Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2042

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

2.75 Mб

Скачать

☆

1 / 221 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

И.В.Бабичева, В.Ф.Гавловская, А.И. Исакова

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

Курс лекций

Омск - 2009

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная

академия (СибАДИ)»

И.В.Бабичева, В.Ф.Гавловская, А.И Исакова

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

Курс лекций

Омск

СибАДИ

2009

УДК 519.1:519.7:512.5:510.63 ББК 22.174

Б 12

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук И.В. Ашаев (ОмГУ, кафедра «Математическая логика и логическое программирование»);

канд. тех. наук , доц. Л.А.Олюнина (ОмГУПС, кафедра «Экономика железнодорожного транспорта и управление

качеством»)

Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве курса лекций для инженерных специальностей вузов.

Бабичева И.В., Гавловская В.Ф., Исакова А.И.

Б 12 Дискретная математика: курс лекций. – Омск: СибАДИ, 2009. – 204 с.

ISBN 978 – 5 – 93204 – 476 – 6

Рассмотрены вопросы пяти разделов, изучаемых в курсе дискретной математики: теории множеств и отношений, комбинаторики, теории графов, математической логики и математической кибернетики. Изложены основные теоретические сведения и приведены многочисленные примеры решения задач по всем разделам. Приведены контрольные вопросы и упражнения по каждой лекции, варианты заданий для выполнения расчетно-графических работ по каждому разделу. В приложении приводится курс дискретной математики в формулах таблицах и рисунках.

Для студентов технических вузов, изучающих дискретную математику. Представляет интерес для преподавателей и аспирантов.

Табл. 25 . Ил. 70 . Библиогр.: 15 назв.

ISBN 978 – 5 – 93204 – 476 – 6

ГОУ «СибАДИ» , 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . .	6
Раздел 1. Множества. Свойства и операции над ними. .	. . . . . . . . . . . . . .	7
Лекция 1.1. Множества и операции над ними . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . .	7
Основные понятия теории множеств (7). Операции над множествами (8)
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . .	11
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . .	12
Лекция 1.2. Отношения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . .	14
Кортежи и декартово произведение множеств	(14). Бинарные
отношения(15). Свойства бинарных отношений (16).Операции над
бинарными отношениями (16).
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . .	18
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . .	19
Лекция 1.3. Соответствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . .	20
Соответствия и их свойства (20) Функции и отображения (22). Операции
(23). Способы задания операций (24). Алгебраические структуры (26)
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . .	29
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . .	30
Расчетно-графическая работа по разделу «Множества и отношения»		31

Раздел 2. Элементы комбинаторного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43
Лекция 2.1. Основные правила и формулы комбинаторики . . . . . . . . .	43
Основные правила комбинаторики (43). Основные формулы
комбинаторики (46). Бином Ньютона (50).
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	52
Упражнения. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	53
Расчетно-графическая работа «Элементы комбинаторного
анализа» . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	53

Раздел 3. Графы и сети . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Лекция 3.1. Основные понятия и определения . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Историческая справка (59). Элементы графа (61).		Ориентированные и
неориентированные графы (62).	Маршруты,	цепи, циклы (63).
Достижимость и связность (64). Способы задания графов (65). Операции
над графами (67).
Контрольные вопросы . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Лекция 3.2. Виды и типы графов. . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Деревья и леса (70). Полные	графы (72). Планарные графы (73)
Эйлеровы и гамильтоновы графы (75).
Контрольные вопросы . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Упражнения . . . .. . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .. . . . . . . . . . . . . 78
Лекция 3.3. Сетевые задачи . .	. . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Разновидности сетевых задач (80). Построение и расчет сетевого графика

(84).

