2042

Рис. 3.1

В 1736 г. Леонард Эйлер (известный математик и механик,

швейцарец по происхождению, с 1727 г. живший в России)

опубликовал решение задачи, в ходе решения которой был

сформулирован критерий существования обхода всех ребер графа

без повторений. Это был один из первых результатов в теории

графов.

2. Задача о трех домах и трех колодцах (сформулирована польским математиком К. Куратовским в 1930 г.).

На хуторе три дома и три колодца. Требуется провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались (рис. 3.2).

Рис. 3.2

3. Задача о четырех красках (возникла в середине XIX в.).

Первоначально вопрос формулировался так: какое минимальное количество красок необходимо для раскраски географической карты, при которой любые две соседние страны должны быть окрашены в разные цвета?

Проблема четырех красок вначале также выглядела как развлекательная задача, но в результате попыток ее решения в области теории графов были получены результаты, имеющие теоретическое и прикладное значение, например, при построении схем электрических цепей и молекулярных схем. В 1847 г. Г.Кирхгоф применил теорию графов к теории электрических цепей. В 1857 г. А.Кэли разработал теорию деревьев и применил ее к теории химических изомеров.

Термин «граф» введен в употребление венгерским математиком Д. Кенингом в 1936 г. В XX в. связанные с графами задачи стали возникать не только в физике, химии, электротехнике, но и в биологии, экономике, социологии, психологии. Теория графов находит применение при планировании (сетевое планирование), при решении транспортных задач, задач о потоках в сети нефтепроводов.

вида (vi ,vj ).

Графу соответствует геометрическая конфигурация. Вершины обозначаются точками (кружочками), а ребра – линиями, соединяющими соответствующие вершины.

Замечание. При изображении графов на рисунках или схемах ребра могут быть прямолинейными или криволинейными, длины ребер и расположение произвольны.

Если е vi ,vj – ребро графа, то вершина vi и ребро е

инцидентны. Вершина v j и ребро е также инцидентны.

Вершины, инцидентные одному ребру, – смежные. Два ребра смежные, если инцидентны одной вершине. Число вершин графа называется его порядком.

Число ребер графа, инцидентных данной вершине vi , называется

вершины vi и v j , определяющие дугу еk , – концевые вершины. Если

концевые вершины совпадают, то дугу е (vi ,vi ) называют петлей.

Дуги с одинаковыми концевыми вершинами называются параллельными. Граф, содержащий хотя бы две параллельные дуги (ребра), называется мультиграфом; граф, содержащий петли, –

псевдографом.

Ориентированные и неориентированные графы

Для многих задач важно, соединены вершины графа направленной линией или нет. К примеру, сеть автомобильных дорог на карте представляет собой граф, вершинами которого являются населенные пункты, а ребрами – участки дороги, соединяющие соседние пункты. На языке дорожной карты дуги являются участками дорог с односторонним движением.

Граф, который содержит только ребра, называется

неориентированным графом, только дуги – ориентированным графом (орграфом).

Степень входа вершины v орграфа – число входящих в вершину

Рис. 3.5

Замечание. Для изоморфных орграфов ориентация дуг должна быть одинаковой.

Маршруты, цепи, циклы

На языке дорожной карты маршрут задается указанием начального и конечного пунктов (отправления и назначения), промежуточных пунктов в порядке их следования и указанием дорог следования из одного соседнего пункта в другой. Если любые два пункта соединены не более чем одной дорогой, то дороги можно не указывать, т.е. маршрут можно задать в виде последовательности

проходимых пунктов. Такой способ задания маршрута называется

маршрутом по вершинам.

Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин и ребер, в которой два соседних элемента

инцидентны: v0,e1,v1,e2,v2,...,ek ,vk .

Маршрут можно задать последовательностью его вершин или последовательностью его ребер.

Маршрут называется цепью, если все его ребра различны, и простой цепью, если все его вершины, кроме, возможно, крайних,

(1,2,4,7) – простые цепи; (1,2,4,7,8,4) – цепь, не являющейся простой;

вершин, кроме первой и последней. Длиной маршрута (пути) называется количество ребер или дуг в нем (с повторениями).

