РАЗДЕЛ 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§17. Основные понятия

И

F(x)

F'(x) = f (x)

А

Интегрирование

Рис. 18

Исток

б

нтегрального исчисления относятся к античному пе-

р оду разв т я

ки и связаны с методом исчерпывания, раз-

работанным

Древней Греции. Этот метод возник при

интеграла

будет

f (x) и сущест-

Пусть на некотором интервале задана функция

вует такая функция F(x), что ее производнаяДна этом интервале рав-

няется данной функции

f (x):

F'(x) = f (x). В таком случае функция

Возникает

F(x) называется

первоо разной для функции f (x).

Так,

например,

первоо разной

функцией

для

функции

f (x) = 3x2

на

(−∞; + ∞) Аявляется функция F(x) = x3 ,

так как

F'(x) = (x3 )'= 3x2

= f (x). Для функции f (x) = cos x

первообразной

С

F(x) = sin x ,

F'(x) = (sin x)'= cos x = f (x).

на (−∞; + ∞)

так как

1

Для функц

f

(x) = 1− x2

на

интервале (−1; +1)

первообразной

−1, если − 2 ≤ х < 0;

f (x) =

+1, если 0 ≤ х ≤ 2.

И

Имеет ли она первообразную?

Решение. Функция f (x) задана на отрезке [− 2, 2] и первообраз-

зать теорему.

Теорема.

Всякая непрерывная на данном интервале функция

вообразную

имеет на нем пе

функцию.

Теперь ответим на следующий вопросД: если данная функция

имеет первоо разную, то является ли первообразная единственной?

Ответ и на этот вопрос отрицательный.

Если

А2

Пр мер.

Для функц

f (x) = 3x

можно указать несколько первообраз-

ных: F (x) = x3 ;

F (x)

= x3 +1; F (x) = x3 − 7;

F (x) = x3 + C , где

1

2

3

4

C R – про

звольно.

Итак,

операц я отыскания первообразной для данной функции

является многозначной операцией (там, где она выполнима).

F(x)

– первообразная для f (x), то и всякая функция вида

F(x) + C , где C R , является первообразной для

f (x):

(F(x) + C)'= F'(x) + C'= F'(x) = f (x) .

Означает ли это, что формула F(x) + C дает все первообразные

Сдля f (x)?

F1

x +1, если −1 ≤ х < 0;

(x) =

x, если 0 ≤ х ≤ 1;

x, если −1≤ х < 0;

СибАДИ

F2

(x) =

x + 2, если 0 ≤ х ≤1.

Они обе являются первообразными для функции

f (x) =1, одна-

ко их разность не является постоянной:

1,если −1 ≤ x ≤ 0;

F1( x ) − F2( x ) =

− 2,если 0 ≤ x ≤ 1.

Однако справедлива следующая теорема.

Теорема. Есл

функция

f (x) имеет на одном промежутке пер-

вообразную F(x) ,

то любая ее первообразная на этом промежутке

может быть получена при некотором значении

C = C0 из формулы

F(x) + C .

Доказательство. По условию на рассматриваемом промежутке

функция f (x)

имеет первоо разную F(x). Пусть Ф(x) − еще одна

первообразная

f (x).

Найдем производную

от

их

разности

y = Ф(x) − F(x) :

y'= (Ф(x) − F(x))'= Ф'(x) − F'(x) = f (x) − f (x) = 0.

По пр знаку постоянства функции отсюда следует,

что y = C ,

y(x2 ) − y(x1 ) = y'(x) (x2 − x1 ),

И

где

x (x1, x2 ),

т. е. x D.

По условию,

y'(x) = 0 , т.к. производная в любой точке интерва-

ла D равна нулю.

Тогда y(x2 ) = y(x1 ). Поскольку точки x1, x2 D

произвольны, мы доказали, что значения функции во всех точках

промежутка одинаковы, то есть функция постоянна:

y(x) = C на D.

Неопределенным интегралом

Д

называется

от функции y = f (x)

совокупность всех ее первоо разных и обозначается с помощью сим-

вола ∫ f(x)dx (

: «неопределенный интеграл от

эф от икс

дэ

кс»).

А

С мвол ∫

называется знаком неопределенного интеграла; сим-

вол

f(x)dx – подынтегральным выражением; f(x) – подынтегральной

функц ей; х – переменной нтегрирования.

б

Из определен я неопределенного интеграла и из доказанной

теоремы мы можем для данного промежутка написать формулу

читается ∫ f(x)dx = F(x) + C ,

(36)

где

F(x) – любая из первообразных функций для

f (x); С – произ-

вольная постоянная.

