§7. Дифференцирование неявных функций двух переменных

функцией одной переменной.

Теорема. Пусть неявная

функция

y

задается

уравнением

F(x, y) = 0, причем функция

F(x, y) и

ее

И

частные

производные

нению F(x, y) = 0. Тогда неявная функция y

имеет производную, и

верно равенство

Д

∂ F

y′ =

d y

∂ x

= −

.

(9)

d x

∂ F

А

∂ y

Доказательство. По условию, F(x, y) = 0. Пусть переменные x,

y получают приращения ∆ x , ∆ y , тогда

∆ F = F (x + ∆ x, y + ∆ y)− F (x, y ) = F (x + ∆ x, y + ∆ y) = 0.

Дели

∆ y

∆ y

Теперь используем вид приращения дифференцируемой функ-

ц (3):

∆ F = Fx′ (x , y )∆ x + Fy′ (x , y)∆ y + α ( ∆ x, ∆ y)∆ x + β ( ∆ x, ∆ y)∆ y.

С

м равенствобна ∆ x и переходим к пределу при условии, что

∆ x → 0 , уч тывая, что ∆ F = 0:

lim

∆ F = lim

F′ +

F′

+ α +

β

= 0.

x

y

∆ x

∆ x→0

∆ x→0

∆ x

Так как lim α = 0 ;

lim β =

0;

lim

∆ y

= y′

, получаем

∆ x→0

∆ x→0

∆ x→0

∆ x

Fx′ + Fy′ y′ = 0 ,

или

∂ F

y

′

Fx′

∂ x

= − Fy′

= − ∂ F .

Д

∂ y

Формула (9) доказана.

Пример.

x

Найти производную

y′ неявной функции e

y

+ ln

x y

−

5 = 0.

2

2

Иx + y

x

x y

− 5 = F(x, y).

Решение. Введем обозначение e y

+ ln

Для

x2 + y2

′

вычисления производной

y

используем формулу (9).

Вычисляем частные производные:

и

y (x2 + y

2 )− 2 x2 y

x

∂ F

1

x

x2

+ y2

1

1

y2

− x2

=

e

+

2

2

2

=

e

+

2

2

;

∂ x y

x y

А(x + y )

y

x

x

+ y

∂ F

x

x

x2 + y2

x (x2 + y2 )− 2 x y2

x

x

1

x2 − y2

y

y

С

= −

2

e +

(x

+ y

)

= −

2

e +

2

2

.

∂ y

y

бx y

2

2

y

y

x

+ y

2

Выч сляем про зводную y

′

по формуле (9):

1 e

x

1

y2 − x2

y

+

x2 + y2

y′ =

y

x

.

x

x

1

x2 − y2

−

e y

+

y

x2 + y2

y2

∂ F

∂ z

= −

∂ x

.

(10)

∂ x

∂ F

∂ z

Д

получим

Если зафиксировать переменную x,

то

аналогично

формулу

И(11)

∂ F

А

∂ z

= −

∂ y

.

∂ y

∂ F

б

∂ z

Пример.

∂ z ,

∂ z

Найти частные производные

от неявной

функции

∂ y

и

∂ z

zx y

+ x y z + 3

= 0 .

Решен е. Введем о означение zx y + x y z + 3 = F (x, y, z). Для

выч слен я про зводных

∂ z

,

∂ z

используем формулы (10) и (11).

∂ z

∂ y

Выч сляем частные производные функции F:

С

∂ F = y zx y

ln z + y z ;

∂ x

∂ F

= x zx y

ln z + x z ;

∂ y

∂ F

= x y zx y−1 + x y .

∂ z

поверхности

И

в

точке

Д

определению

А

ках

+ 6 −12 = 2(1− 2∆ x + ∆ x2 )+ 3(4 + 4∆ y + ∆ y2 )− 8 − 4 ∆y + 6 −12 =

= 2 − 4 ∆ x

+ 2 ∆ x2 +12 +12 ∆ y + 3∆ y2

− 8 − 4 ∆y + 6 −12 =

Си

= − 4 ∆ x +

8 ∆ y + 2 ∆ x2 + 3∆ y2.

− 4

б

д

фференц

Вычисляем частные производные функции в точке M0 (−1; 2):

z′x = (2x2 + 3y2 − 4 y + 6)′x = 4 x;

z′x (−1; 2) = 4 (−1) = −4 ;

z′y = (2x2 + 3y2 − 4 y + 6)′y = 6 y − 4 ; z′y (−1; 2) = 6 2 − 4 = −8.

d z = −4 d x + 8 d y.

2.

Найти полный дифференциал функции

z = 2ч н − arctg

x

+

6 .

y

x

Решение. Найдем полный дифференциал функции, используя

формулу (13):

ч н

x

6 ′

ч н

x

6 ′

d z = 2

− arctg

+

x

d x +

Д

2

− arctg

+

y d y =

y

x

y

x

1

x

x y

y

А

y2

6

x y

=

y 2

ln 2

−

−

d x +

x 2

ln 2

+

Иd x=

y2

2

2

1

+

x

1+

x

y

y

б

y

6

x

=

y 2x y ln 2 −

2

2

−

2

d x +

x 2x y ln 2

+

2

2

d x .

x

+ y

y

x

+ y

Найти∂ x

= −

∂ F

и ∂ y

= −

∂ F

,

функции

3.

полный

дифференциал

2sin(x + 2y − 3z) = x + 2y − 3z .

Решен е. Найдем полный дифференциал функции

z = z (x, y) ,

С

спользуя формулу (13). Функция задана неявно. Вычисляем ее част-

ные про зводные по формулам (10), (11):

∂ F

∂ F