Приложение 19

Приложения определенного интеграла

I. Площадь плоской фигуры.

а) Площадь

криволинейной

трапеции,

ограниченной кривой

y = f (x) ≥ 0,

прямыми x = a;

x = b;

y = 0 (рис. П. 19.1), вычисляется

b

по формуле

S = ∫ f (x) dx .

a

y = f (x)

Рис. П. 19.1

б) Площадь фигуры,

ограниченной кривыми y = f (x) ; y = g(x)

( f (x) ≥ g(x)), прямыми x = a;

x = b

(рис. П. 19.2), находится по фор-

муле S = ∫b ( f (x) − g(x))dx .

Д

a

y = f (x)

А

a

y = g (x) b

Рис. П. 19.2

б

в) Площадь кр вол нейной трапеции в случае параметрическо-

го

кривой x = x(t)

(рис. П. 19.3) выражается формулой

y = y(t)

задания

t2

где t1

t2

уравнений a = x(t1 );

S = ∫ y(t) x'(t)dt ,

и

находятся из

t1

при t [ t1, t2 ].

b = x(t2 ) и y(t) ≥ 0

338

Продолжение прил. 19

a

b

Рис. П. 19.3

г) Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, за-

данной в полярных координатах уравнением r = r(ϕ), прямыми ϕ = α

и ϕ = β ; α < β (рис. П. 19.4), находится по формуле S =

1

β

∫r2 (ϕ)dϕ .

2

α

r = r(ϕ)

И

Рис. П. 19.4

Д

II.

Длина дуги кривой

а) Если функция

y = f (x)

непрерывна,

ее производная

f '(x)

непрерывна

на

[a, b],

тоАдлина L дуги

кривой

AB

равна

b

1+ ( f '(x))2 dx .

L = ∫

a

б

x = x(t)

б)

,

α ≤ t ≤ β ,

кр

вая задана параметрически

y = y(t)

a = x(α) ,

b = x(β ), то длина дуги кривой вычисляется по формуле

β

2

2

Если

L = ∫ (x

'(t))

+

(y '(t)) dt .

α

в)

Если

кривая

задана

в

полярных

координатах

r = r(ϕ),

α ≤ ϕ ≤ β ,

то

длина

дуги

кривой

вычисляется

по

формуле

β

2

(r

2

СL = r (ϕ) +

'(ϕ)) dϕ .

∫

α

339