РАЗДЕЛ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

переменных

– разности потенциалов U на

концах участка, силы

тока I и времени t : A = U I t .

И

Д

А

3. Состояние идеального газа характеризуют три параметра:

давление P, объем V, температура T. Зависимость между ними описы-

f

бозначение

вается уравнением Менделеева – Клайперона P V = const (объеди-

T

ненный газовый закон). Получили, что функция объема V есть функ-

ция двух переменных: P и T.

При

действительных

чисел X R; Y R ;

Рассмотрим множества

Z R . Если каждой паре независимых друг от друга чисел (x, y) , та-

к х, что x X ; y Y , по какому-ли о правилу однозначно ставится в

соответств е

е z Z , то переменная z называется функцией

С

: z = f (x, y),

или

f : (x, y ) z , или

двух переменных. О

(x, y ) z .

этом множество пар {(x, y) : x X , y Y }= D – область оп-

ределения функции двух переменных z = f (x, y).

Область D является

Решение. Область определения – любая точка числовой плоско-

И

сти D = R2 . Множество значений – любое действительное число, т.е.

R.

1

2. z =

x

2 + y2

.

Д

Решение.

Область определения x

≠ 0, т.е. любая точка числовой

плоскости R2 , кроме начала координат (0, 0). Множество значений –

интервал (0, + ∞).

3. z =

1− x2 − y2

.

А

Решение.

Область определения – точки числовой плоскости,

удовлетворяющие неравенству 1− x2 − y2 ≥ 0, или x2 + y2 ≤ 1. Это

неравенство определяет на числовой плоскости круг с центром в на-

б

чале координат радиусом 1. Множество значений – отрезок [0;1].

4. z = ln(4 + 4x − y2 ) .

Решение. Логарифм определен только при положительном зна-

чении аргумента, поэтому на аргументы функции ставится усло-

и

вие y2 < 4 +

4x .

Чтобы

зо раз ть геометрически область D , удовлетворяющую

неравенству y2 < 4 + 4x , найдем сначала уравнение границы D.

Для этого замен

м знак неравенства на знак равенства:

С

y

2

= 4 + 4x = 4 (x +1).

Полученное уравнение определяет параболу, вершина которой

расположена в точке

(−1, 0), а ось параболы направлена в положи-

не входит. Область определения D изображена на рис. 1.

Множество значений – любое действительное число.

И

Рис. 1

Д

Замкнутым шаром в пространстве Rm , или m -мерным замкну-

тым шаром с центром в точке

A и радиусом r, называется множество

точек

М Rm , так

х, что Аρ ( ,М )≤ r . Здесь ρ(A, M ) – расстояние

между точками A

M.

Пр меры.

1. 1-мерный замкнутый шар – это отрезок [a1 − r; a1 + r].

б

–

это

круг с центром в т

очке

2. 2-мерный замкнутый

шар

А(а1 , а2 )

рад усом r .

3. 3-мерный замкнутый

шар

–

это

шар с центром в то

чке

А(а ,иа , а ) радиусом r .

1

2

3

ε -окрестностью точки

А(а1 ,...,аm ) называется m-мерный от-

крытый шар с центром в точке А

с радиусом r =ε , т.е. множество

точек

М Rm , таких, что ρ (А, М )< ε .

С

любой ε -окрестности этой точки находятся точки как принадлежа-

щие множеству точек D, так и не принадлежащие множеству D.

Д

Границей области D называется совокупность всех граничных

точек области D. Обозначение границы области D: ∂ D .

Область D называется замкнутой, если оно состоит из всех сво-

их внутренних и граничных точек.

А

Множество D называется ограниченным, если его можно заклю-

чить в 2-мерный шар, т.е. в круг, и неограниченнымИ, если не сущест-

вует круга, целиком содержащего это множество.

б

§2. Геометрическое изображение функции двух переменных

абсциссы, а

функции как ординаты точек кривой (рис. 2).

значения

Рис. 2

Подобным же образом функция двух переменных z = f (x, y)

может быть изображена графически.

в области D

Рассмотрим

функцию z = f (x, y), определенную

С

систему прямоугольных

декартовых

на плоскости Oxy, и

принять за графическое изображение функции

z = f (x, y)

(рис. 3).

Рис. 3

И

Графиком

функции

А

называется

двух

переменных z = f (x, y)

множество

точек трехмерного

пространства Oxyz ,

апплика-

та z которых связана с абсциссой x и ординатой y

функциональным

соотношением

бласть

2

2

2

2

z = f (x, y).

