2042

7. Покажите, что, если бы в задаче о семи мостах число мостов было на единицу меньше или больше, то соответствующий граф содержал бы уникурсальную линию. Нарисуйте соответствующие графы.

8.Определите, какой из графов 1–6 имеет эйлеров цикл, эйлеров путь?

дополнить граф, чтобы он имел уникурсальную линию?

10. Найдите хроматическое число графа, указанного на рисунке.

Лекция 3.3. Сетевые задачи

Разновидности сетевых задач. Построение и расчет сетевого графика.

Разновидности сетевых задач

Сетью называется ориентированный граф, каждой дуге которого поставлено в соответствие некоторое число, называемое весом дуги.

Функциональное назначение большинства физически реализованных сетей состоит в том, что они служат носителями систем потоков, т.е. систем, в которых некоторые объекты текут, движутся или транспортируются по системе каналов (дуг сети) ограниченной пропускной способности. Примерами могут служить потоки автомобильного транспорта по сети автодорог, грузов по участку железнодорожной сети, воды в городской сети водоснабжения, электрического тока в электросети, программ в вычислительной сети. Число объектов, пересылаемых вдоль дуги, не может превышать пропускной способности этой дуги.

Рассмотрим четыре наиболее часто решаемых задачи в сети.

1.Задача о максимальном потоке. Рассматривается транспортная сеть дорог. Вершины графа – города, станции и т.д. Дуги графа – дороги. На дугах задают нагрузки – пропускные способности дорог. Выбирается один пункт отправления А и один пункт назначения В. Требуется среди возможных потоков по всей сети выбрать такой поток из пункта А в пункт В, чтобы нагрузки на каждой дуге обеспечили максимальное суммарное количество груза, перевозимого из А в В (т.е. максимальный поток в сети).

Задача о максимальном потоке может быть решена с использованием алгоритма Форда–Фалкерсона.

2.Задача минимизации сети. Пусть каждая дуга сети

характеризуется неотрицательной стоимостью (стоимость проезда, протяженность). Задача состоит в нахождении ребер, соединяющих все узлы сети и имеющих минимальную суммарную стоимость.

Приближенный алгоритм ее решения сводится:

– к выбору любого узла и соединению его с ближайшим узлом сети, в результате чего получается связное множество из соединенных двух узлов и несвязное множество;

множества, и присоединении его к последнему множеству;

– процесс коррекции связного множества повторяется до тех пор, пока в него не попадут все узлы сети.

Пример. Телевизионная фирма планирует создание кабельной сети, связывающей 5 районов-новостроек (рис. 3.22). Числа на ребрах графа указывают длину кабеля. Узел 1 – телевизионный центр. Отсутствие ребра между узлами означает, что соединение соответствующих новостроек либо связано с большими затратами, либо невозможно. Требуется найти соединение кабелем районовновостроек, чтобы длина его была минимальной.

Рис. 3.22

Решение.

После применения алгоритма, минимальная сеть будет иметь вид , показанный на рис. 3.23.

5

5

3

Рис.3.23

Определить план замены автомобилей, обеспечивающий при этом минимальные расходы.

Решение.

Найдем минимальные расстояния:

U1=0; U2=U1+d12=0+4=4;

U3=min(U1+d13,;U2+d23)=min(0+5,4;4+4,3)=5,4;

U4=min(U1+d14,; U2+d24, ; U3+d34)=min(0+9,8; 4+6,2; 5,4+4,8)=9,8;

U5=min(U1+d15,;U2+d25,;U3+d35,;U4+d45)= =min(0+13,7;4+8,1; 5,4+7,1; 9,8+4,9)=12,1.

Кратчайший путь 1-2-5 со стоимостью 12,1 усл. ед. Это означает, что каждый автомобиль ремонтируется через 2 года, а через 5 лет списывается.

4. Задачи сетевого планирования и управления (СПУ).

