∂ u

(M0 ) = − 2

2

+ 0

3

+ 3

−1

= −

−

7

.

→

14

14

∂ M0M1

14

14

В данной точке в указанном направлении функция убывает, т.к.

производная функции по направлению M0→М1 отрицательна.

§11. Градиент

Д

При вычислении производной функции по направлению важно

определить направление наибыстрейшего роста функции.

Рассмотрим функцию трех переменных u = u (x, y , z ),

опреде-

А

трехмерной

области

ленную и дифференцируемую

в

некоторой

V R3 .

И

Градиентом функции u = u (x, y , z ) называется вектор,

коорди-

б

натами которого являются частные производные этой функции

grad u

∂ u

(25)

= {u′x ; u′y ; u′z }= ∂ u ;

; ∂ u .

→

градиент

∂ x

∂ y

∂ z

→

u .

Обозначен я град

ента: grad u ;

С

Свойства градиента

1. Направлен град ента – это направление наиболее быстрого

роста функц

, т.е. про зводная функции по направлению достигает

своего наибольшего значения в направлении градиента. Таким обра-

зом,

функции указывает направление наибыстрейшего ее

∂ u

2

2

2

=

u′x

+ u′y

+ u′z

.

(26)

→

∂ grad u

И

Д

→

; u′y ;

u′z } равны

вектора-градиента grad u = {u′x

cos α =

u′x

;

u′x

2

+ u′y

2 + u′z

2

А

cos β =

u′y

;

u′x

2 + u′y

2 + u′z

2

cos γ =

u′z

.

u′x

2

+ u′y

2 + u′z

2

и

Выч сляем про зводную по формуле (23):

С

б′

u′

∂ u

= u′x

ux

+ u′y

y

+

→

u′x 2 + u′y

2 + u′z

2

∂ grad u

u′x

2 + u′y

2 + u′z

2

u′z

u′x 2

+ u′y 2 + u′z 2

+ u′z

2

2

2

=

= u′x

+ u′y

+ u′z

.

u′x 2

+ u′y 2

+ u′z 2

u′x 2

+ u′y 2 + u′z 2

∂ u

2

2

2

=

u′x

+ u′y

+ u′z

.

→

∂ grad u

И

a

3. Градиент функции u в точке

M0

направлен по нормали к по-

верхности уровня функции u , проходящей через M0 .

4. Производная функции u = u (x, y , z )

→

в направлении вектора a

равна проекции градиента на направление дифференцирования, т.е.

верна формула

А

0

∂ u

→

→

= Пр→ grad u .

∂ a

Примеры.

б

1. Определить направление наиболее быстрого роста функции

u = x2 − 3y z + 5 в точке M0 (1; 2; −1) и вычислитьДзначение производ-

ной функции в данном направлении.

′

Решение′

. Направление наи олее быстрого роста функции – это

направление вектора-градиента. Вычисляем частные производные

функц u в точке M

(1; 2; −1):

u′x = (x2 − 3y z + 5)′x = 2 x ;

u′x (M0 ) = 2 1 = 2;

u′y = (x2 − 3y z + 5)′x = −3 z ;

u′y (M0 ) = −3 (−1) = 3;

2

′

uz = (x

− 3y z + 5)x = −3 y ;

uz (M0 ) = −3 2 = −6 .

Находим градиент по формуле (25):

→

grad u = {2; 3 ; − 6 } . Те-

перь по формуле (26) определяем производную функции по направ-

Слению градиента:

∂ u

2

2

2

2

2

2

=

u′x

+ u′y

+ u′z

=

2

+ 3

+ (− 6) =

49 = 7.

→

∂ grad u

Итак, направление наиболее быстрого роста функции – это на-

правление вектора

→

grad u = {2; 3 ; − 6 } . Производная функции в дан-

u = 2x2 + 4 y2 − y z + 3 в точке M0

(−1; 0; − 2) и вычислить значение

′

Д

производной функции в данном направлении.

Решение. Направление наиболее быстрого роста функции – это

направление вектора-градиента. Вычисляем частные производные

функции u в точке M0 (−1; 0; − 2):

′

2

2

′

′

u

=

(2x

+ 4 y − y z + 3)x = 4 x ;

u

(M

) = 4

(−1) = −4 ;

x

x

0

И

u′y = (2x2 + 4 y2 − y z + 3)′y = 8 y − z ; u′y (M0 ) = 8 0 − (− 2) = 2;

u′z = (2x2 + 4 y2 − y z + 3)z = −y ;

u′z (M0 ) = −0 = 0.

направление

→

Находим градиент по формуле (25):

grad u = {− 4; 2 ; 0 } . Те-

перь по формуле (26) определяемАпроизводную функции по направ-

лен ю град ента:

С

∂ u

′2

′ 2

′

2

2

2

2

→

=

u

+ u

+ u

=

(−

4)

+ 2

+ 0

=

20 = 2 5 .

бx y z

∂ grad u

Итак,

→

наиболее быстрого роста функции – это на-

правление вектора

grad u = {− 4; 2 ; 0 } . Производная функции в дан-

ном направлении равна

2

.

5