2042

4. Для неориентированного графа, изображенного на рисунке, постройте матрицу смежности и матрицу инцидентности. Укажите степени вершин графа. Выделите в графе циклы, содержащие 4 ребра, 6 ребер, 10 ребер.

5. Выясните тип связи для орграфа, представленного на рисунке.

которого данная матрица является матрицей смежности. Найдите матрицу инцидентности орграфа.

7.Нагруженный граф,

Лекция 3.2. Виды и типы графов

Деревья и леса. Полные графы. Планарные графы. Эйлеровы и

гамильтоновы графы.

К видам графов следует отнести ориентированные и

единственная соединяющая их цепь, причем простая.

Несвязный граф, состоящий исключительно из деревьев, называется лесом.

Ориентированным деревом называется орграф,

удовлетворяющий условиям:

–граф слабо связный;

–в графе имеется ровно одна вершина, называемая корнем

дерева, в которую не заходит ни одна дуга;

– в каждую из остальных вершин заходит ровно одна дуга .

Из определения ордерева следует, что оно не имеет контуров, а также кратных дуг и петель. В каждую вершину из корня ведет только одна цепь, причем простая.

Остовным деревом связного графа называется любой его подграф, содержащий все вершины графа и являющийся деревом.

Чтобы из связного графа получить остовное дерево, надо удалить из него несколько ребер так, чтобы в нем не осталось циклов.

Цикломатическим числом графа называется количество ребер, которые надо из него удалить, чтобы получить остовное дерево.

Теорема. Число вершин дерева на единицу превышает число его ребер. Пусть n – число вершин дерева, m – число ребер, тогда n=m+1.

Следствие. Цикломатическое число v(G) m n 1.

Цикломатическое число имеет физический смысл. Например, при расчете электрических цепей v(G) используется для определения

числа независимых контуров.

Деревья находят обширное применение при изображении управленческих структур, структур информационных объектов. В приложениях часто возникает задача о построении минимального

вдоль железнодорожной сети так, чтобы все пункты v1,v2,...,vn были

связаны между собой телеграфной сетью и общая продолжительность линий телеграфной сети была наименьшей.

Для нахождения минимального остовного дерева может быть использован алгоритм Прима.

Шаг 1. Выбираем в графе ребро минимального веса вместе с инцидентными ему вершинами (если таких ребер несколько, то выбираем любое из них). Полученное дерево обозначим через Т.

Шаг 2. Если в графе нет вершин, не принадлежащих Т, то задача решена и Т – искомое минимальное остовное дерево графа. В противном случае переходим к шагу 3.

Шаг 3. Добавляем к дереву Т ребро минимального веса из всех ребер, не принадлежащих Т и инцидентных какой-нибудь его вершине и вторая вершина которых не принадлежит дереву Т. Переходим к шагу 2.

На рис. 3.12 приведена последовательность графов, полученных в результате применения алгоритма Прима к нагруженному графу G1 .

2

14

соединены одним и только одним ребром.

Такой граф обозначают Кn . Если граф не имеет ребер, то граф называют нуль-графом и обозначают К0 .

Замечание. Если граф G(V,Е) не является полным, его можно преобразовать в полный граф, добавив к нему недостающие ребра.

Пример.

На рис. 3.13 приведен неполный граф, на рис. 3.14 – его дополнение до полного графа.

Полный двудольный граф обозначают Кm,n , где m – число

вершин в V1; n – число вершин в V2 .

На рис. 3.15 приведены примеры полных графов.

Рис. 3.15

Планарные графы

Граф G(V ,E) плоский, если его можно изобразить на плоскости

так, что все пересечения его ребер являются вершинами графа. Граф планарный, если он изоморфен плоскому графу.

Пример. На рис. 3.16 изображен граф, являющийся одновременно полным, планарным и связным, а рядом – его плоское изображение.

Рис. 3.16

На практике иногда бывает чрезвычайно важно выяснить возможность плоского изображения графа. Например, при изготовлении микросхем необходимо выяснить, можно ли схему электронного устройства, которая представляет собой граф, изобразить на плоскости без пересечений проводников. Аналогичная задача возникает при проектировании одноуровневой дорожной сети

с наименьшим числом перекрестков, при проектировании железнодорожных путей, где нежелательны переезды.

Имеется несколько критериев планарности и найдены эффективные алгоритмы, осуществляющие укладку планарного графа.

Будем говорить, что граф G получен из графа G стягиванием ребра e , если граф G получен из графа G в результате отождествления вершин, связанных с этим ребром.

Критерий планарности Понтрягина–Куратовского. Граф

Эквивалентная форма критерия дается через понятие гомеоморфизма графов.

Два графа называются гомеоморфными, если они оба могут быть получены из одного и того же графа разбиением его ребер.

Пример. На рис. 3.18 изображены исходный граф G и два гомеоморфных ему графа G1 и G2 .

Рис. 3.18

ТеоремаG . Граф планарен тогда и только тогда, когда не содержит подграфов, гомеоморфных графам K5 и K3,3 .

