2042

Высказывания

Современная математическая логика включает два основных раздела: логику высказываний и охватывающую ее логику предикатов,

для построения которых существуют два подхода (языка), образующих два варианта формальной логики: алгебру логики и логические исчисления (рис. 4.1).

Математическая логика

Рис. 4.1

Основными объектами разделов логики являются высказывания. Высказыванием называется предложение, к которому возможно

применить понятия «истинно» или «ложно».

В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.

Пример. Рассмотрим суждения:

1) «3<7»; 2) «Волга впадает в черное море»; 3) «Я лгу».

Первое высказывание является истинным, второе – ложным. Третье суждение не является высказыванием, так как ему нельзя присвоить значение «истина» или «ложь».

К высказываниям не относятся вопросительные и отрицательные предложения.

Высказывание будем называть простым (элементарным), если оно рассматривается как некое неделимое целое (аналогично элементу множества).

Сложным (составным) называется высказывание, составленное из простых с помощью основных логических связок.

В естественном языке (при вербальном описании явления) роль связок при составлении сложных предложений из простых играют следующие грамматические средства: союзы «и», «или»; слова «если…, то…», «тогда и только тогда, когда» и др.

Пример. Высказывание «Идет дождь или снег» – сложное , так как состоит из двух простых высказываний: А – «Идет дождь», В – «Идет снег», соединенных связкой «или».

Основные операции над высказываниями

Логическим связкам соответствуют логические операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

Логические значения результатов этих операций связаны с логическими значениями исходных высказываний. Соответствие между высказываниями определяется таблицей истинности.

1. Отрицание. Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р

ложно. Обозначается Р или P . Операции соответствует логическая связка «не». Таблица истинности имеет вид

2. Конъюнкция. Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда

истинны оба высказывания. Обозначается P&Q или Р Q. Операции соответствует логическая связка «и». Таблица истинности имеет вид

3. Дизъюнкция. Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба

высказывания ложны. Обозначается P Q. Операции соответствует логическая связка «или». Таблица истинности имеет вид

4. Импликация. Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда

высказывание Р истинно, а Q – ложно. Обозначается P Q (или Р Q). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием. Операции соответствует логическая связка «если…,то». Таблица истинности имеет вид

5. Эквиваленция. Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда

истинности высказываний совпадают. Обозначается РQ, или Р Q, или P Q. Операции соответствует логическая связка «тогда и

только тогда». Таблица истинности имеет вид

С импликацией связано постоянное упоминание математиками «необходимое условие» и «достаточное условие». В табл. 4.1. приведены разные виды импликаций, их запись, определение и прочтение.

Таблица 4.1

Наряду с основными операциями, могут использоваться дополнительные, полученные из основных через операцию «отрицание»: штрих Шеффера, стрелка Пирса, сумма по модулю два.

6. Штрих Шеффера. Штрихом Шеффера высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Обозначается P|Q. По определению,

высказываний P и Q.

Пример. Определить значение истинности высказывания К, если высказывание К (2 2 4) ложно.

Решение.

Конъюнкция высказываний есть ложное высказывание в случае, когда по меньшей мере одно из входящих в конъюнкцию составляющих высказываний (членов конъюнкции) ложно. В нашем случае второе составляющее высказывание «2 2 4» истинно, а конъюнкция двух высказываний ложна. Поэтому К ложно.

Пример. Сформулировать и записать в виде конъюнкции или дизъюнкции условие истинности предложения « ba 0 » (a,b –

действительные числа).

Решение.

Дробь равна нулю лишь в том случае, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, т.е. (a 0) (b 0).

Формулы алгебры высказываний

Буквы, обозначающие высказывания, логические связки и скобки составляют алфавит языков логики высказываний: алгебры логики и исчисления высказываний.

Выражение, составленное из обозначений высказываний и связок, – логическая формула, если:

–любая переменная, обозначающая высказывание, – формула;

–если F1 и F2 – формулы, то выражения

F, (F1 F2 ), (F1 F2 ), (F1 F2 ), (F1 F2 ) также являются формулами;

Тавтологии играют важную роль в логике, на некоторых из них основаны способы логических умозаключений. С другой стороны, свойства логических операций также выражаются через тавтологии.

Теорема (свойства операции конъюнкции и дизъюнкции).

3) законы ассоциативности:

(X (Y Z)) ((X Y) Z); (X (Y Z)) ((X Y) Z) ;

4)законы поглощения:

(X (X Y)) X; (X (X Y)) X;

5)Законы де Моргана:

(X Y) ( X Y); (X Y) ( X Y).

