∂ z

= 6x2 y − 0 = 6x2 y (при вычислении y

И

∂ x

∂ z

= 2x3 1+ 3 4 y3

− 0 = 2 x3 −12 y3 (при вычислении x считали

∂ y

Д

постоянной).

Вычисляем частные производные второго порядка:

∂2 z

= (6x2 y)′x = 12 x y ;

∂ x2

∂2

z

=

(6x2 y)′y = 6 x2

;

б

∂ x ∂y

∂2 z

= (2 x3 −12y3 )′x = 6 x2 −

0 = 6 x2 ;

∂ y

∂x

и

2

′

∂ z

3

А3 2

2

С

∂ y2

= (2x

−12 y

) y

= 0 − 36 y

= −36 y

.

∂2 z

∂2 z

Замет м, что

=

.

∂ x ∂y

∂ y ∂ x

∆ z(x , y) = A∆ x + B ∆ y + α ( ∆ x, ∆ y)∆ x + β ( ∆ x, ∆ y)∆ y,

(1)

где А и В не зависят от ∆ x и ∆ y ; α ( ∆ x, ∆ y)

и β ( ∆ x, ∆ y) – беско-

нечно малые функции при ∆ x →0; ∆ y →0.

Необходимые условия дифференцируемости функции двух

переменных

Сформулируем

необходимые

условия

дифференцируемости

функции двух переменных

И

Теорема. Если функция

z = f (x, y) дифференцируема в некото-

рой точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Если

функция дифференцируема в

точке

M (x, y), то, по определению дифференцируемости функции, в этой

точке выполнено равенство (1). Тогда

Д

lim

∆ z(x , y) = 0 .

∆ x→0

∆ y→0

А

Получ ли определен е непрерывности функции в точке M (x, y).

Теорема. Если функц я z = f (x, y) дифференцируема в некото-

рой точке M (x, y), то она меет частные производные в этой точке,

б

пр чем z′x (x, y) = A;

z′y (x, y) = B (А и В – константы из равенства 1).

Доказательство. Если функция дифференцируема в точке

M (x, y), то в этой точке выполнено равенство (1). Зафиксируем пере-

меннуюсчитаемy , т.е. , что ∆ y =0. Из равенства (1) получим частное

С

приращение в виде

∆x z(x , y) = A∆ x + α ( ∆ x, ∆ y)∆ x .

(2)

z′x (M ) = lim

∆x z(M )

= lim

A∆ x + α ∆ x

= lim (A + α) = A.

∆x

∆ x

∆x→0

∆ x→0

∆ x→0

И

Доказали, что z′x (x, y) = A. Если теперь зафиксировать пере-

менную x, т.е. принять, что ∆ x = 0 , получим, что z′y (x, y) = B .

Итак, равенство (1) теперь можно записать в виде

Д

∆ z(x , y) = z′x (x , y )∆ x + z′y (x , y)∆ y + α ( ∆ x, ∆ y)∆ x + β ( ∆ x, ∆ y)∆

y.

Пример.

Рассмотрим функцию z =

x2 + y2

. Эта функция непрерывна в

точке O (0,0).

При этом производных в точке

O (0,0) функция не

имеет:

∆ x

= ±1.

z′ (0,0) = lim

(0 + ∆ x)2 + 02

− 0

= lim

∆x

x

∆x→0

∆ x→0

∆ x

А

Это означает, что z′x (0,0) для данной функции не существует, т.к.

z′x (0,0) определена неоднозначно. Аналогично не существует z′y (0,0).

Непрерывность функц

не гарантирует ее дифференцируемость.

Замечан еб. Функц я, непрерывная, дифференцируемая в точке

M (x, y) по каждой з переменных x и y, не обязательно дифферен-

ц руема в этой точке.

Достаточныеиусловия дифференцируемости функции двух

переменных

Теорема.

Если функция z = f (x, y)

непрерывна, имеет в точке

которой окрестности точки

M (x, y), то эта функция дифференцируе-

С

ма в этой точке.

Рассмотрим дифференцируемую функцию

z = f (x, y), причем

x = x(t ) ; y = y (t ). Получаем, что

z = f (x (t), y (t)) = F(t ) – функция

одной переменной t. Т.е. функция z одновременно является и функци-

ей двух переменных

z = f (x, y),

и

функцией

И

одной переменной

z = F(t ).

Пусть переменная t получает приращение ∆ t , тогда x, y и z

по-

лучают приращения ∆ x ,

∆ y и ∆ z , причем в силу дифференцируемо-

Д

сти функции z = f (x, y) приращение имеет вид

∆ z(x, y)= z′x (x, y )∆ x + z′y (x, y)∆ y + α (∆ x,∆ y)∆ x + β (∆ x,∆ y)∆ y

или

А

∆ z = z′x ∆ x + z′y ∆ y + α ( ∆ x, ∆ y)∆ x + β ( ∆ x, ∆ y)∆ y .

(3)

б

и перейдем к пределу при усло-

Разделим это равенство на

∆ t

вии ∆ t → 0 :

lim

∆ z

= z′x

lim ∆ x + z′y

lim ∆ y + lim α ∆ x + lim β ∆ y.

(4)

функции

∆ t

∆ t

∆tx→0

∆ t

∆ x→0

∆t→0

∆t→0

∆t→0

Но верно, что

= d x ; lim ∆ y = d y ,

lim ∆ z = d z

; lim ∆ x

С

d t

∆tx→0 ∆ t

d t ∆tx→0 ∆ t

d t

∆tx→0 ∆ t

Поэтому

з равенства (4) получаем формулу (5) полной произ-

водной

z = f (x, y), если x = x(t ) ; y = y (t ):

d z

=

∂ z

d x

+

∂ z

d y

.

(5)

d t

∂ x

d t

∂ y

d t

И

∂ z

= − y cos x y ;

∂ z

= − x cos x y ;

d x

= 2t ;

d y

=1.

∂ x

∂ y

d t

d t

t

Производная функции z по переменной t имеет вид

d z

Д

= −y cos (x y) 2t − x cos (x y) 1

,

d t

А

t

где x = t2 +1,

y = ln t .

Теперь

рассмотрим

функцию

z = f (x, y)

при

условии,

что

y = y (x ). Из формулы (5), считая, что x = x , y = y (x ), получим формулу

d z

∂ z

∂ z d y

d x

= ∂ x +

d x .

(6)

∂ y

изводная

Пример.

функции z = arcsin (x − y),

Найти про зводную

сложной

если

Решен е. Используем формулу (5). Вычисляем производные:

С

б1 ∂ z

−1

d y

∂ z

= − sin x.

∂ x =

1− (x − y)2

;

∂ y

=

1− (x − y)2

;

d x

Про

функции z по переменной x имеет вид

d z

=

1

+

−1

(− sin x).

d x

1− (x

− y)2

1− (x − y)2

Д

∂ z

=

∂ z

∂ x

+

∂ z

∂ y

.

(7)

∂ u

∂ x

∂ u

∂ y ∂ u

Аналогично, если зафиксировать u, получим формулу

А

И(8)

∂ z

=

∂ z

∂ x

+

∂ z

∂ y

.

∂ v

∂ x

∂ v

∂ y ∂ v

Пример.

б

x

Найти частные производные сложной функции z = x

y

, если

x = u cos v; y =sin (u − v).

Решение

. Используем формулы (7) и (8) . Вычисляем частные

производные:

∂ z

∂ z

∂ x

∂ z

∂ y

= 1

x

x

x

ln 2 cos (u − v);

∂ u

=

∂ x

∂ u

+

2

y

ln 2 cos v −

2

y

∂ y ∂ u y

y2

С

x

x

∂ z

= ∂ z

∂ x

+ ∂ z

∂ y

= 1 2

y

ln 2 (− u sin v)−

x

2 y ln 2

∂ v

∂ x

∂ v

∂ y ∂ v

y

y2