§3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных

ной переменной, могут быть сформулированы аналогичным образом

для функции нескольких переменных.

И

Число

A

называется

пределом функции

z = f (x, y)

в

точке

M0 (x0 , y0 ) ,

если для любой последовательности точек { M n (xn , yn ) },

сходящейся к точке M0

(M n

≠ M0 ) при n → ∞ , соответствующая чи-

словая последовательность {f (M n )} сходитсяДк A при п →∞ .

Схематическая

запись

данного

определения имеет

вид

lim

f (M n ) = A {M n } → M0 ;

{f (M n )} → A.

n→∞

n→∞

)

n→∞

(x

) = A.

Обозначение:

lim

f (M

n

= A, или

lim f

n

, y

n

Mn→M0

xn→x0

А

yn→y0

Дад м еще одно определение предела функции нескольких пере-

менных.

A

пределом функции

z = f (x, y)

Ч сло

называется

в

точке

M0 (x0 , y0 ) ,

б

если

ε > 0 ,

достаточно

малого,

найдется

δ (ε )-окрестность точки M0 ,

такая, что для всех точек M , принадле-

жащих этой

, выполнено неравенство

f (M )− A

< ε

, т.

окрестности

е. значения функции

f (M ) принадлежит ε -окрестности числа A , ес-

ли точка М лежит в δ (ε )-окрестности точки M0 .

Функция z = f (x, y)

не имеет предела в точке M0 (x0 , y0 ) ,

если

существуют

хотя

бы

две

различные

последовательности

точек

1

2

}→ M

,

такие, что числовые последовательности

С{M } → M , {М

т

0

т

n→∞

0

n→∞

lim

x − y

=

0

= lim

x − 2x

=

−1

.

x→0

x + y

0

x→0

x + 2x

3

y→0

y→0

Итак, предел принимает разные значения при движении к точке

O(0, 0)

по разным путям. Это означает, что предел не существует.

Функция

z = f (x, y) непрерывна в точке M0 (x0 , y0 ) , если она

определена в этой точке,

и

lim

f (M )= f (M

0 ).

M →M0

Функция

z = f (x, y)

непрерывна в области D,

если она непре-

рывна в каждой точке этого множества.

И

Точка M

называется точкой разрыва функции

z = f (x, y), если

точка М принадлежит области определения функции или ее границе и

не является точкой непрерывности.

Из определения непрерывности функции нескольких перемен-

б

Д

ных в точке и предела функции в точке можно установить, что все

свойства непрерывных функций одной переменной верны и для

функций нескольких переменных.

Свойства функц й, непрерывныхАвограниченной замкнутой области

Если функц я z = f (x, y)

непрерывна в ограниченной замкну-

той

, то

– она огран чена в этой области;

– пр н мает в ней свои наименьшее и наибольшее значения;

– принимает в ней все промежуточные значения между наи-

меньшим наибольшим.

области

Примеры.

1

1.

Исследовать функцию на непрерывность z =

.

x2 + 4y2

СРешение. Областью определения функции является координат-

точка O(0, 0) – это точка разрыва графика функции z =

1

.

x2 + 4y2

Для определения типа разрыва найдем предел функции при

стремлении к точке O(0, 0).

lim

1

= +∞ .

И

x→0

x2

+ 4y2

y→0

Итак, точка (0, 0)– точка разрыва второго рода.

Д

2. Исследовать функцию на непрерывность z

=

1

.

Решение.

x − y

Область

определения

функции

x − y ≠ 0. Поэтому

функция z =

1

непрерывна всюду в R2 , кроме точек прямой y = x .

x − y

В этих точках функция имеет разрыв второго рода.

§4. Частные производные

Приращение функции

точки

,

определенную, непрерывную

Рассмотрим функцию z = f (x, y)

в некоторой

ласти D. Пусть точки M

0

(x0 , y0 ) , M ′(x0 + ∆x, y0 + ∆y), а

также

M

1

(x

0

+∆x, y

0

)Аи M (x , y +∆y) принадлежат области D.

2

0

0

Выражен я ∆x ∆y о означают величины изменения перемен-

ных называются пр ращениями аргумента по переменным x и y .

С

0

Обычно предполагаетсяб, что значения ∆x и ∆y малы.

Пр ращен ем функц

, или полным приращением функции по пе-

ременным x

y в точке M0 , называется разность вида

И

Аналогично, если зафиксировать

переменную x = x0 ,

получим

частное приращением функции по переменной y в точке M0 , которое

обозначается символом ∆y z(M0 ) и имеет вид

Д

∆ y z(M 0 )= z(M 2 )−z(M 0 )= f (x0 , y0 +∆y)− f (x0 , y0 ).

Частные приращения функции – это изменения значений функ-

ции при

переходе

точки

M0

к

точкам

M1(x0 +∆x, y0 ) и

M 2 (x0 , y0 +∆y), т.е. при движении от точки M0

параллельно коорди-

натным осям Ox и Oy.

Пример.

Найти

полное

приращение,

частные приращения

функции

z = xy − 4x + 3y в точке M0 (1;

− 2).

б

Решение. Воспользуемся определением полного приращения

функции:

и

∆ z (M

0 ) = z (1+ ∆ x, − 2 + ∆ y)− z(1,−2) =

= (1+ ∆x) (− 2 + ∆y)− 4А(1+ ∆x)+ 3 (− 2 + ∆y)− (− 2 − 4 − 6) =

= −2 + ∆ y − 2∆ x + ∆ x ∆ y − 4 − 4∆ x − 6 + 3 ∆ y +12 =

= 4 ∆ y − 6 ∆ x + ∆ x ∆ y .

Теперь найдем частное приращение функции по x:

∆x z (M0 ) = z (1+ ∆ x, − 2)− z(1,−2) =

= (1+ ∆x) (− 2)− 4(1+ ∆x)+ 3 (− 2)− (− 2 − 4 − 6) =

С= −2 − 2∆ x − 4 − 4∆ x − 6 +12 = − 6 ∆ x .

Частные производные первого порядка

Определение производной функции нескольких переменных ана-

′

А

логично определению производной функции одной переменной.

Частными производными функции z = f (x, y) вИточке M по пе-

0

Обозначение частных производных:

z′x (M0 ) =

∂z

; z′y

(M0 ) =

∂z

.

∂x

∂y

Итак, по определению, имеем равенства

Физический

f (x0

+ ∆ x, y0 )− f (x0

, y0 )

zx (M0 ) = lim

∆x z(M0 )

= lim

;

∆x→0

∆x

∆ x→0

∆ x

С

∆

z(M

)

f (x0 , y0 + ∆ y)− f (x0 , y0 )

z′y (M

0 ) =бlim y 0

= lim

.

∆y→0

∆y

∆ y→0

∆ y

Геометрический смысл частных производных

Частные производные z′x (M0 ),

z′y (M0 ) равны тангенсам углов α

и β , которые образуются между осями координат Ox, Oy и касатель-

ными к кривым, образованными при

пересечении поверхности

z = f (x, y) с плоскостями y = y0 и

И

x = x0

( M0 – точка касания), т.е.

верны равенства (рис. 11):

z′x (M0 ) = tg α ;

z′y (M0 ) = tg β .

Д

А

б

Рис. 11

Частные производные высших порядков

ные первого порядка z′x (M0 ),

z′y (M0 ), то производных второго поряд-

ка будет четыре:

∂ z

∂

2

∂

∂ z

2

и

∂

z

′

∂

z

′

∂ x

∂ x

(z′x ) x = z′x′x

=

=

∂ x2

;

(z′x ) y = z′x′y

=

=

;

∂ x

∂ y

∂ x

∂ y

∂ z

∂ z

∂

∂

2

2

(z′y )′x = z′y′x =

∂ y

∂

z

(z′y )′y = z′y′y =

∂ y

∂

z

=

;

=

.

