2042

Найти M K ; K Q ; M K ; M \ K ; M K Q ; M Q K .

2.Пусть дано множество чисел Q 1,2,3,4,5,6,7,8 . Для этого множества дано отношение T : a,b T , если «a b»– четное число. Построить матрицу смежности для T и определить свойства T .

3.Определить, является ли алгебра A ax2 , группой. Пусть a –

целое число. Построить семейство функций a x .

4. Найти образ отрезка 0;3 при отображении y x2 . Построить график функции, найти область её определения и значений.

Вариант 21

1. Пусть M – множество машин в автотранспортном предприятии. Подмножества: Л – легковые; Г грузовые, причем М Л Г . Подмножества: И – импортные машины; К – машины «Камаз»; С –

– целое число. Построить семейство функций a sin x .

4. Пусть функция y x3 осуществляет отображение множества2;2 на множество 8;8 . Является ли это отображение взаимнооднозначным?

Вариант 22

1. Пусть C – множество студентов в группе. Подмножества: Ю – юноши; Д – девушки; С Ю Д . Подмножества: О – отличники;

Т – троечники; Ш – хорошо играющие в шахматы; Ц –

занимающиеся танцами. Дать определения Ю \ О Д Т ;

Д О \ Ш ; Д Ю \ Т ; Д \ Ц Ш ; Ю \ Т Ш .

2. Германия имеет дипотношения с Россией и Китаем. Германия и Китай поставляют в Россию точное оборудование. Ввести бинарное отношение Т1 «иметь дипотношения», а также Т2 «поставщик–

потребитель». Построить матрицу смежности для Т1 и Т2 . Определить свойства бинарных отношений.

3. Определить, является ли алгебра A 5n , группой. Пусть n –

целое число. Построить семейство функций 5n .

4. Найти образ отрезка 1;10 при отображении y lg x . Построить график функции, найти область её определения и значений.

Вариант 23

1.Пусть Q – множество чисел вида 2n , а R – множество чисел вида 3n . Из чисел какого вида состоит множество S Q R ?

2.В структуру завода входят: администрация, бухгалтерия, механический цех, литейный цех, автотранспортный цех, отдел главного конструктора. Введено бинарное отношение T «руководящая структура – подчиненное подразделение». Задать бинарное отношение T на матрице смежности и определить его свойства.

3.Определить, является ли алгебра A ax2 , группой. Пусть a –

2.Дано множество книг в библиотеке. Введено отношение T «две книги стоят рядом, если они обе по математике». Проверить, является ли T отношением эквивалентности.

3.Определить, является ли алгебра A ax3, группой. Пусть a –

целое число; a – натуральное число. Построить семейство функций

a x3 .

4. Найти образ отрезка 2;3 при отображении y 3x . Построить график функции, найти область её определения и значений.

Вариант 25

1. Пусть A множество чисел вида 3n , а В – множество чисел вида 2n . Из чисел какого вида состоит множество M A B? 2.Сотрудники фирмы: директор, главный инженер, главный механик, главный бухгалтер, начальник отдела, кассир. Введено отношение «начальник–подчиненный». Определить обратное отношение и суперпозицию отношений. Задать его на матрице смежности.

5. Определить, является ли алгебра A xa2 , группой. Пусть a _

натуральное число; a целое число. Построить семейство функций

a .x2

6. Найти образ отрезка 1;3 при отображении y 1x . Построить график функции, область её определения и область значений.

Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА

Лекция 2.1. Основные правила и формулы комбинаторики

Основные правила комбинаторики. Основные формулы комбинаторики.

Бином Ньютона.

Основные правила комбинаторики

Комбинаторикой называют область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, образованных по тем или иным условиям, можно составить из элементов данного множества.

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементовa1,a2,...,an . Из элементов этого множества можно составлять

различные группы, отличающиеся одна от другой или самими элементами (составом), или их порядком. Такие группы называют

соединениями, комбинациями или выборками.

П р и м е р . Имеем множество {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. 123; 321; 4056; 42 – соединения (комбинации, выборки).

Сформулируем общие правила комбинаторики.

П ра ви ло сум мы

Теорема (правило суммы). Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а объект В – k способами (не такими, как А), то объект «либо А, либо В» можно выбрать m k способами.

При м ер . На столе лежат 5 книг по математике и 3 книги по физике. Тогда одну книгу можно выбрать 5 3 8 способами.

