Ссылки на видео внутри текста кликабельны

Введение

Раздел математического анализа «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» («Многомерный анализ», «Многомерное или многовариантное исчисление») является продолжением раздела

«Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной» и служит фундаментом при изучении последующихИчастей мате-

матического анализа, таких как «Кратные интегралы», «Численные методы», «Уравнения математической физики» и др.

«Интегральное исчисление» – раздел математики, в котором изуча-

ются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. нте-

вместе с которым оно составляет основнуюДчасть математического анализа (или анализа есконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики.

гральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых).

Оформление дифференциального исчисления в самостоятельную ма-

ференциального исчисления и обосновали взаимно обратный характер опе-

тематическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина XVII в.). ОниАсформулировали основные положения диф-

раций дифференцирования и интегрирования. С этого времени дифференци-

альное исчисление развивается в тесной связи синтегральным исчислением,

Древней Грец . Однако разра отанные античными математиками методы были пр мен мы л шь в весьма частных случаях.

Некоторые задачи раздела «Дифференциальное исчисление функции Снескольк х п ременных» могут найти непосредственное применение на практ ке, напр мер по ск экстремума функции нескольких переменных, интерпол рован е функц й по методу наименьших квадратов и интерпо-

Отдельные задачибдифференциального исчисления – задачи определенияВозникновениекасательных к кривым и о нахождении максимальных и минимальных значен й переменных величин – ыли решены ещё математиками

лирование сплайнами, вариационное исчисление и т. д.

задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объёмов. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл метод исчерпывания, созданный Евдоксом Книдским и широко применявшийся Архимедом. Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приёмов и понятия об интеграле.

3

Лишь в XVI и XVII вв. развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и определение центров тяжести. Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 г. (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важней-

ших отправных пунктов дальнейшего развития интегрального исчисления. Античный метод «неделимых» был возрожден И. КеплеромИ. В более об-

щей форме идеи этого метода были развиты Б. Кавальери, Э. Торричелли, Дж. Валлисом, Б. Паскалем. Методом «неделимых» был решен ряд геометрических и механических задач. К этому же времени относятся опубликованные позднее работы П. Ферма по квадрированию парабол n-й степени, а затем работы Х. Гюйгенса по спрямлению кривых.

В итоге этих исследований выявилась общность приёмов интегрирования при решении внешне несходных задач геометрии и механики, приводившихся к квадратурам как к геометрическому эквиваленту определённого интеграла. Заключительным звеном в цепи открытий этого периода было установление взаимноАобратной связи между задачами на

проведение касательной и на квадратуры, т. е. между дифференцированием и интегрированием. Основные понятия и алгоритм интегрального

каждом разделе представлены необходимый теоретический материал, вопросы и задания для самопроверки. Изложение теоретического материала сопровождается большим числом примеров решения задач по изучаемым темам. Проведены задачи для самостоятельного решения.

Необходимый теоретический материал приводится в приложениях.

4