Итак, чтобы найти неопределенный интеграл от данной функ-

Сции f (x), нужно найти какую-либо ее первообразную F(x) и соста-

∫

dx

= arcsin x + C .

И

1 − x2

Д

Для проверки правильности вычисления неопределенного инте-

грала необходимо продифференцировать результат. олжна полу-

читься подынтегральная функция

(∫ f(x)dx)' = (F(x) + C)' = f(x).

б

Отыскание функции по ее производной или, что то же самое,

вычисление неопределенного интеграла данной функции называется

интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Д фференц ал от неопределенногоАинтеграла равен подынте-

гральному выражен ю

С

d(∫ f(x)dx)= f(x)dx .

Действ тельно,

иd( f(x)dx)=

(

f(x)dx)'dx = (F(x) + C)'dx = f(x)dx.

∫

∫

б

∫ Af(x)dx = A∫ f(x)dx.

Если

Действительно,

С

(A∫ f (x)dx)'= A(∫ f (x)dx)'= Af (x).

5.

∫ f (x)dx = F(x) + C; u = u(x)

– дифференцируемая

Решения.

1. ∫ (3x2 + 4sin x)dx =∫3x2dx + ∫ 4sin xdx = 3∫ x2dx +

x3

И

+ 4∫sin xdx = 3

− 4 cos x + C = x3 − 4cos x + C (использованы свой-

ства 3, 4).

3

2. По свойству 5 получим новые интегралы на основании инте-

∫

x

Д

грала ∫3x2dx

= x3

+ C :

а) пусть u(x) = sin x , получаем

∫3sin2 x d sin x = ∫3sin2 x cos x d x = sin3 x + C ;

б) пусть u(x) = ln x , получаем

б

3ln

2

x d ln x

=

∫3ln2

x

d x = ln

3

x + C ;

в) пусть u(x) = x

4

+ 7 , получаем

таблицу

2

3(x

4

+ 7)

2

d(x

4

3

4

= (x

4

+ 7)

3

+ C

∫

∫

так далее.

С

§19. Табл ца основных интегралов

целью облегчения вычисления неопределенных интегралов

составляют

простейших интегралов. Строгого критерия, ка-

1.

∫0dx = C .

Таблица интегралов

2.

∫1dx = ∫dx = x + C .

3.

∫ x

n

dx

=

xn+1

+ C,

n

≠ −1.

n +1

И

4. ∫ dx

= ln

x

+ C, x ≠ 0.

x

ax

5.

∫ax dx =

+ C, a > 0, a ≠1;

ln a

∫ex dx = ex

+ C .

6.

∫cos xdx = sin x + C .

7.

∫sin xdx = −cos x + C .

8.

∫

dx

= tgx + C .

cos2 x

9.

∫

dx

= −ctgx + C .

2

x

sin

10.

dx

=

1 arctg

x

+ C = −

1 arcctg

x

+ C,

a ≠ 0 .

∫ x

2 + a2

a

a

a

Дa

11. ∫

dx

1

x − a

+ C,

a ≠ 0, x ≠ ±a .

=

ln

x

2

2

2a

x + a

− a

и

12.

dx

= arcsin

x

+ C = −arccos

x

+ C,

x

< a, a ≠ 0 .

∫

a2 − x2

Аa a

dx

13.

∫

= ln

x +

x

2

+ a

+ C,

a ≠ 0, x ≠ ± − a .

x2

+ a

ы получаются непосредственно из таблицы

С

Формулы 1аблц−9 т

про зводных простым обращением соответствующих формул. На-

пример, зная формулу

(x)′ = 1, получаем интеграл ∫1dx = ∫dx = x + C ;

из формулы (ln x)′ = 1x

получаем ∫ dxx = ln

x

+ C,

x ≠ 0 и т.д.

1

1

1

1. ∫(

− 3

+ 22x )dx = ∫(x2 − 3

x3 + 4x )dx = ∫ x2 dx −

x

7x

7

1

− 3

∫ x3 d x + ∫4x d x =

7

x3

2

x

43

4x

2

33

4x

7

=

−

3 7

+

+ C

=

x x −

x3

x

+

+ C.

3

2

4

3

ln4

3

4

ln4

x3

− 3x + x2x

−1

2

x

1

2

2.

∫

dx =

∫

(x

−

3 + 2

−

)dx

=

∫

xИdx − 3 dx +

x

x

∫

+ ∫ 2x d x − ∫ 1 d x

=

x3

− 3x +

2x

− ln

x

+ C.

x

3

ln2

Д

dx

sin2 x + cos

2 x

1

1

3. ∫

= ∫

2

2

dx =

∫

+