x − arctg x

23.

∫

d x.

24.

∫ cos x 7 2sin x − 4 d x.

1+ x

2

1+

d x

25.

∫

tg x

d x.

26.

∫

.

x

x

2

−1

cos

2

x

Иx

2

Ответы:

1.

1

sin (11x −1)

+ C.

3. 2ln

2x + 4

+ C.

11

Д

5. − tg (4 − x)+ C.

8.− 1 arctg (6 − 2 x)+ C.

2

52+7 x

1

1

2

10. −

ln

3 − 6 x

+

1

+ (3 − 6x)

+ C.

14.

7

ln 5 .

12

А

15. 1 arcsin2 x + C.

17. − sin 1 + C.

21. 92

+ C.

18.ln

ln x

+ C.

(3tgx − 7)3

б

7

22.−

1 cos (3x3

− 4)+ C.

24.

7

(2sin x − 4)8

+ C.

16

9

§21. Интегрирование по частям

Рассмотрим

тождество – свойство дифференциала

С

d(uν ) = udν +νdu ,

ли

udν = d(uν ) −νdu,

где u = u(x); ν =ν (x)

– две функции, имеющие на данном интервале

производные, причем существует интеграл

Так как ∫d(uν ) = uν + C , то получаем

∫udν = uν − ∫νdu.

(39)

n

n

И

1.

x sinxdx.

2.

x

cosxdx.

∫

∫

u

u

3.

xn ax dx.

4.

∫

xn log

xdx.

∫

a

u

u

5.

∫

xn arctgxdx.

6.

∫

xn arcctgxdx.

Д

u

u

7.

∫

xn arcsinxdx.

8.

∫

xn arccosxdx.

u

u

9.

∫

ex cosxdx.

10.

ex sinxdx.

∫

u

А

u

В нтегралах (1−10) указано, какую часть интеграла следует при-

нять за u(x) .

б

хема выч слен я

нтегралов по частям состоит в следующем.

начала нтеграл разб

вается на части u(x) и dν (x) . Затем вычис-

ляютсяиdu = u'(x)dx ν (x) = ∫dν (x) . Теперь можно применить фор-

мулу (39).

С

1.

x sin xdx

u = x du = dx;

=

∫

И

u

dν

dν = sin xdx ν = ∫ dν = ∫sin xdx = − cos x

= x

(− cosx) −

− cosxdx

= −xcosx +

∫

cosxdx

= −xcosx + sinx + C.

∫

u

ν

ν

du

Д

Заметим, что при вычислении интеграла ν (x) = ∫dν (x)

константу

опускают.

2.

x2 sin xdx

u = x2

du = 2xdx;

=

∫

dν = sin xdx ν

= ∫sin xdx = − cos x

u

dν

= x2 (−cos x)

−

∫

− cos x 2xdx = −x2 cos x + 2

xcos xdx .

∫

б

u

dν

Получившийся после применения формулы (39) интеграл более

простой, но еще не та личный и для его вычисления нужно еще раз

применить формулу (39).

и

=

u

= x du

= dx;

2

А= −x cosx + 2(xsinx − ∫sinxdx)=

dν = cosxdx ν = ∫ cosxdx = sinx

С

∫

= −x2cosx + 2(xsinx

+ cosx)+ C.

Замечан е.

Вместо xn в интегралах, вычисляемых по частям

(1−10), с. 124),

может быть многочлен любой степени:

3.

∫

(3x2

−

6x

+

7)sinxdx =

u = 3x2

− 6x + 7

du = (6x − 6) d x;

=

dv = sinxdx v = ∫sinxdx = −cos x

u

dν

= (3x2 − 6x + 7)(−cosx) −

(−cosx)(6x − 6)dx =

= −(3x2 − 6x + 7)cosx + 6

u = x −1; du = dx;

(x −1)cosxdx =

dv = cosxdx;

=

∫

u

dv

v = ∫ cosxdx = sin x

= −(3x2 − 6x + 7)cosx + 6((x −1)sinx − ∫sinxdx)

= −(3x2

И

−

6x +

7)cosx +

+ 6(x −1)sinx + 6cosx + C = −(3x2 − 6x +1)cosx + 6(x −1)sinx + C.

4.

∫

(3x

−1)cos7xdx =

u

dv

u = 3x −1 du = 3dx;

А3

1 sin7x

dv = cos7xdx

=

v = ∫cos7xdx

=

1

∫cos7xd(7x) =

=

sin7x

1

7

sin7x

3

7

= (3x −1)

−

∫sin7x

3dx = (3x −1)

−

∫sin7xd(7x) =

7

7

7

49

= (3x −1)

sin7x

−

3

cos7x + C.

Д

7

49

и

5.

x

2

e

3x

dx

u = x

2 du = 2xdx;

3x

= x

2 e3x

−

e3x

2xdx =

∫

dv = e3xdx v =

∫

e3xdx = e

3

∫ 3

u

dv

u

= x

du = dx;

3x

3x

3x

3x

С

2

e

2

e

e

2 e

2

3x

3x

− ∫

= x

−

xe

+

= dv = e3xdx vб= e = x −

x

3

3

dx

3

9

3

3

3

2 3x

3x x2

2

2

+

e + C = e

−

x

+

+ C.

27

3

9

27

6.

x 7x dx

u = x du = dx;

7

x

= x

7x

−

∫

7x

dx =

x

x

∫

dv

= 7

dx v = ∫

7

dx =

ln 7

ln 7

u

dv

ln 7

=

x 7x

−

7x

+ C.

И

ln7

ln2 7

1

dx;

dx

7.

∫

log

xdx

u = log8 x du =

= x log

x −

∫

x

=

x ln 8

x ln 8

8

8

u

dv

dv = dx v = ∫ dx

= x

Д

= xlog8

x −

1

∫dx = xlog8 x −

1

x + C.

ln8

ln8

1