2042

Используя основные равносильности, можно получить СДНФ и СКНФ булевой функции, не прибегая к таблицам истинности.

Алгоритм приведения функции к СДНФ

1.Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы

x y x y; x y (x y) (x y) (x y) (x y).

2.Спустить отрицания с более сложных выражений на менее сложные в соответствии с законами де Моргана.

3.Избавиться от знаков двойного отрицания.

4.Раскрыть скобки в соответствии с законом дистрибутивности.

5.Если не все конъюнкции являются одночленами, то, применяя

одночленом, получить константу 0 либо одночлен. Если получена константа 0, то на основании свойства x 0 x отбросить ее.

6. Пусть в полученной ДНФ не все одночлены являются

Применять это преобразование до тех пор, пока все одночлены ДНФ не станут совершенными.

7. Если в полученной ДНФ окажутся одинаковые одночлены, то, удалив все из них, кроме одного, на основании закона идемпотентности получить СДНФ.

Пример. Найти СДНФ для формулы (x y) z , используя эквивалентные преобразования.

Решение.

f (x, y, z) xy z (xyz xyz) (xz xz)

(xyz xyz) (xyz x yz) (xyz x yz)

xyz xyz x yz xyz x yz.

Аналогично выглядит алгоритм получения СКНФ для произвольной булевой функции.

1.Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием.

2.Спустить отрицания с более сложных выражений на менее сложные в соответствии с законами де Моргана.

3.Избавиться от знаков двойного отрицания.

4.Раскрыть скобки в соответствии с законом дистрибутивности.

5.Если не все конъюнкции являются одночленами, то, применяя закон идемпотентности дизъюнкции x x x, закон исключенного

третьего x x 1 и свойство x 1 1 к дизъюнкции, не являющейся одночленом, получить константу 1 либо одночлен. Если получена константа 1, то на основании свойства x 1 x отбросить ее.

6. Пусть в полученной КНФ не все одночлены являются

пока все одночлены КНФ не станут совершенными.

7. Если в полученной КНФ окажутся одинаковые одночлены, то, удалив все из них, кроме одного, на основании закона идемпотентности получить СКНФ.

Можно доказать, что для нахождения СКНФ булевой формулы F можно построить ее отрицание, затем полученную формулу привести к СДНФ и, наконец, построить отрицание полученной СДНФ. В результате получим СКНФ исходной формулы F. В данном случае имеет место свойство двойственности булевых функций, записанных в СКНФ и СДНФ.

Пример. Используя свойство двойственности, найти СДНФ для булевой функции f (x, y, z) (x y) z .

Решение.

F (x y) z (x y) z = (x y) z xz yz

(xyz xyz) (xyz xyz) xyz xyz xyz.

Получена СДНФ исходной формулы. Для получения СКНФ

построим ее отрицание: (xyz xyz xyz) (xyz) (xyz) (xyz)

(x y z) (x y z) (x y z)

(x y z) (x y z) (x y z).

Минимизация булевых функций

Цель минимизации – получить логическую функцию, эквивалентную данной, но содержащую минимальное число соответствующих логических переменных. Методов минимизации существует достаточно много. Алгебраическое упрощение – один из способов минимизации, применимый для несложных булевых функций. При большом числе переменных минимизация проводится с использованием метода Квайна-МакКласски. Минимизация методом матриц Карно применяется в случаях, когда функция содержит не более шести переменных.

Алгебраическое упрощение в классе ДНФ по методу БлейкаПорецкого заключается в попарном склеивании всех элементарных конъюнкций СДНФ между собой, а также полученных в процессе склеивания элементарных конъюнкций меньшего числа переменных. Затем происходит поглощение конъюнкциями меньшего числа переменных конъюнкций большего числа переменных.

Пример. Упростить функцию

f (x, y, z) xyz xyz xyz xyz xyz.

Решение.

Для применения закона склеивания можно использовать следующие пары элементарных конъюнкций: первую и вторую; первую и четвертую; вторую и пятую; третью и пятую; четвертую и пятую. Будем иметь

f (x, y, z) xyz xyz x yz xyz xyz

xy(z z) yz(x x) yz(x x) xz(y y)

xy(z z) xy yz yz xz xy xyz xyz x yz xyz xyz.

Выполним всевозможные парные склеивания полученных элементарных конъюнкций двух переменных.

f (x, y, z) y(x x) y(z z) xy yz yzxz xy xyz xyz x yz xyz xyz

y xy yz yz xz xy xyz xyz xyz xyz xyz.

Врезультате поглощения получим f (x, y, z) y xz.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение совершенного одночлена.

2.Дайте определения нормальным формам булевой функции.

3.Как могут быть найдены совершенные нормальные формы по таблицам истинности?

4.Следуя каким правилам и не прибегая к таблицам истинности, можно получить совершенные нормальные формы?