Изображение плоского графа на плоскости без пересечений дуг разбивает плоскость на области. Такое разбиение называется картой плоского графа. Минимальное число цветов, необходимых для раскрашивания карты так, чтобы каждая область была раскрашена в один цвет, отличающийся от цвета граничащей с ней области,

называется хроматическим числом плоского графа.

К проблеме правильной раскраски плоских графов сводятся задачи раскраски географических карт, составления расписаний, распределения оборудования, проектирования некоторых технических изделий.

Предположим, имеется географическая карта, которую необходимо раскрасить так, чтобы любые два соседние государства были окрашены в разные цвета. Для решения задачи строится граф, вершинам которого биективно соответствуют точки внутри страны. Две вершины соединены ребром, если соответствующие страны имеют общую границу. Ребра проводим так, чтобы они не пересекались, т.е. чтобы полученный граф был плоским. Ясно, что правильная раскраска графа определяет правильную раскраску карты

инаоборот.

В1879 г. английский математик Кэли четко сформулировал гипотезу четырех красок: для раскраски любого планарного графа

достаточно четырех красок.

Эйлеровы и гамильтоновы графы

К задачам на эйлеровы графы относятся головоломки, в которых требуется вычертить на плоскости одним росчерком замкнутые кривые, обводя каждый участок в точности один раз.

Эйлеровым путем (циклом ) в графе G(V,Е) называется путь

(цикл), содержащий по одному разу все ребра графа .

Эйлеровым графом называется граф, содержащий эйлеров путь (цикл). Рисунок графа, обладающего эйлеровым путем или циклом,

называется уникурсальной линией.

Пример. Граф, изображенный на рис. 3.19 содержит уникурсальную линию, а именно эйлеров путь. Линия обхода начинается с вершины А и показана стрелками.

АРис. 3.19

Теорема ( критерий существования эйлерова цикла). Для того,

чтобы связный граф содержал эйлеров цикл, необходимо и достаточно, чтобы все его вершины имели четную степень.

Теорема (критерий существования эйлерова пути). Для того,

чтобы связный граф G обладал эйлеровым путем, необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно две вершины нечетной степени.

Гамильтоновым путем (циклом) в графе G(V,Е) называется путь, содержащий все вершины графа только один раз.

Граф, обладающий гамильтоновым циклом (путем), называется

гамильтоновым.

Пример. Исследовать графы, представленные в табл. 3.3, на наличие эйлерова и гамильтонова циклов.

Есть эйлеров цикл, но нет

гамильтонова цикла

Есть гамильтонов, но нет эйлерова

цикла

Нет ни эйлерова, ни гамильтонова

цикла

Задача о поиске гамильтоновых путей возникла в процессе решения задачи о коммивояжере.

Задача о коммивояжере (посыльном). Имеется k городов,

расстояния между которыми известны. Коммивояжер отправляется в путь из одного из них с тем, чтобы посетить все остальные (k–1)

города ровно по одному разу каждый и вернуться в исходный город. Требуется найти кратчайший путь.

Из сказанного следует, что задача о коммивояжере – задача об отыскании кратчайшего гамильтонова пути на графе. Решить эту задачу в принципе просто, так как число возможных маршрутов конечно, но организовать полный перебор всех без исключения маршрутов, вычислить их длины и выбрать самый короткий – работа, требующая огромных вычислений.

Следует особо заметить, что в задаче о движении между городами по умолчанию предполагалось, что расстояние от города А до города В равно обратному расстоянию. Однако это не всегда так. Возможно, что некоторые улицы имеют только одностороннее движение, что нарушает условие |AB|=|BA|. В этом случае следует рассматривать ориентированный граф. Решение задачи на графе, содержащем ориентированные ребра, более сложное. Однако перебор маршрутов иногда бывает полезен. Удалось создать метод решения данной задачи – метод ветвей и границ, в соответствии с которым шаг за шагом строится не полное, а усеченное граф-дерево. В процессе его

Контрольные вопросы

1.Дайте определение неориентированного и ориентированного дерева.

2.Что такое остовное дерево?

3.Что такое цикломатическое число и как оно определяется?

4.Что называется плоским графом, планарным графом?

5.Какие графы называются гомеоморфными?

6.Как можно проверить, является ли граф планарным?

7.Дайте определение раскраски графа и его хроматического числа.

8.Дайте определение эйлерова графа.

9.Сформулируйте критерии сушествования эйлерова графа.

10.Какой граф называется гамильтоновым?

Упражнения

1.Изобразите графически ориентированные и неориентированные ребра, петлю графа, неориентированный и ориентированный мультиграф.

2.Нарисуйте полный граф с двумя, тремя, пятью вершинами.

3.Выделите в графе циклы, содержащие 4 ребра, 6 ребер, 10 ребер.

5.Постройте связный граф с шестью вершинами, каждое ребро которого – мост.

6. Докажите, что в полном графе с n вершинами n(n 1) ребер. 2