При м ер . Карандаши разложены по двум ящикам; в первом ящике m карандашей, во втором k карандашей. Произвольным образом из какого-нибудь ящика вынимаем один карандаш. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Из первого ящика один карандаш можно вынуть m способами, из второго – k способами; тогда всего m k способов.

П ра ви ло прои зв еден и я

Пусть множество из n элементов разбито на две части (два подмножества), первое подмножество a1,a2,...,am состоит из m

элементов, второе подмножество b1,b2,...,bk содержит k элементов, причем m k n. Из первого подмножества выбираем один элемент

и независимо от первого выбора один элемент выбираем из второго подмножества. Число различных пар легко просматриваются на нижеследующей схеме:

Общее число различных пар равно m n.

Теорема (правило произведения). Если объект А можно выбрать m

способами, а после каждого такого выбора другой объект В – k способами, то пары объектов А и В можно выбрать m k способами.

При м ер . Из города N в город M ведут 5 дорог, а из города M в город P – три дороги. Сколько путей, проходящих через M, ведут из N в P?

Решение.

Каждый путь задается парой (a; b), тогда число путей равно

5 3 15.

При м ер . Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «зеркало»?

Решение.

В этом слове 4 согласных буквы и 3 гласных, поэтому число способов равно 4 3 12 способам.

При м ер . Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

Решение.

Число таких пар по правилу произведения составит 6 5 30 способов.

Можно обобщить правило произведения.

Пусть некоторый выбор может быть сделан в точности r различными способами. Для каждого из этих способов некоторый второй выбор может быть сделан s различными способами. Для каждой пары первых двух выборов некоторый третий выбор может быть сделан t способами и т.д. Тогда число способов последовательности этих выборов получается перемножением соответствующих чисел, т. е. равно r s t ... .

При м ер . Сколько разных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0; 1; 2, если та же самая цифра может повториться несколько раз?

Решение.

На первое место в четырехзначном числе для выбора цифры имеется две возможности (это цифры 1 и 2), на второе место имеется три возможности (это цифры 0; 1; 2), на третье место имеется три возможности (это цифры 0; 1; 2), на четвертое место – тоже три возможности (это цифры 0; 1; 2). Следовательно, всего 2 3 3 3 54 способа получить четырехзначное число из цифр 0; 1; 2.

Задача о «размещении шариков по лункам». Имеем r шаров и n

лунок. Скольким числом способов можно разместить шары по

способами, второй – тоже n способами и т. д., а так как всего r шаров, то и получаем nr способов.

Эта задача-схема может быть применена к другим, может быть, сформулированным иначе, задачам, но по своей сути эквивалентным абстрактной схеме размещения r шаров по n лункам. Например,

а) при стрельбе по n мишеням пули соответствуют шарам, мишени – лункам;

б) лифт отправляется с r пассажирами и останавливается на n этажах; распределение пассажиров по группам соответственно этажу, на котором они выйдут, соответствует размещению r шаров по n лункам;

в) при экспериментах с космическими лучами частицы, попадающие в счетчики Гейгера, играют роль шаров, а счетчики – лунок;

г) распределение дней рождения r человек соответствует

размещению r шаров по n 365 лункам;

д) в случае бросания r костей имеем распределение r шаров по n 6 лункам; эта же ситуация имеет место, когда бросают монеты, только тогда n 2 и т. д.

При м ер . Шесть ящиков различных материалов доставляются на пять этажей стройки.

1.Сколькими способами можно распределить материалы по этажам?

2.В скольких вариантах на пятый этаж будет доставлен какойлибо один материал?

Решение.

1. Распределение шести ящиков по пяти этажам соответствует схеме распределения шести шаров по пяти лункам, тогда для r 6 и

n 5 имеем 56 распределения.

2. Какой-либо один материал для доставки на пятый этаж может быть выбран 6 способами, а на оставшиеся четыре этажа пяти других ящиков доставка может быть осуществлена согласно схеме

«размещения шаров по лункам» 45 различными способами. Тогда по правилу произведения число вариантов распределения какого-либо одного материала на пятый этаж, а оставшихся пяти материалов по

другим четырем этажам составит 6 45 способов.

Комбинации из элементов (соединения) составляются по определенным правилам так, чтобы они обладали теми или иными свойствами.

Основные формулы комбинаторики

Если из некоторого количества элементов, различных между собой, составлять различные комбинации, то среди них можно выделить три типа комбинаций, носящих общее название – соединения. Соединения классифицируют по трем типам: перестановки, сочетания и размещения.