Таким образом, графиком функцииДдвух переменных являет-

ся поверхность, проектирующаяся на плоскость Oxy в область опре-

деления

функции D .

Каждый

перпендикуляр

к

плоскости

изображения

Oxy пересекает поверхность z = f (x, y) не более чем в одной точке.

Пр мер.

Постро ть граф к функции двух переменных z =

4 − x2 − y2

.

С

О

определения – точки числовой плоскости,

Решен е.

удовл творяющ е неравенству 4 − x

− y ≥ 0,

или

x

+ y

≤ 4. Это

неравенство определяет на числовой плоскости круг с центром в на-

чале координат радиусом 2 (рис. 4, а).

Для

графика функции возведем обе части в квад-

рат при условии

z ≥ 0.

После преобразований получим уравнение

x2 + y2 + z2 = 4 . Это уравнение сферы с центром в начале координат

радиусом 2. Учитывая условие возведения в квадрат z ≥ 0, получаем,

что графиком функции z =

4 − x2 − y2

является верхняя часть сферы

(рис. 4, б).

а

Рис. 4

б

Определение функции двух переменных легко обобщить на слу-

чай трёх или более переменных.

И

Пусть дано множество D

Д

упорядоченных чисел (x1, x2 , , xn ).

Будем говорить, что на множестве D задана u = u(x1, x2 , , xn ) – функ-

ция n переменных, если указано правило, которое каждому набору

точки M (x , x , , x ) в пространстве Rn , поэтому будем рассматри-

1 2

n

вать функцию нескольких переменных как функцию точки, записы-

вать u(M ) .

Для графического изо ражения функции n

переменных

u = u(x1, x2 , , xn )

нео ход мо вводить систему координат с (п+1)

осями. Так е граф

А

построить невозможно при n ≥ 3.

Определ м

основные понятия раздела «Дифференциальное

сч слен е функц

нескольких переменных».

Л н ей уровнябфункц и двух переменных z = f (x, y)

называется

множество точек

з области определения функции D , удовлетворяю-

щ х равенству f (x, y) = const . Графиком линии уровня функции двух

менных – это кривые с уравнениями

4 − x2 − y2

= С, С ≥ 0. Возведем

в квадрат обе части этого

уравнения, получим уравнения вида

x2 + y2 = 4 − С2 , причем 0 ≤ С ≤ 2. Получили, что линии уровня С –

это окружности радиусом 0 ≤

4 − С2

≤ 2 с центром в начале коорди-

нат (рис. 5).

И

Рис. 5

По виду линий уровня можно получить представление о виде гра-

фика поверхности z = f (x, y)

аналогично тому, как мы получаем ин-

Д

формацию о поверхности исследуемой местности по геодезическим кар-

там. Понятие линии уровня широко используется, прежде всего, в геоде-

зии, картографии, при составлении синоптических карт, а также при опи-

сании различных физических полей (температура, давление и пр.).

Еще одн м пр емомА, который часто используют при построе-

н ях поверхностей, является метод сечений. Этим методом мы стро-

м поверхность, сследуя ее сечения, параллельные координатным

плоскостям.

б

=25. Это эллипс с каноническим уравнением

x2

+

y2

= 1.

1

25

По виду сечений строим поверхность z = (5x)² + y². Эта поверх-

И

ность называется эллиптическим параболоидом (рис. 6).

Рис. 6

Д

б

1

1

2. Построить график функции z =

1+ x

2

+

1+ y

2

.

Решение. Если найти сечение поверхности плоскостями, парал-

лельными плоскостям Оzx, Ozy, то получим кривые вида z =

1

+ c

и

1+ x2

и z =

1

+ с ,

зо раженные на рис. 7.

1

+ y

А

С

Рис. 7

1

При x=a, или y=a, получаем, что

c =

.

1+ a2

Оxy, то в зависимости от того, чему равно z, сечение может принять

разный график. Если z ≤ 1, то ветви кривой не соединяются на осях,

т.г. имеют разрывы по осям координат (рис. 8, а), если z > 1 – ветви

кривой соединяются на пересечении с осями Оx и Оy, т.е. кривая не-

прерывна (рис. 8, б):

И

Д

а

А

б

Рис. 8

б

1

1

Нарисовав сечения, строим поверхность z

= 1+ x2

+ 1+ y2 (рис. 9).

и

С

Рис. 9