Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2231.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

4.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3128 29 30 31 > Следующая >>>

Приложение 11

Первообразная и неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной для функции f (x) на

некотором интервале, если производная	И
	F(x) на этом интервале рав-

няется данной функции f (x): F'(x) = f (x).

Существование первообразной. Всякая непрерывная на данном интервале функция имеет на нем первообразную функцию.

Теорема о виде всех первообразных. Если функция						f (x) имеет
на одном промежутке первообразную				Д
на одном промежутке первообразную				F(x), то любая ее первообраз-
ная на этом промежутке может быть получена при некотором значе-
нии C = C0 из формулы F(x) + C .
Неопределенным интегралом от функции					y = f (x)	называется
			А
совокупность всех ее первообразных:				∫ f(x)dx = F(x) + C ,		где F(x) –
любая из первообразных функций для				f (x); С – произвольная посто-
янная.
Обозначения:
		б
– знак неопределенного интеграла: ∫ ;
– подынтегральное выражение: f(x)dx;
– подынтегральная функция: f(x);
Если
– переменная интегрирования: х.
Основные свойства неопределенного интеграла:
1. d(∫ f(x)dx)= f(x)dx .
2.	∫dF(x) = F(x) + C .
С
3.	∫( f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx .
4. ∫ Af(x)dx = A∫ f(x)dx.
5.		∫ f (x)dx = F(x) + C; u = u(x) –			дифференцируемая
функция, то ∫ f (u)du = F(u) + C .

325

Приложение 12

Таблица производных

1. c′ = 0.

′

8. (ctgx) = −

2. (xm )′ = mxm−1;

sin2 x

9. (arcsin x)′ =

(x)′ = 1;

1 − x2

(

)′ =

2 x

10. (arccos x)′ = −

3. (ax )′ = ax ln a;

1 − x2

(ex )′ = ex .

11. (arctgx)′ =

И1 + x

4. (loga x)′ =

;

′

xln a

12. (arcctgx)

= −

1 + x2

(ln x)′ =

1 .

5. (sin x)′

= cos x.

-----------------------------------------

′

(uv)

= u v + uv ;

6. (cos x)′ = −sin x.

′

u v − uv

;

7. (tgx)′ =

cos

′

(u) =

u .

326

Приложение 13

Таблица интегралов

∫0dx = C .

∫1dx = ∫dx = x + C .

∫ x

dx =

xn+1

+ C,

≠ −1.

n +1

∫ dx

= ln

+ C, x ≠ 0.

∫a

dx =

+ C, a > 0, a ≠1;

ln a

∫ex dx = ex

+ C .

∫cos xdx = sin x + C .

∫sin xdx = −cos x + C .

∫

= tgx + C .

cos

∫

= −ctgx + C .

sin

10. ∫

1 arctg

+ C = −

1 arcctg

+ C,

a ≠ 0 .

+ a

11.

x − a

+ C,

a ≠ 0,

x ≠ ±a .

∫

− a

x + a

12.

∫

= arcsin

+ C = −arccos

+ C,

< a, a ≠ 0 .

− x

13.

∫

= ln

x +

+ a

+ C, a ≠

0, x ≠ ± − a .

+ a

и-----------------------------------------------

∫udν

= uν

−

∫νdu.

327

мно-

Приложение 14

Вычисление неопределенного интеграла

I. Замена переменной. Пусть функция f (u) на множестве [a,b] имеет первообразную F(u). Пусть u = ϕ(x)− функцияИ, имеющая на

[c,d] производную и принимающая на этом сегменте значения, не

выходящие из [a,b]. Верна формула	∫ f (ϕ(x)) ϕ'(x)dx = F(ϕ(x))+ C .
Линейная замена переменных:	∫ f (a x + b)dx = 1 F(a x + b)+ C .
n	Дn
	a

II. Формула интегрирования по частям: ∫udν = uν − ∫νdu.

Простейшие виды интегралов, вычисляемых по частям:

1.		xn sinxdx.			2.		xn cosxdx.
		∫				∫
		u						u
3.		xn ax dx.			4.	∫	xn log xdx.
		∫				∫			a
		u
		u							u
									u
5.	∫	xn arctgxdx.			6.		∫	xn arcctgxdx.
	∫						∫
		u							u
7.	∫	x arcsinxdx.			8.		∫	x arccosxdx.
	∫						∫
		u							u
9.	∫	ex cosxdx.			10.			ex sinxdx.
	∫						∫
		u						u
				А
III. Интегр рован е рациональных дробей.
Рац ональная				–	вида				P(x)	, где Р(х), Q(х)– много-
Рац ональная				–	вида					, где Р(х), Q(х)– много-
			дробь						Q(x)

членыинтеграл.