1. Перестановки.

Если в некотором множестве a1,a2,...,am переставлять местами

элементы, оставляя неизменным их количество, то каждая полученная таким образом комбинация называется перестановкой.

Общее число перестановок из m элементов обозначается Pm и вычисляется по формуле

Из определения следует, что одна перестановка отличается от другой только порядком элементов.

П р и м е р . Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

Решение.

Число способов посадки пяти женщин равно 5!, а пяти мужчин – 5!, но мужчин и женщин можно поменять местами, то есть на места, занимаемые женщинами, можно посадить мужчин, тогда, используя правило произведения, общее число способов будет равно

2 5! 5! 2 5! 2 .

П р и м е р . На книжной полке размещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить так, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?

Решение.

Число способов расстановки 30 томов на полке равно, согласно формуле (2.1), числу перестановок из 30 элементов, т.е. 30! . Число способов расстановки 30 томов таким образом, чтобы первый и второй тома стояли рядом, равно 2 29!, тогда число способов

расстановки 30 томов так, чтобы первый и второй тома не стояли рядом, равно 30! 2 29! 29! 30 2 29!28.

2. Размещения.

Размещениями из n элементов по m элементов называют такие соединения, каждое из которых содержит ровно m элементов, взятых из n элементов, и которые отличаются одно от другого или самими элементами, или их порядком.

Возьмем множество, состоящее из трех элементов a, b, c. Из элементов этого множества можно составить размещения

1) по одному элементу: a, b, c;

2) по два элемента: ab, ba, ac, ca, bc, cb;

3) по три элемента: abc, bac, acb, cab, bca, cab.

Для подсчета количества размещений из n элементов по m

где Anm – число размещений из n элементов по m элементов.

При м ер . Текст кодируется цифрами от 0 до 9. Сколько различных сообщений можно передать, если каждое сообщение

состоит из 4 цифр?

Решение.

Множество, из которого выбираются группы по четыре элемента, состоит из 10 элементов (10 цифр). Каждая группа (соединение, комбинация) отличается одна от другой либо самими элементами, либо их порядком, поэтому, по определению, эти соединения являются размещениями. Число таких размещений определяем по

П р и м е р . В высшей лиге по футболу 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами могут быть распределены медали между командами?

Решение.

Из 18 элементов множества (18 команд) нужно составить группы (соединения), каждая из которых будет содержать три элемента множества (три команды), причем одна группа от другой будет отличаться либо составом, либо порядком, следовательно, такие соединения являются размещениями, и число способов, которыми могут быть распределены медали между командами, равно

A183 18 17 16 4896 .

Общее число таких размещений рассчитывается по формуле

Вообще говоря, перестановки являются частным случаем размещений.

Пусть множество состоит из трех элементов a, b, c. Из этих элементов можно составить перестановки: abc, bac, acb, cab, cba, bca.

Также одним из вариантов комбинаций являются перестановки с повторяющимися элементами.

Если среди т элементов имеется т1 одинаковых элементов одного типа, т2 одинаковых элементов другого типа и т.д., то при перестановке этих элементов всевозможными способами получаем комбинации, количество которых определяется по формуле

Пример. Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв?

Решение.

Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4 равно 10.000.

Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно

А302 30 29 870 .

Если учесть возможность того, что буквы могут повторяться, то число повторяющихся комбинаций равно 30 (одна возможность повтора для каждой буквы). Итого: полное количество комбинаций по две буквы равно 900.

Если к номеру добавляется еще одна буква из алфавита в 30 букв, то количество комбинаций увеличивается в 30 раз, т.е. достигает 27.000 комбинаций.

Окончательно: т.к. каждой буквенной комбинации можно поставить в соответствие числовую комбинацию, то полное количество автомобильных номеров равно 270.000.000.

3. Сочетания.

Если из т элементов составлять группы по п элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группе, то получившиеся при этом комбинации называются сочетаниями из т элементов по п.

Из трех элементов a, b, c можно составить сочетания

1)по одному элементу: a, b, c;

2)по два элемента: ab, ac, bc;

3)по три элемента: abc.

Обозначим: Cnm – число сочетаний из n элементов по m

элементов. Для подсчета числа сочетаний из n элементов по m элементов используют формулы

Общее число сочетаний будем находить по формуле