2042

Так как формулы x y и x y принимают одинаковые значения

на одних и тех же наборах значений, то они представляют одну и ту же функцию, т.е. равносильны.

При исследовании логических формул во многих случаях требуются корректные преобразования, гарантирующие выполнение тех или иных условий и, прежде всего, позволяющие получить новые формулы, эквивалентные данным. Корректность преобразований обеспечивается выполнением двух правил:

1. Правило подстановки формулы F вместо переменной x. При подстановке все вхождения переменной x в исходное соотношение должны быть одновременно заменены формулой. Правило применяется к эквивалентным соотношениям для получения новых

вхождений переменной x в данное соотношение подставить формулу

(x z) y (x z) y .

2.Правило замены подформул. Равносильное преобразование

формулы F осуществляется заменой какой-то ее подформулы G1 на равносильную ей подформулу G2.

Эквивалентные преобразования – преобразования,

использующие равносильные формулы (равносильности) и правило замены.

Втабл. 4.4 приведены основные раносильности. Они отличаются тем, что:

1) не выводимы друг из друга;

2) этих соотношений достаточно для выполнения любых эквивалентных преобразований.

Справедливость основных равносильностей легко проверить с помощью таблиц истинности.

Таблица 4.4

Используя равносильности, можно упрощать формулы, облегчая последующий анализ логической функции.

Для упрощения формул часто используются дополнительные эквивалентности (табл. 4.5), выводимые из основных с помощью эквивалентных преобразований.

Таблица 4.5

Пример. Доказать справедливость закона склеивания xy x y x

методом эквивалентных преобразований.

Решение.

x yz x yz x yz yz x z .

Существуют наборы логических операций, с помощью которых можно выразить любые другие логические функции. Такие наборы называются базисами. Наиболее хорошо изученным является базис

, , .

Формулы, содержащие кроме переменных и скобок только знаки конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, называются булевыми.

Теорема. Всякая логическая функция может быть представлена

булевой формулой.

Из теоремы следует, что система операций , , функциональна полна.

Алгебра Р2, , , , основным множеством которой является

множество Р2 логических функций, а операциями – конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, называется булевой алгеброй логических функций.

Всякая алгебра, содержащая две бинарные и одну унарную операции, называется булевой, если ее операции удовлетворяют соотношениям (1)–(15) табл. 4.4.

Операции и формулы булевой алгебры называются булевыми. Примеры булевых алгебр:

булевой алгебре логических функций Р2, , , .

Изоморфизм означает, что в математическом плане алгебры представляют в своей основе одно и то же. Действительно, аппарат алгебры логики оперирует логическими переменными, которые могут принимать только два значения: 0 и 1. В алгебре множеств вместо одной предметной переменной с введем две логические переменные а и b, определяемые областями множеств соответственно А и В. Пусть переменные принимают два логических значения: 1 – истина, если принадлежат множеству, и 0 – ложь, если не принадлежат множеству. Тогда логические операции над множествами можно описать с помощью таблиц истинности, и наоборот ( табл. 4.6).

Таблица 4.6

В силу изоморфизма любое эквивалентное соотношение в алгебре множеств будет сохраняться в изоморфной ей алгебре высказываний, и наоборот.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение логической функции.

2.Как строится таблица истинности для логических функций?

3.Какие преобразования называются эквивалентными?

4.Перечислите основные равносильности.

5.Какие эквивалентности используются для упрощения формул?

6.Дайте определение булевой формуле.

7.Дайте определение булевой алгебре.

8.Приведите примеры булевых алгебр.

Упражнения

1. Вычислить значение функции f (x1, x2, x3) на двух наборах

(0,1,0) и (1,1,0) если:

1)f (x1, x2 , x3 ) (x1 x2 ) ((x1 x3 ) x2 );

2)f (x1, x2, x3)=((x3 x1 ) x2 ) (x1 x3 ) .

2.Построением таблиц истинности подтвердить эквивалентность формул (1), (3), (5), (7), (9), (10), (15) из табл. 4.5.

3.Построить таблицы значений для следующих функций:

а) f (x, y, z) ((x z) y) x;

б) f (x, y, z) ((x y) z) (x | y) z);

в) f (x, y, z) (xyz) | (xyz).