Рац ональная дробь называется правильной, если степень

гочлена ч сл теля меньше степени многочлена знаменателя.

войство:

от правильной рациональной дроби

P(x)

Q(x)

может быть представлен в виде суммы интегралов от элементарных

дробей:

t = x + a;

∫

= ln

+ C = ln

x + a

+ C.

Сx + a

dx = dt.

328

Продолжение прил. 14

IV. Интегрирование тригонометрических функций.

∫

t = x + a;

= ∫

dtα

= ∫t−α dt =

t−α +1

+ C =

(x + a)

dx = dt.

− α +1

+ C, α ≠ 1.

(1− α)(x + a)α −1

ax + b

∫

ax + b

dx;

4. ∫

dx;α ≠1.

+ px + q

+ px + q)

1. Универсальная тригонометрическая подставка (УТП):

t = tg

;

dx =

2dt

;

1+ t2

sin x =

; cos x

1− t2

+ t2

2. Интегралы вида ∫sinm x cosn xdx :

а) если m – нечетное положительное целое число, то применяют

подстановку

t = cos x; dt = −sin xdx

;

б)

n – нечетное положительное целое число, то применяют

подстановку

t = sin x; dt

= cos xdx

;

в)

m n – четные положительные целые числа, то исполь-

зуют тр гонометр ческ е формулы

б1

sin x cos x

2 sin 2x;

cos

x =

2 (1+ cos 2x) ;

sin2 x =

(1− cos 2x) ;

sin2 x + cos2 x = 1.

еслиm

xdx и ∫ctg

xdx,m Z+ вычисляют, используя

3. Интегралы ∫ tg

формулы tg

2 x =

−1; ctg2 x =

−1.

cos2

sin2

4. Интегралы

∫sin mxcosnxdx; ∫cosmxcosnxdx; ∫sin mxsin nxdx

вычисляют, используя формулы

329

330

Окончание прил. 14

sinα cos β

(sin(α + β ) + sin(α − β ));

cosα cos β

(cos(α + β ) + cos(α − β ));

sinα sin β

= 1 (cos(α − β ) − cos(α + β )).

V. Интегрирование иррациональных функций

+ b

ax + b

1. Интеграл вида

;

;...;

∫ f x;

cx + d

dx , где

cx + d

a,b,c,d R; Si – рациональные числа; f – рациональная функция, вы-

числяется с помощью подстановки

ax + b = t S , здесь S – наименьшее

cx + d

общее кратное чисел {Si }. При этом все корни, присутствующие в п о-

дынтегральной функции, выразятся через t рационально.

2. Иррациональные функции,

содержащие корни вида

C ± x2

интегрируют, применяя тригонометрическиеДподстановки:

а) для

интеграла ∫ f (x;

− x2

)dx

используют подстановку

x = asint;

и формулу

a2 − a2 sin2 t = a2 cos2 t ;

dx = acostdt.

б) для

нтеграла ∫ f (x;

+ x

2 )dx

используют подстановку

x = atgt;

; бa + a tg t =

;

dx =

dt.

cos

cos2 t

в) для

нтеграла ∫ f (x;

− a2

)dx используют подстановку

x =

cost

;

− a2

= a2 sin2 t .

cos2 t

dx =

a sin t

dt.

cos2 t

Приложение 15

Определенный интеграл

Интегральная сумма

– это сумма вида Sn = ∑ f

(xk )∆xk , где

k=1

функция

y = f (x)

определена

непрерывна

на

отрезке [a,b];

a = x0 < x1 < x2 < ... < xk−1 < xk

< ... < xn = b

–

произвольно

выбранные

точки на отрезке;

∆xk

– точки, произ-

= xk − xk−1 – длины отрезков; xk

вольно выбранные на отрезке [xk−1, xk ],

k =1, 2, ..., n .

