Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5107 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
2231.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
07.01.2021
Размер:
4.29 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

 

§29. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

 

Рассмотрим функцию Ф(x) =

x

f (t)dt , где x [a,b].

 

∫

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Геометрический смысл определенного интеграла

 

 

с переменным верхним пределом

 

 

Если f (x) > 0, то о пределенный интеграл с переменным верх-

ним пределом равен площади криволинейной трапеции с основанием

[a, x] (рис. 27).

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

y = f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

a

x

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 27

Д

 

Заметим, что Ф(x)

 

 

 

 

– возрастающая функция (при f (x) > 0).

лов).

Теорема (связь определенного и неопределенного интегра-

Определенный интеграл с

 

переменным

верхним пределом

 

x

 

А

 

 

F(x)

= ∫ f (t) dt

 

 

 

является первоо разной для f (x).

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно дока-

зать, что F'(x) = f (x). Зап шем определение производной

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

F'(x) = lim F(x + ∆x) − F(x) .

 

 

 

и

∆x→0

 

 

∆x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

215

 

 

 

 

Преобразуем разность

F(x + ∆x) − F(x):

 

 

 

 

 

 

 

 

x+∆x

 

x

 

x

 

x+∆x

F(x + ∆x) − F(x) = ∫ f

(t)dt − ∫

f (t)dt = ∫ f (t)dt + ∫ f (t)dt −

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

a

 

x

x

 

x+∆x

 

f (c) ((x + ∆x) − x) = f (c) ∆x.

− ∫ f (t)dt =

∫ f (t)dt =

a

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последнее равенство получено на основании теоремы о среднем

значении определенного интеграла;

Д

( )с [x + ∆x; x]. Поэтому

 

 

F'(x) = lim

f (c)∆x

 

= lim f (c) =

 

f (x) .

 

 

 

 

 

 

∆x→0

∆x

 

∆x→0

( )x (Ирис. 28).

 

 

 

 

 

 

 

А

При ∆x → 0

 

x + ∆x → x , поэтому ( )c →

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x +

∆x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 28

 

 

Рассмотримy = f (x) − непрерывную на [a,b] функцию. Пусть

Итак, получили, что

F'(x) = f (x). Теорема доказана.

Следств е. Верна формула (55), показывающая связь неопреде-

ленного

определенного

нтегралов:

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

f (x)dx =

∫ f (t)dt + C .

(55)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Теорема (формула Ньютона–Лейбница).

F(x) − любая первообразная для f (x) на [a,b]. Тогда верна формула

 

 

 

 

 

 

b

f (x)dx = F(b) − F(a).

(56)

 

 

 

 

 

 

∫

a

216

Доказательство. Рассмотрим интеграл с переменным верхним

x

пределом Ф(x) = ∫ f (t)dt . По предыдущей теореме о связи опреде-

a

ленного и неопределенного интегралов Ф(x), − это первообразная для

f (x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По условию, F(x) − еще одна первообразная.

 

, что лю-

бые две

первообразные

отличаются на конста ту,

то есть

Ф(x) = F(x) + C ; a ≤ x ≤ b. Или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫ f (t)dt = F(x) + C .

 

(57)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

x = a равенство (57) имеет вид ∫ f (t)dt =

F(a) + C , поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

Известно

 

 

 

 

 

 

 

0 = F(a) + C; C = −F(a).

Получили из равенства (57) равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

f (t)dt = F(x) −ДF(a) .

(58)

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

При x = b из (58) получаем формулу Ньютона–Лейбница (56)

 

 

 

 

 

 

 

 

b

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫ f (t)dt = F(b) − F(a) .

 

 

Теорема доказана.

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пр меры.б

 

 

Выч сл ть определенные интегралы, используя формулу Нью-

тона–Лейбн ца (56).

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

Решения

 

 

 

 

 

 

1. ∫sin dx = −cos x

 

= −cosb + cosa .

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

2. 1 x2dx =

x3

 

 

1 = 13

− 03

= 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

С∫

3

 

 

0

3

3

3

 

 

0

 

 

 

 

 

217

Замечание. Формальное использование формулы НьютонаЛейбница без учета условий ее применимости может привести к неверному результату.

Пример.

Вычислить определенные интегралы, используя формулу Нью- тона–Лейбница (56).

Решения.

 

Рассмотрим вычисление интеграла

 

1

 

dx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 dx

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= arctgx

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

2

 

 

= arctg1 − arctg(−1)

=

4

 

−

 

−

4

=

2

 

 

 

 

−11 + x

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула Ньютона–Лейбница в этом решении применена верно,

так как первообразная F(x) = arctgx непрерывна при всех x , в частно-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сти на отрезке [−1; 1] и F'(x) = (arctgx)'=

 

1

 

= f (xИ).

 

1 + x2

 

Теперь

рассмотрим

в качестве первообразной для функции

 

 

1

 

 

 

б1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) =

 

 

 

функцию

F

(x)

= arcctg 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ x2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим,

 

что

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

−

1x2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

.

 

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

arcctg

x

'= −

1+

(

1x )2

 

=

1

+ x2

 

 

 

F (x) = arcctg 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можно использовать в качестве первообразной для

1

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) =

 

 

. Выч сляем

нтеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

dx

2

= arcctg

1

 

 

 

= arcctg1 − arcctg(−1) =

π

 

−

3

π = −

π

≠

π

.

 

∫

 

 

x

 

 

 

4

 

4

 

2

2

 

−11 + x

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получили

 

 

 

 

в результате двух

 

вычислений одного и того же оп-

ределенного интеграла два разных результата при

 

вычислении раз-

ными способами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ошибка

 

сделана

во

втором

 

варианте

 

 

вычисления. При

x = 0 [−1; 1] функция y = arcctg 1

разрывна, поэтому не может быть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

первообразной. При этом если бы интеграл мы рассматривали по лю-

218

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности