2042

A\ A B A\A A\B A\B A\B .

Что и требовалось доказать.

Для иллюстрации полученного результата построим диаграммы Эйлера Венна (рис. 1.12).

A

B A B A B

Рис. 1.12

П р и м е р . Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами,доказатьтождество A\ B C A\B A\C .

Р е ш е н и е .

Если некоторый элемент x A\ B C , то это означает, что этот

элемент принадлежит множеству А, но не принадлежит множествам В и С.

Множество A\B представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Множество A\B представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству С.

Множество A\B A\C представляет собой множество

элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат ни множеству В, ни множеству С.

Таким образом, тождество можно считать доказанным.

Контрольные вопросы

1.Какие основные символы используются в теории множеств?

2.Что называется множеством?

3.Как можно задать множество?

4.Что называется подмножеством? Привести примеры.

5.Какое множество называется универсальным? как оно изображается?

6.Что называется диаграммой Венна?

7.Как построить диаграмму Венна?

8.Какие основные операции выполняются над множествами?

9.В чем заключаются операции объединения, пересечения, множеств?

10.Что такое разность множеств, симметричная разность?

Упражнения

1.Даны множества: A a,b,e,f,k ; B a,b,d,f ; C b,f,k,h . Найти

B C ; A B ; A\B ; A B C . Построить диаграммы Венна.

2.Пусть Q – множество рабочих цеха. Подмножества: K –

Венна.

3. Пусть Q – множество автомашин в гараже. Подмножества: Л – легковые машины; Г – грузовые машины, причем Q Л Г ; О –

отечественные машины; И – импортные машины; К – машины красного цвета; Р – машины на ремонте. Что означает запись: 1)

Л О\К ; 2) Г И Л\Р ; 3) Л Р Г\И ? Показать на диаграмме Венна.

4.Даны множества A 1,2,3,5,7,8 ; B 3,5,7,9 . Найти: 1) A B ; 2)

A B ; 3) A\B .

5. В библиотеке множества: К – книги; Ж – журналы. Подмножества: Н – новинки; И – книги на иностранных языках; М – книги по математике; Ф – книги по физике. Дать определения: 1)К Н \И ; 2) Ж М Ж\И ; 3) К Ж \Ф ; 4) К М К\Ф .

6.Пусть Q – множество студентов в группе. Подмножества: Ю –

юноши; Д – девушки; Q Ю Д ; О – отличники; Т – троечники. Дать определения: 1) Ю\О Д Т ; 2) Д О Ю Т .

7.Пусть Ф – множество фирм, действующих в городе. Подмножества: К – крупные; С – средние; М – малые; П – фирмы, выпускающие продукты питания; Б – строительные фирмы; Г –

государственные предприятия; Ч – частные фирмы. Что означает запись: 1) К Г \П ; 2) С Ч М Г ; 3) М\Б Ч ? Показать

все множества на диаграмме Венна.

8.Пусть множество А состоит из чисел вида 2n , а множество В – из

чисел вида 3n . Из чисел какого вида состоит множество: 1)

МА В; 2) Q А В ?

9.Пусть A,B,C – подмножества универсального множества U .

Проиллюстрировать на примере конкретных множеств и с помощью диаграммы Венна справедливость следующих соотношений:

1)A B C A B C ;

2)A B C A B C ;

3)A B A B ;

4)A B A B ;

5)A A B A;

6)A A B A;

7)A B A B A;

8)A A B A B .

Лекция 1.2. Отношения

Кортежи и декартово произведение множеств. Бинарные отношения.

Свойства бинарных отношений. Операции над бинарными отношениями.

Кортежи и декартово произведение множеств

Пусть даны множества x1,x2,...,xn .

Кортежем длины n , составленным из элементов этих множеств,

Кортежи длины два называются упорядоченными парами, длины

три – упорядоченными тройками, длины n упорядоченными n - ми.

Для краткости речи слово «упорядоченная» опускается.

Пустым называется кортеж длины 0, т.е. кортеж, не содержащий ни одной координаты.

Основные отличия понятий кортежа и множества:

1) в множестве порядок элементов не играет роли; в кортежах порядок элементов играет роль – два кортежа, имеющих одинаковый состав, но различный порядок элементов, различны; 2) в множестве все элементы различны, в картеже координаты могут

повторяться. Чтобы различать множества и кортежи, введем обозначения множества X x1,x2,...,xn ; кортежа a a1,a2,...,an .

Декартовым произведением множества А и В называется множество всех упорядоченных пар a,b , где a A, b B .

A B a,b a A; b B .

Декартово произведение n равных множеств А и будет называться n -й декартовой степенью множества А и обозначаться An .