на [a,b]

Определённый интеграл от функции

y = f (x)

– это

число, равное пределу

lim

∫ f (x)dx =

∑ f

(xk )∆xk .

n→∞

{∆xk

→0} k=1

Геометрический

смысл

определенного

интеграла:

если

f (x) ≥ 0

на [a,b], то определенный интеграл ∫ f (x)dx

равен площади

криволинейной трапеции ST

(рис. 54)

y = f (x)

Рис. 54

Свойства определенного интеграла:

∫ f (x)dxб= 0.

∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx .

∫[f (x) ± g(x)]dx

= ∫

(x)dx

±∫ g(x)dx .

f (x)dx.

∫c f (x)dx

= c∫

∫c dx = c(b − a) .

331

					Продолжение прил. 15
6. Если		b		c	b
6. Если	a < c < b, то	∫ f (x)dx	=	∫ f (x)dx +	∫ f (x)dx.
		a		a	c
		b
7. Если	f (x) ≥ 0 на	[a, b], то ∫ f (x)dx > 0 .
		a	b
8. Если	f (x) ≤ 0 на [a,b], то		b
8. Если	f (x) ≤ 0 на [a,b], то		∫ f (x)dx < 0 .
			a

9. Если		f (x) ≤ g(x) на [a,b], то				b	b
9. Если		f (x) ≤ g(x) на [a,b], то				∫ f (x)dx < ∫ g(x)dx .
						a	a
10.	b		b
	b		b
	∫ f (x)dx		≤ ∫	f (x)	dx.
	∫ f (x)dx		≤ ∫	f (x)	dx.
	a		a

Следствия:

а) если на [a,b] верно, что f (x) ≤ k , то

f (x)dx

≤ k(b

− a);

∫

б) если m − наименьшее,

M − наибольшее значения функции

y = f (x) на [a,b], то m(b − a) ≤

f (x)dx ≤ M (b − a).

∫

б∫

Если функция y = f (x)

не-

11. Теорема о среднем значении.

прерывна на

[a,b], то существует точка

c [a,b], такая,

что верна

интеграл

формула ∫ f (x)dx ≤ f (c) (b − a) .

Определенный

нтеграл с переменным верхним пределом –

Ф(x) = x

f (t)dt , где

x [a,b].

это функция

вязь определенного и неопределенного интегралов. Опреде-

ленный

с переменным верхним пределом F(x) = ∫ f (t) dt

яв-

ляется первообразной для f (x).

ледствие. ∫ f (x)dx = ∫ f (t)dt + C .

332

						Окончание прил. 15
Формула Ньютона-Лейбница:						b
Формула Ньютона-Лейбница:						∫ f (x)dx = F(b) − F(a), где
						a
y = f (x)	− непрерывная на [a,b] функция; F(x) − любая первообраз-
ная для	f (x) на [a,b].
Формула замены переменной в определенном интеграле:
b	B	f (ϕ (t)) ϕ ' (t)dt при условиях:
∫ f (x) dx = ∫		f (ϕ (t)) ϕ ' (t)dt при условиях:
a	A					Д
а)	x = ϕ (t) непрерывно дифференцируема на [A; B].
б)	[a;	b] − множество значений функции x = ϕ(t).
в)	y = f (x) непрерывна на [a; b];
г) a = ϕ (A) ; b = ϕ (B) .
					А
Формула интегрирования по частям в определенномИинте-
грале:	b		b	b
грале:	∫udv = uv		−	∫vdu .
	a		б
	a		a	a
и
С

333

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3128 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20214.26 Mб42227.pdf
#
07.01.20214.27 Mб1022228.pdf
#
07.01.20214.28 Mб32229.pdf
#
07.01.2021357.88 Кб2223.pdf
#
07.01.20214.29 Mб42230.pdf
#
07.01.20214.29 Mб112231.pdf
#
07.01.20214.31 Mб82232.pdf
#
07.01.20214.32 Mб32233.pdf
#
07.01.20214.32 Mб22234.pdf
#
07.01.20214.32 Mб72235.pdf
#
07.01.20214.32 Mб22236.pdf