высказывание при всех наборах значений переменных, т.е. являются тавтологиями.

(X X ) X; (X X ) X .

Замечание. Нужно различать символы «=» и « ». Символ « » является символом логической операции формального языка (это необходимо и достаточно). Символ «=» не принадлежит алфавиту языка логики высказываний и говорит о равносильности формул с точки зрения их оценивания на истинность.

Контрольные вопросы

1.Что называется высказыванием?

2.Приведите примеры высказываний.

3.Что называется составным высказыванием?

4.Перечислите виды логических операций над высказываниями и сформулируйте их определение.

5.Какие основные символы используются в теории высказываний?

6.Что такое таблица истинности высказывания и как она строится?

7.Какое выражение называется формулой?

8.Какая формула называется выполнимой, опровержимой, тавтологией, противоречием?

9.Приведите примеры тавтологий.

10.Перечислите свойства операций конъюнкции и дизъюнкции.

11.Какие формулы называются равносильными?

Упражнения

1.Какие из следующих предложений являются высказываниями: а) Москва – столица России;

б) треугольник ABC подобен треугольнику A B C ;

в) 2+2-5;

г) кислород – газ; д) каша – вкусное блюдо;

е) картины Пикассо слишком абстрактны; ж) треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны;

з) если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний. Какие из высказываний истинные, а какие ложные? 2.Определите значения истинности следующих высказываний:

а) Санкт-Петербург расположен на Неве и 2+3=5; б) 7– простое число и 10 – простое число; в) 7 – простое число или 9 – простое число;

г) 2+2=5 или белые медведи живут в Африке; д) у равнобедренного треугольника либо два, либо три угла равны между собой.

3. Определите значения истинности высказываний A,B,C,D,Е,F,G,H, если высказывания a)–г) истинны, а высказывания д)–з) – ложны:

4. Сформулируйте и запишите в виде конъюнкции или дизъюнкции условие истинности каждого предложения ( a,b – действительные числа):

5. Следующие составные высказывания расчлените на простые и запишите символически, введя буквенные обозначения для простых их составляющих:

а) если число делится на 2 и не делится на три, то оно не делится на 6. б) произведение трех чисел равно нулю тогда и только тогда, когда одно из них равно нулю; в) если производная функции в точке равна нулю и вторая

производная этой функции в той же точке отрицательна, то данная точка есть точка локального максимума функции;

г) если какие-либо два из трех векторов a, b, c коллинеарны, то их

смешанное произведение равно нулю.

6.На основании таблиц истинности доказать равносильность формул:

а) X Y (X Y) ( X Y);

б) X | Y (X Y) (X Y) (X Y);

в) X Y X Y;г) X Y (X Y) X Y .

7.Составьте таблицы истинности для следующих формул и укажите, какие из формул являются выполнимыми, какие – опровержимыми, какие – тождественно истинными, какие – тождественно ложными.

а) (P Q) ((P Q) P; б) ((P Q) P) Q;

в) (P (Q P)) ((Q P) Q); г) ((P Q) Q) (P Q).

Лекция 4.2. Булева алгебра

Логические функции. Эквивалентные преобразования. Булевы алгебры.

Логические функции

Поставим в соответствие высказыванию логическую переменную х , которая принимает значение «1», если высказывание истинно, и «0», если высказывание ложно. Тогда каждая формула будет задавать логическую функцию (x1, x2,..., xn ) – функцию от

логических переменных x1, x2,..., xn , которая сама может принимать

только два значения «1» или «0».

Функцией алгебры логики (логической функцией) называется произвольная n-местная функция(x1, x2,..., xn ) , аргументы и значения

которой принадлежат множеству {0, 1}.

Множество всех логических функций обозначается Р2. Число всех возможных различающихся наборов значений n переменных логической функции (x1, x2,..., xn ) равно 2n (равно числу всех

возможных двоичных векторов длины n ). Тогда число всех различных функций n переменных равно Р2 22n – число возможных

расстановок нулей и единиц в столбце с 2n строками.

Логическую функцию (x1, x2,..., xn ) можно задать таблицей

истинности, в левой части которой выписаны всевозможные наборы значений ее аргументов x1, x2,..., xn , а правая часть представляет собой

столбец значений функций, соответствующих этим наборам. Функции нуля, одной и двух переменных называются

элементарными. Функции нуля переменных – 0 и 1. В таблице 4.2 приведены название, обозначение истинностные значения для унарных функций (зависящих од одной переменной) и бинарных функций (зависящих от двух переменных).

Продолжение таблицы 4.2