Бинарные отношения

Квадратом множества А называется декартово произведение

отношением Т» записывают в виде aiTa j , т.е. aiTa j aia j T .

Областью определения бинарного отношения Т называется множество, состоящее из таких ai , для которых aia j T хотя бы для

одного a j .Обозначение: δT .

Областью значений бинарного отношения Т называется множество всех a j , для которых aia j T хотя бы для одного ai .

Обозначение: ρT .

Бинарное отношение задается с помощью матрицы смежности.

A a,b,c,d ; T a,b ; c,d . Тогда матрица смежности принимает

вид (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Свойства бинарных отношений

Отношение Т в множестве А называется рефлексивным, если дляa А справедливо a,a T .

Отношение Т в множестве А называется симметричным, если из

aia j T a j ,ai T при a a j .

Отношение Т в множестве А называется транзитивным, если из

aia j T и a jak T aiak T при ai a j ; a j ak ; ai ak .

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношения на множестве А называются отношениями эквивалентности.

Отношение эквивалентности в некотором смысле обобщает понятие равенства.

Отношение Т в множестве А называется антисимметричным, если для ai и a j имеет место: если aia j T и a jai T , то a j ai .

Бинарное отношение Т, обладающее свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, называется отношением упорядоченности или отношением порядка и обозначается « ».

При м ер ы.

1.Отношение принадлежности к одной студенческой группе на множестве всех студентов академии СибАДИ – отношение эквивалентности.

2.Схема организации подчинения на заводе есть отношение порядка на множестве кадрового состава.

3.Отношение X Y на множестве действительных чисел есть отношение порядка.

Операции над бинарными отношениями

bTa : T 1 a,b : b,a T .

П р и м е р ы.

а) пусть T - «быть старше», тогда T 1 – «быть моложе»;

отношения T1, а из A2 в A3 – посредством отношения T2 .

Если Т определено на множестве А и T A2 , то составное отношение T T a,b : a,c , c,b T .

7. Замыкание T .

Пусть отношение T на множестве А не обладает каким-либо свойством (рефлексивностью, симметричностью или транзитивностью). Будем считать, что в результате присоединение к этому подмножеству Т некоторых

упорядоченных пар получим новые подмножества T , которые уже будут обладать указанным свойством. Минимальное по числу

элементов подмножество T с выделенным свойством, которое получено путем присоединения к исходному отношению Т новых элементов, называется замыканием Т относительно данного свойства.

T2 T1\T2 О,Д , С,О , Д,С , С,Д , Д,Д , О,О , С,С ;

д) обратное отношение T2-1 О,Д , С,О ;

е) композиция Т2 Т2 – «…быть прародителем…»: Т2 Т2 Д,С . П р и м е р . Пусть на множестве A 1,3,5 определено отношение

Т – «…быть меньше». Задать отношение Т, обратное отношение Т-1 и

дополнение T .

Решен и е .

1.T a,b :a b – «…быть меньше».

T 1,3 , 1,5 , 3,5 .

2.T -1 a,b : b,a T a,b :a b – «…быть больше».

T -1 3,1 , 5,1 , 5,3 .

3. T A A \T a,b : a,b T a,b :a b – «…быть не

меньше».

T 1,1 , 3,1 , 3,3 , 5,1 , 5,3 , 5,5 .

Контрольные вопросы

1.Что называется кортежем? Какие кортежи называются равными, пустыми?

2.Основные отличия кортежа и множества.

3.Запись кортежа и множества.

4.Что называется декартовым произведением множеств?

5.Что называется квадратом множества?

6.Что называется бинарным отношением в заданном множестве?

7.Назовите область определения и область значений бинарного отношения.

8.Как строится матрица смежности бинарного отношения?

9.Каковы основные свойства бинарных отношений?

10.Какое отношение называется рефлексивным, симметричным, транзитивным, антисимметричным? Какое отношение называется отношением эквивалентности?

11.Назовите операции над бинарными отношениями.

12.В чем заключаются операции объединения, пересечения, разности отношений?

13.Что называется дополнением отношения, обратным отношением, составным отношением?

14.В чем заключается операция нахождения замыкания отношения?

Упражнения

1.Из множеств a,b,c,d и 2,3 составить кортежи.

2.Сравнить кортежи:

Выполнить операции над Т: T T ; T T ; T\T ; T -1; T ; T T ; T* .

9. Саша дружит с Таней, Юра и Миша дружат с Машей. Саша учится с Таней в одной группе, а Юра учится в одной группе с Юлей. Юля учится вместе с Мишей и дружит с ним. Ввести бинарные отношения: T1 – «учится вместе»; T2 – «быть другом».

Построить матрицу смежности для T1 и T2 . Определить свойства этих бинарных отношений.