Контрольные вопросы . . . .			. . . . . . . . . . .	. . . . .	. . . . . . . . . . . . . .	. . . . . .	92
Упражнения .. . .		. . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . .	. . . .	. . . . . . . . . . . . . .	. . . . . .	93
Расчетно-графическая работа по разделу «Графы и сети» . . . .						. . . . . .	94
Раздел 4. Элементы математической логики . . . .					. . . . . . . . . . . . . .	. . . . . .	107
Лекция 4.1. Основные понятия математической логики . . . . . .						. . . . .	107
Историческая справка (107). Высказывания (108). Основные операции над
высказываниями (109). Формулы алгебры высказываний (112).
Контрольные вопросы . . . .			. . . . . . . . . . . .	. . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	115
Упражнения . . . .		. . . . . . . . .	. . . . . . . . . . .	. . . . .	. . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	115
Лекция 4.2. Булева алгебра.			. . . . . . . . . . . .	. . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	117
Логические	функции	(117).	Эквивалентные		преобразования	(119).
Основные равносильности (118). Булевы алгебры (122).
Контрольные вопросы . .. . .			. . . . . . . . . . . .	. . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	123
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .							124
Лекция 4.3. Представление булевых функций нормальными
формами. . . .	. . . . . . . . .	. . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . .	. . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	125
Нормальные	формы	(125).	Отыскание	совершенных форм		(126).
Минимизация булевых функций (130).
Контрольные вопросы. . . . .			. . . . . . . . . . . .	. . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	131
Упражнения. . . . ..		. . . . . . . .	. . . . . . . . . . . .	. .. .	. . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	131
Лекция 4.4. Применение булевых функций к релейно-контактным
схемам . . . . . .	. . . . . . . .	. . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . .	. . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	132
Основные задачи теории релейно-контактных схем (132).						Анализ
релейно-контактных схем (131).			Синтез релейно-контактных схем (137).
Схемы функциональных элементов (139).
Контрольные вопросы . . . .			. . . . . . . . . . . . .	. . .	. . . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	140
Упражнения . . . .		. . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . .	. . . .	. . . . . . . . .. . . . . . . . . .		141
Лекция 4.5. Логика предикатов . . . . . . . . .				. . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	142
Предикаты и кванторы (142).			Формулы	логики предикатов		(146).
Равносильные преобразования			формул (148).		Применение	логики
предикатов к логико-математической практике (149).
Контрольные вопросы . . . .			. . . . . . . . . . . . .	. . .	. . . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	152
Упражнения . . . .		. . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . .	. . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . .		152
Расчетно-графическая работа «Элементы математической логики» . .							153

Раздел 5. Математическая кибернетика . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 163

Лекция 5.1. Введение в теорию автоматов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Языки и грамматики (163). Определение конечного автомата (165). Способы задания автоматов (169). Типы конечных автоматов (172)

Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Лекция 5.2. Введение в теорию алгоритмов . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 178

Понятие алгоритма (178). Рекурсивные функции (181). Простейшие (базисные функции) (181) Операторы (182)Машины Тьюринга (185)

Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Расчетно-графическая работа по разделу «Математическая кибернетика» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Приложение. Дискретная математика в формулах, таблицах,

рисунках . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Раздел 1. Множества и отношения (194). Раздел 2. Элементы комбинаторного анализа (196). Раздел 3. Элементы теории графов (197). Раздел 4. Элементы математической логики (201).

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

ВВЕДЕНИЕ

Дискретная математика – это часть математики,

занимающаяся изучением свойств структур дискретного характера, которые возникают как в самой математике, так и в ее приложениях.

Дискретная математика предлагает универсальные средства формализованного представления, способы корректной переработки информации, представленной на этих языках, а также возможности и условия перехода с одного языка описания явлений на другой с сохранением содержательной ценности моделей. Формальные языки дискретной математики позволяют создавать математические модели логических устройств, используемых в современных автоматизированных системах.

Содержание предлагаемого пособия представляет собой конспект лекций курса по дискретной математике. Основная цель курса – познакомить будущих инженеров с основными методологическими подходами, моделями и методами формализованного представления, отработать на специально подобранных примерах базовые понятия дискретной математики. Их усвоение снимает трудности вхождения в такие обязательные дисциплины государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования второго поколения , как «Системный анализ в управлении», «Теория принятия решений».

Предлагаемый курс лекций «Дискретная математика» включает в себя пять разделов: множества и отношения, элементы комбинаторики, элементы теории графов, элементы математической логики и математическую кибернетику. В каждом разделе перед заданиями для самостоятельной работы приводятся основные теоретические положения и рассматриваются примеры решений и доказательств. Решение предлагаемых логических задач, описанных с помощью формального языка дискретной математики, позволит развить в дальнейшем способности к логическому мышлению в любой прикладной области. В приложении приводится курс дискретной математики в формулах, таблицах и рисунках.

Пособие рекомендовано для студентов технических вузов, изучающих дискретную математику, аспирантов и преподавателей.