2

С

∂ x

∂ y ∂x

∂ y

∂ y

z′x′′x x

=

∂3

z

;

z′x′′x y =

∂3 z

;

z′x′′y y =

∂3 z

и т.д.

∂ x3

∂ x2

∂ y

∂ x

∂ y2

Теорема.

Д

Если частные производные n -го порядка непрерывны,

то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь по-

рядком дифференцирования, равны между собой.

Замечание. В разных источниках этот результат указывается как

теорема Шварца, теорема Клеро или теорема Янга.

И

Пример.

А

Найти

частные производные первого

порядка функции

z = xy − 4x + 3y в точке M0 (1; − 2).

Решение.

б

Воспользуемся определением частных производных

функции. Значения частных приращений этой функции вычислены в

предыдущем примере:

нахождения

∆x z(M0 )

− 6 ∆ x

z′

(M

)

= lim

= lim

= −6;

x

0

∆x→0

∆x

∆ x→0

∆ x

С

z′ (M ) = lim

∆y z(M0 )

= lim

4 ∆ y

= 4 .

y

0

∆y→0

∆y

∆ y→0 ∆ y

в роли постоянных.

Примеры.

1. Найти частные

производные первого порядка функции

z = xy − 4x + 3y в точке M0

(1; − 2).

переменной x. С y при этом обращаемся как с константой:

И

z′x = (xy − 4x + 3y)′x = (x y)′x − (4 x)′x + (3

y)′x = y (x)′x −

− 4(x)′x + (3 y)′x = y 1 − 4 1 + 0 = y − 4.

Д

Подставим теперь координаты точки M

0 (1; − 2), получим

Подставим теперь координаты точки M0 (1; − 2), получим

Найтиx

x

x + y

2

x

x + y2

z′y

(M0 ) = 1+ 3 = 4 .

2.

частные

производные

первого

порядка функции

С

z = ln(x + y2 ).

Решен е. Вычбсляем производную по правилу дифференциро-

ван я сложной функц :

2

′

1

2 ′

1

z

′

= [ln(x + y

)] =

(x + y ) =

;

z′y = [ln(x + y2 )]y′ =

2y

.

x + y2

∂ z

= 6x2 − 0 + 3 y 1− 6 1 = 6x2

+ 3 y − 6 (при вычислении y счи-

∂ x

тали постоянной);

∂ z

= 0 − 20y3

+3 1x − 0

= −20 y3 + 3 x (при вычислении x считали

∂ y

постоянной).

Вычисляем частные производные второго порядка:

∂2 z

А

И

∂ x2

= (6x

+ 3 y − 6)x

= 12 x + 0 − 0 = 12 x ;

б

∂2 z

= (6x2

+ 3 y −

6)′y = 0 + 3 − 0 = 3;

∂ x ∂y

Д

равными

∂2 z

= (−

20 y3 +

3 x)′x = 0 + 3 = 3;

∂ y ∂x

С

∂2 z2 = (− 20 y3 + 3 x)′y = −60 y2 + 0 = −60 y2 .

∂ y

Отмет , что смешанные производные

∂2 z

и

∂2

z

получи-

∂ x ∂y

∂ y

∂ x

лись

. Так

должно быть по те ореме о равенстве смешанных

производных.

∂3 z

′

И

= (12 x) y = 0

;

∂ x2∂ y

∂3 z

= (− 60 y2 )′x =

0 .

∂ y2∂ x

А

Остальные производные третьего порядка равны нулю, т.к. это

ная отлична от нуля:

б

∂4

z

= (−120 y)′y Д= −120.

∂ y4

Вычис

Производные пятого и олее высоких порядков все равны нулю.

4.

лить частные производные первого порядка функции

трех переменных u = xe

xy

− ln(x z) + cos(y z) .

С

∂u = exy

+ x y exy −

z

= exy + x y exy −

1

;

x

∂x

x z

∂u

= x2 exy − z sin ( y z);

∂y

∂ u

= −

x

− y sin (y z) = − 1 − y sin (y z).

∂ z

x z

z