5.В чем состоит задача минимизации булевых функций?

2.Получить СДНФ функций, используя табличное представление:

а) yz xy xz xyz ; б) xy yz xz xyz ; в) xz yz xy xyz. 3.Используя элементарные преобразования, привести к ДНФ:

а) f (x, y, z) xyz xy xz y; б) f (x, y, z) (x y) xz y .

4. Для функций, заданных в ДНФ, получить СДНФ и минимизировать, используя метод Блейка-Порецкого.

а) xz xyz xz ; б) xy xz yz yz xz .

Лекция 4.4. Применение булевых функций к релейно-контактным схемам

Основные задачи теории релейно-контактных схем. Анализ релейно-

контактных схем. Синтез релейно-контактных схем. Схемы функциональных элементов.

Основные задачи теории релейно-контактных схем

На возможность описания релейных схем с помощью аппарата математической логики впервые указал профессор Петербургского университета физик П. Эренфест, это было в 1910 г., а в 1936 г. этот метод применили В.И.Шестаков в СССР и Накашима в Японии. В 1938 г. в США К.Шеннон использовал булеву алгебру для синтеза и анализа релейных схем.

4′ замыкающих контактов 4 ,

размыкающих контактов 4 .

Рис. 4.2

Если реле срабатывает (по обмотке реле протекает ток), то якорь притягивается к сердечнику. При этом все подключенные к нему замыкающие контакты замкнуты, а размыкающие контакты разомкнуты, в противном случае – наоборот. На чертежах все замыкающие контакты, подключенные к реле x, обозначаются символом x, а размыкающие – символом x .

Итак, каждый контакт имеет два устойчивых состояния: замкнутое и разомкнутое. Состояние каждого контакта можно рассматривать как логическую переменную х. При срабатывании реле x всем замыкающим контактам сопоставляется 1, размыкающим x – 0. При отключении реле создается противоположная ситуация.

Всей схеме также ставится в соответствие логическая переменная y, которая равна 1, если схема проводит ток, и 0 в противном случае. Переменная y , соответствующая схеме, является булевой функцией от переменных x1, x2,..., xn , соответствующих реле.

Эта функция называется функцией проводимости схемы, а ее таблица

– условиями работы схемы.

Две релейно-контактные схемы называются равносильными, если одна из них проводит ток тогда и только тогда, когда другая схема проводит ток, т.е. обе схемы обладают одинаковыми функциями проводимости. Из двух равносильных схем более простой считается та, которая содержит меньшее число контактов.

В теории релейно-контактных схем различают две главные задачи:

–задача анализа состоит в изучении характера работы данной схемы и ее упрощении;

–задача синтеза состоит в построении схемы по минимальной

булевой функции, полученной из заданных условий работы схемы.

Анализ релейно-контактных схем

На рис. 4.3 изображено последовательное соединение двух контактов x и y.

хy

Рис. 4.3

Выясним условия работы схемы и запишем для нее функцию проводимости.

Данная схема проводит электрический ток тогда и только тогда, когда оба независимых переключателя x и y замкнуты. Следовательно, функцией проводимости этой схемы будет булева функция от двух аргументов, которая принимает значение 1 в том и только том случае, когда оба ее аргумента принимают значение 1. Такой функцией является конъюнкция f (x, y) x y .

На рис. 4.4 изображено параллельное соединение двух контактов x и y.

х

y

Рис. 4.4

Данная схема проводит ток тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из двух независимых переключателей х или y замкнут. Следовательно, функцией проводимости этой схемы будет такая булева функция от двух переменных, которая принимает значение 1 в том и только том случае, когда хотя бы одна из переменных х или y принимает значение 1. Такой функцией является дизъюнкция f (x, y) x y .

контактной сетью. Контактные сети, в которых применяются только

параллельное и последовательное соединение контактов, будем называть -схемами.

Для -схем (т.е. имеет место комбинация технических устройств, изображенных на рис. 4.3, 4.4 и 4.5 ) условия работы вполне определяются по булевой функции, соответствующей схеме. Проводимость схемы соответствует только таким положениям переключателей, при которых булева функция обращается в единицу.

Пример. По данной -схеме (рис. 4.9) найти функцию проводимости и записать условия её работы.

x y

z x

Рис. 4.9

Решение.

Функция проводимости данной схемы примет вид f (x, y, z) (xy) (zx).

Составим табл. 4.9 истинности для функции, полученной в ДНФ.

Условия работы -схемы определим по последнему столбцу табл. 4.9. Для этого проанализируем равенство единице полученной функции проводимости: f (x, y, z) (0,0,1) (0,1,1) (1,1,0) (1,1,1).

Упрощение релейно-контактной схемы без изменения условий ее работы осуществляется по плану.