3.Доказать методом эквивалентных преобразований с использованием основных эквивалентностей справедливость законов склеивания, обобщенного склеивания и ортогонализации.

4.Используя эквивалентные преобразования, доказать, что штрих Шеффера обладает следующими свойствами:

а) x |1 x | x x ;

б) x | 0 x | x 1;

в) x | y y | x.

5. Используя эквивалентные преобразования, доказать, что стрелка Пирса обладает следующими свойствами:

а) x x x 0 x; б) x 1 x x 0;

в) x y y x .

Лекция 4.3. Представление булевых функций нормальными формами

Нормальные формы. Отыскание совершенных форм. Минимизация

булевых функций.

Нормальные формы

Напомним, логическая функция называется булевой, если содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

На практике чаще всего используются булевы функции, записанные в совершенной дизъюнктивной или совершенной

y x1 x2 – элементарная дизъюнкция ранга 2.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – дизъюнкция различных элементарных конъюнкций.

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – конъюнкция элементарных дизъюнкций.

Одночлен называется совершенным, если в него от каждой пары xi и xi , i 1,n входит только одна буква.

Совершенная ДНФ (СДНФ) от переменных x1, x2,..., xn есть

ДНФ, в которую входят лишь совершенные одночлены от этих переменных, т.е. все элементарные конъюнкции имеют одинаковый ранг и состоят из одних и тех же переменных.

Совершенная КНФ (СКНФ) от переменных x1, x2,..., xn есть

КНФ, в которую входят лишь совершенные одночлены, т.е. все элементарные дизъюнкции имеют одинаковый ранг и состоят из одних и тех же переменных.

Пример. Определить, какие из указанных функций представляют СДНФ:

f1(x1, x2 , x3 ) x1 x1x2 x3 x1 x3 x1 x2 x3;

f2 (x1, x2, x3, x4 ) x1x2x4 x1x2x3 x1 x3 x4 x1 x2x3 ;

f3(x1, x2, x3) x1x2x3 x1x2x3 x1 x3 x4 x1 x2x3 .

Решение.

f1(x1, x2, x3) не представляет собой СДНФ, так как различны ранги элементарных конъюнкций, f2 (x1, x2, x3, х4 ) также не

представляет собой СДНФ, так как элементарные конъюнкции состоят из разных элементов, f3(x1, x2, x3) представляет собой СДНФ.

Отыскание совершенных форм

Исходя из таблицы истинности для булевой функции, можно построить СДНФ по алгоритму:

1)выбрать все наборы значений переменных x1, x2,..., xn , на которых значение истинности формулы равно 1;

2)для каждого такого набора выписать совершенный конъюнктивный одночлен, принимающий значение

истинности 1 на этом наборе и только на нем; 3)полученные одночлены соединить знаком дизъюнкции.

элементарная конъюнкция х1х2 , а на наборе 10 – конъюнкция х1 х2 .

Тогда y x1x2 x1 x2 .

Аналогично будет выглядеть алгоритм получения СКНФ для булевой функции:

1)выбрать все наборы значений переменных x1, x2,..., xn , на которых значение истинности формулы равно 0;

2)для каждого такого набора выписать совершенный дизъюнктивный одночлен, принимающий значение

истинности 0 на этом наборе и только на нем; 3)полученные одночлены соединить знаком конъюнкции.

Пример. Пусть y f (x1 , x2 , х3 ) равна 0 на наборах 000 и 111.

Требуется записать ее в СКНФ.

Решение.

Имеем f (0,0,0) f (1,1,1) 0. На наборе 000 обращается в ноль элементарная дизъюнкция х1 х2 х3, а на наборе 111 – дизъюнкция

х1 х2 х3 . Тогда y (х1 x2 x3 )(х1 х2 х3 ).

Пример. С помощью таблицы истинности найти СДНФ для формулы (x y) z .

Выпишем элементарные конъюнкции для всех единичных наборов и элементарные дизъюнкции для всех нулевых наборов переменных x, y, z (табл. 4.8).

Для получения СДНФ объединим элементарные конъюнкции знаком дизъюнкции, а для получения СКНФ – элементарные дизъюнкции знаком конъюнкции.

CДНФ:(x y) z xyz xyz xyz xyz xyz. CКНФ:(x y) z (x y z) (x y z) (x y z).