Раздел 1. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ

Лекция 1.1. Множества. Свойства и операции над ними

Основные понятия теории множеств. Операции над множествами.

Основные понятия теории множеств

Множеством М называется объединение в единое целое определенных различимых объектов a , которые называются элементами множества: a Μ .

Множество можно описать, указав какое-либо свойство, присущее всем элементам этого множества.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается .

Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Венна (или диаграммой Венна).

Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, можно рассматривать как элементы соответствующих множеств. В построенной диаграмме можно заштриховать определенные области

для обозначения полученных множеств.
Если элементы множества				А
являются	также		элементами		А
множества В, то говорят, что					В
множество		А	включается
(содержится)		в	множестве	В	Рис. 1.1
(рис. 1.1).	А В ,		то множество А		называется подмножеством
Если
множества В,		а если при этом		А В,	то множество А называется

собственным подмножеством множества В и обозначается А В .

Для трех множеств А, В, C справедливы следующие соотношения:

АВ В C А C ;

АВ В C А C .

Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением: А В А В В А. Здесь знак обозначает конъюнкцию (логическое «и»).

Операции над множествами

А	В
А
	Рис. 1.2

Рис. 1.3

Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В (рис. 1.2).

Обозначение: С А В .

Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В (рис. 1.3).

Обозначение: С= A B .

Для множеств A,B,C справедливы следующие свойства:

A A A A A;	A B B A;		A B B A;
A B C A B C ;		A B C A B C ;
A B C A B A C ;		A B C A B A C ;
A A B A;		A A B A;
	A A;	A .

Рис. 1.4

Рис.1.5

В	Разностью множеств А и В называется
	Разностью множеств А и В называется
	множество, состоящее из элементов множества
	А, не принадлежащих множеству В (рис. 1.4).
	Обозначение: C A\B .

Симметрической разностью множеств

А и В называется множество С, элементы

Вкоторого принадлежат в точности одному из множеств А или B (рис.1.5).

Обозначение: A B .

A B A\B B\A .

CE	называется		дополнением		А
множества А относительно множества Е,
						Е
если А Е и CE E\A (рис. 1.6).

					Рис. 1.6
Для множеств		A,B	и С справедливы
следующие соотношения:					A\ A\B A B ;
	A\B A;		A\A ;
	A B B A;			A B A B \ A B ;
	A\ B C A\B A\C ;			A\ B C A\B A\C ;
	A B \C A\C B\C ;			A B \C A\C B\C ;
	A\ B\C A\B A C ;				A\B \C A\ B C ;
A B C A B C ;				A B C A B		A C ;
A CE A E ;		A CE A ; CE E ;			CE E ; CECE A A;
	CE A B CE A CE B;			CE A B CE A CE B.
Множество		U	называется	универсальным,		если все

рассматриваемые множества являются его подмножествами, т.е. если
A U ; B U ; C U , то U A,B,C .
Дополнение	к множеству А в универсальном множестве U
обозначается A .	Пусть U a,b,c,d,e ;	A a,b ;	C b,c,d,e .
П р и м е р .

Проиллюстрировать с помощью диаграммы Венна справедливость
соотношения	A B C A B A C	(свойство

дистрибутивности операции пересечения относительно объединения ).

Решен и е .

1.B C a,c,d b,c,d,e a,b,c,d,e .

2.Левая часть равенства A B C a,b a,b,c,d,e a,b .

3. Найдем A B и A C в правой части равенства:

A B a,b a,c,d a ; A C a,b b,c,d,e b .

4.Правая часть равенства A B A C a b a,b .

5.Для иллюстрации доказательства построим диаграммы Венна для множеств В С (рис. 1.7), А (В С) (рис.1. 8), А В (рис. 1.9),

АС (рис.1. 10), (А В) (А С) (рис. 1.11).

1 / 221 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20212.73 Mб532038.pdf
#
07.01.20212.73 Mб142039.pdf
#
07.01.2021346.88 Кб2204.pdf
#
07.01.20212.73 Mб12040.pdf
#
07.01.20212.74 Mб32041.pdf
#
07.01.20212.75 Mб362042.pdf
#
07.01.20212.75 Mб232043.pdf
#
07.01.20212.76 Mб32044.pdf
#
07.01.20212.77 Mб12045.pdf
#
07.01.20212.77 Mб22046.pdf
#
07.01.20212.77 Mб32047.pdf