§33. Приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры (видео 6)

Площадь

криволинейной

трапеции,

ограниченной

кривой

y = f (x) ≥ 0, прямыми

x = a;

x = b; y = 0 (рис. 37), вычисляется по

формуле

S =

b

f (x) dx .

(69)

∫

a

y = f (x)

Рис. 37

Площадь фигуры, ограниченной кривыми

y = f (x) ;

y = g(x)

( f (x) ≥ g(x)), прямыми x = a;

x = b (рисД. 38), находится по формуле

S = ∫b ( f (x) − g(x))dx .

(70)

a

y = f (x)

А

б

y = g (x) b

и

a

Рис. 38

параметрического

Площадь криволинейной трапеции в случае

x = x(t)

(рис. 39) выражается формулой

задания кривой

С

y = y(t)

234

t2

S = ∫ y(t) x'(t)dt ,

(71)

t1

где t1

и t2 находятся из уравнений a = x(t1 );

b = x(t2 ) и y(t) ≥ 0

при

t [ t1, t2 ].

a

b

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, за-

= α

и ϕ = β ; α < β (рис. 40), находятся по формуле

И

S = 1

β

(72)

∫r2 (ϕ)dϕ .

2

α

Д

r = r(ϕ)

А

Рис. 40

б

Пр меры.

1. Найти площадь ф гуры, ограниченной параболой y = 9 − x2 и

осью

Ox ( . 41).

рис

y

9

С

-3

0

3

x

Рис. 41

235

Решение. Парабола пересекает ось Ox в точках x = ± 3, поэтому

используем формулу (69)

3

x

3

3

S = ∫(9 − x

2

9x

−

= (27 − 9) − (−27 + 9) = 36(кв.ед.).

)dx =

3

−3

−3

2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = (x −1)2

и гиперболой x

2 − y2

= 1 (рис. 42).

2

y

4

A2

0

A1 1

3

x

Рис. 42

Д

. Используем формулу (70). Найдем точки пересечения

кривых:

(x −1)

4

2

А

x

−

2

= 1;

x4

− 4x3

+ 4x2

− 4x + 3 = 0;

б

(x −1)(x − 3)(x2 +1) = 0;

Решение

x1 = 1; x2

= 3;

С

y1 = 0; y2

= 4.

236

Итак, кривые (парабола и гипербола) пересекаются в точках

A1 (1, 0) и A2 (3, 4) . Вычисляем площадь:

S = ∫3 ( 2(x2 −1)− (x −1)2 )dx = 3

=

1

(x x2 −1 + ln x + x2 −1 )

1

=

2

3 −

1

(x −1)3

3 =

2

1

3

1

=

2 (3 8 + ln(3 +

8))−

8

=

10

+

2 ln(3 +

8) ≈ 4,58 (кв.ед.).

2

3

3

2

уравнение

x = acost

(рис. 43).

И

y = bsint

b

0

a

Д

Рис. 43

Решение.

Ввиду симметрии достаточно найти площадь

1

4

части

элл пса, лежащую в I четвертиА. Т.к. 0 ≤ x ≤ a , то t

изменяется от

π

до 0:

π ;

2

при x = 0

получаем acost = 0 t =

x = a

б

2

получаем acost = a t = 0.

при

π

ab

π

1

0

2

2

2

S = ∫bsint a(−sint)dt = ab

sin

tdt

=

4

∫

2

∫(1 − cos2t)dt =

π 2

0

0

ab

sin 2t π 2

ab

π

πab

С

=

=

, S = πab (кв.ед.).

=

2

t −

2

0

2

2

4

237

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной первым витком

спирали Архимеда

r = a ϕ ,

0 ≤ ϕ ≤ 2π (рис. 44).

0

C

2π a

Рис. 44

Решение. Используем формулу (69):

2π

2

3

2π

2

3

1

a

a (2π )

4

S =

∫

(aϕ)

2

dϕ

=

ϕ

=

=

π

3

a

2

.

2

2

3

0

2

3

3

0

Замечание. Т.к.

OC = 2πa , то площадь S1

круга радиусом OC

равна

И

S

= π (2πa)2 = 4π 3a2 = 3 4π 3a2 = 3S .

1

3

Д

Т.е. площадь, ограниченная первым витком спирали Архимеда,

в три раза меньше площади круга

S1 . Отметим,

что этот результат

был известен Архимеду.

ДлинаАдуги кривой

Плоская

кр

вая

AB задана

уравнением

y = f (x) , a ≤ x ≤ b,

пр чем f (x)

– непрерывная функция. Разобьем дугу AB на n произ-

вольных частей

б

M2,

...,

Mn = B и соединим точки

M0

=

A,

M1,

хордами (р с. 45).

точками

M1

M2

M3

A

B

M0

С a = x0

M n

x1

Рис. 45

xn = b

238

Так

как

λ ≤ µ (li =

(∆xi )2

+ (∆yi )2

∆xi

≤ li )

λ → 0

при

µ → 0 , поэтому

n

1+ ( f '(ξi ))2

b

1+ ( f '(x))2 dx .

L = lim P

= lim

∑

∆ xi = ∫

µ→0

λ→0

i=1

a

Теорема доказана.

Пример.

Найти длину дуги кривой y = x32

при 0 ≤ x ≤ 5 (рис. 46).

y

Рис. 46

Решение. Используем формулу (73). Сначала вычисляем произ-

водную;

y

'=

3

x

1

2

Д

2

L =

5

1 + (y ')2 dx =

5

1

+ 9 xdx =

∫

∫

0

0

4

А

=

4

2

+

9

32 5

=

8

45

3

2

8

7

3

=

335

.

1

x

1 +

−1 =

−

1

9 3

4

0

27

4

27

2

27

б

кривая задана параметрически

x = x(t)

,

α ≤ t ≤ β ,

Если

y = y(t)

a = x(α) ;

b

= x(

β )

, то для вычисления дуги кривой в формуле (70)

сделаем замену x = x(t) ,

dx = x '(t)dt . Получаем

L =

b

1 + y

'

2

β

y '(t) 2

β

2

+

(y

2

∫

dx = ∫ 1

+

x '(t)dt = ∫

(x '(t))

'(t)) dt .

С

α

α

a

x '(t)

240

Итак, в случае параметрического задания, длина дуги кривой

вычисляется по формуле

L = β∫

(x '(t))2 + (y '(t))2 dt .

(74)

α

Если кривая задана в полярных координатах r = r(ϕ),

α ≤ ϕ ≤ β ,

причем производная

r '(ϕ)

существует и

непрерывна

на [α, β ]

(рис. 47), точкам A и B соответствуют значения углов α и β .

y

В

r = r(ϕ)

β

А

α

0

x

Рис. 47

Для нахождения длины дуги кривой переходим от прямоуголь-

ных координат к полярным:

И

x = r cosϕ;

x '= r 'cosϕ − r sinϕ;

y

'= r 'sinϕ + r cosϕ.

y = r sinϕ,

Д

В результате формула (73) длины дуги в случае полярного зада-

ния кривой принимает вид

βА

L = ∫