достижима из другой.

Неориентированный граф связный, если любые две его вершины взаимно достижимы.

В орграфе различают три типа связности:

–сильно связный орграф, если любые две его вершины взаимно достижимы;

–односторонне связный орграф, если из любых двух вершин по крайней мере одна достижима из другой;

–слабо связный орграф, если его неориентированный двойник

(получен из орграфа заменой всех дуг на ребра) является связным графом.

Пример. На рис. 3.7 приведены графы с различными типами связности.

Рис. 3.7.

Таким образом, понятие односторонней связности шире, чем сильной, а понятие слабой связности шире, чем односторонней.

Способы задания графов

1. Аналитический способ задания графов:

– с помощью бинарного отношения R на множестве вершин

Vvi ,i 1, n ;

–с помощью списка или перечислением его элементов.

матрица Сn (cij ), в которой строкам и столбцам поставлены в

Замечание. Согласно правилу, элементы матрицы смежности равны числу дуг, идущих из i-й вершины в j-ю. В случае неориентированного графа ему вместе с ребром еi,ej принадлежит и

ребро ej ,ei , поэтому матрица смежности будет симметрической.

Обобщением матрицы смежности является матрица смежности весов ( ij ), где ij – вес дуги (vi ,v j ), если дуга (vi ,v j ) существует, а для несуществующих дуг веса обычно помечаются нулем или знаком в зависимости от приложений.

Матрицей инцидентности орграфа G(V ,E) называется матрица В (bij ) размера n m , в которой строкам поставлены в соответствие

вершины графа, а столбцам – ребра, она определяется следующим образом:

Теорема. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы смежности вершин получаются друг из друга одновременными перестановками строк и столбцов, матрицы инцидентности получаются друг из друга произвольными перестановками строк и столбцов.

Пересечением графов G1(V1, E1) и G2 (V2, E2 ) называется граф G1(V1, E1) G2 (V2, E2 ), множеством вершин которого является множество V1 V1, а множеством его ребер – множество E1 E2 .

Кольцевой суммой (суммой по модулю два) графов G1(V1, E1) и

Другими словами, этот граф не имеет изолированных вершин и состоит только из ребер, присутствующих либо в первом графе, либо во втором, но не в обоих графах одновременно.

Пример. На рис. 3.9 показаны графы, полученные из графов G1 и G2 в результате проведения операций пересечения, объединения и кольцевой суммы.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение графа.

2.Из каких элементов состоит граф?

3.Какой граф называют мультиграфом, псевдографом?

4.Дайте определение изоморфизма двух графов.

5.Что такое степень вершины?

6.Что называется ориентированным графом? Перечислите основные понятия, связанные с орграфами.

7.Какой маршрут называется цепью?

8.Чем различаются понятия цикла и контура?

9.Какие вершины называются смежными?

10.Какие две вершины в графе называются взаимно достижимыми?

11.Перечислите способы задания графа.

12.Какие типы связности различают в орграфе?

13.Перечислите операции над графами.

Упражнения

1. Изобразите графически:

а) ориентированное и неориентированное ребра; б) петлю графа;

в) неориентированный и ориентированный мультиграфы.

2. Из пункта А в пункт В выехали пять машин одной марки разного цвета: белая, черная, красная, синяя, зеленая. Черная едет впереди синей, зеленая впереди белой, но позади синей, красная впереди черной. Какая машина едет первой, а какая последней?

3. Имеется парикмахерская, в которой три мастера и три кресла. Возможны следующие состояния системы:

q0 – в парикмахерской нет посетителей, все кресла свободны; q1 – в парикмахерской один клиент, занято одно (любое) кресло; q2 – в парикмахерской два клиента, занято два любых кресла; q3 – в парикмахерской три клиента, все кресла заняты.

Для упрощения будем считать, что когда заняты все кресла, то пришедший четвертый клиент уходит, не ждет. Нет очереди. Изобразите граф состояний этой системы массового обслуживания.