = 0;

x2

D + 3C = 0;

x

2A + E = 0;

C

B + F = −1.

Отсюда A = 0; B = −

Д

1

; C = 0; D = 0; E

= 0;

F = − 2 и, следовательно,

3

А

3

dx

dx

1

x

2

∫

= −

−

3 ∫

. И

(x3 −1)2

3

x3 −1

x3 −1

Для вычисления интеграла

dx

разлагаем подынтегральную

б

дробь на элементарные:

∫ x3 −1

1

=

L

+

Mx + N

,

их частяхПриравниваяравенства (48), получаем

2

x

3

−1

x −1 x

+ x +1

то есть

С

1 = L(x2 + x +1) + (Mx + N)(x −1).

(48)

L =

1 .

Полагая x = 1, получ м 1 = 3L ;

3

коэффициенты при одинаковых степенях x

в обе-

x2

L + M = 0;

x

L − M + N = 0;

C

L − N = 1.

M = −

1

; N = −

2.

3

3

Поэтому

∫

dx

=

1