Пусть имеется некоторый план работ (строительство, регламентные работы, производство, технологический процесс и т.д.). Этот план моделируется сетевым графиком. С математической точки зрения сетевой график (СГ) – орграф, не имеющий циклов, с одним источником и одним стоком. Источник является начальным событием (факт начала выполнения работ), сток – завершающим событием (факт окончания выполнения всех работ). Дуги трактуются как операции, вершины – как события окончания очередной операции и начала следующей. Каждая дуга нагружена числом – временем, необходимым на выполнение этой операции.

В СПУ ставятся следующие задачи:

1)отыскание минимального времени выполнения всего проекта (критического времени);

2)отыскание тех операций, которые существенно влияют на критическое время; их совокупность образует так называемый критический путь;

3) отыскание резервов времени.

Методы СПУ разработаны в 60-е гг. двадцатого столетия и

относятся к одному из разделов современной теории управления

большими системами. Впервые системные методы планирования

были оформлены в США в виде системы ПЕРТ или метода

критического пути («Critical Path Scheduling»).

Построение и расчет сетевого графика

В сетевом планировании имеются два основных элемента – работа

и событие.

Работа – это часть планируемого процесса (мероприятие), связанная с затратами времени, труда, средств и ресурсов.

На СГ работы изображаются стрелками, над которыми записываются наименования работ, а под ними – их продолжительность и другие числовые характеристики.

Для экономии времени и по другим причинам работы обозначают буквами А,В,С и т.д. Работы бывают:

-действительные – с затратами труда и времени;

-работа-ожидание – с затратами времени;

-фиктивные работы – для связи между результатами работ, не требующие затрат времени и ресурсов.

Событие – факт завершения одной или нескольких работ и

начало следующих за ними работ. Обозначаются события чаще всего кружками.

Разработка сетевого графика включает следующие основные этапы:

1.Составление технологической таблицы.

2.Построение СГ, его проверка и упрощение.

3.Расчет временных показателей СГ.

4.Оптимизация СГ.

1-й этап. Составление технологической таблицы

Планируемый процесс с момента его начала постепенно расчленяется на отдельные работы (мероприятия). При выделении работ устанавливаются зависимости между ними. Продолжительность выполнения работ устанавливается на основании действующих нормативов или по экспертным оценкам специалистов. В итоге составляется технологическая таблица.

2-й этап. Построение СГ, его проверка и упрощение

Согласно технологической таблице, на листе бумаги изображаются последовательно, начиная с исходного, события и работы. СГ выполняется обычно карандашом. При построении сетевых моделей необходимо соблюдать следующие правил:

1.Сеть изображается слева направо, каждое событие с большим порядковым номером изображается правее предыдущего. Общее направление стрелок, изображающих работы, также в основном должно быть расположено слева направо.

2.Два соседних события могут объединяться только одной работой. Для изображения параллельных работ вводятся промежуточное событие и фиктивная работа. На рис. 3.25 показано неправильное изображение двух параллельных работ и правильное с введением третьей фиктивной работы.

Рис. 3.25

3. В сети не должно быть «тупиковых» событий – промежуточных событий, из которых не выходит ни одна работа (рис. 3.26).

Рис. 3.26

4.В сети не должно быть «хвостовых» событий, которым не предшествует хотя бы одна работа (рис. 3.27).

Рис. 3.27

5.В сети не должно быть замкнутых контуров, состоящих из взаимосвязанных работ, создающих замкнутую цепь (рис. 3.28).

Рис. 3.28

6.Составленный СГ тщательно проверяется, выявляются и устраняются наиболее характерные ошибки: неправильное изображение параллельных работ, наличие «хвостовых» и «тупиковых» событий, замкнутых контуров, отсутствие необходимых пунктирных стрелок. Большое число пересечений стрелок не является ошибкой, но усложняет последующий расчет. Поэтому после построения СГ следует избавиться от всех усложняющих график элементов. На рис. 2.29 показан исходный СГ, на рис. 3.30 – СГ, полученный после упрощений.

2

3

5

4

4

Рис. 3.29

Рис. 3.30

3-й этап. Расчет временных показателей СГ

К основным временным показателям СГ относятся: ранние и поздние сроки наступления событий, резервы времени событий, критическое время.

Пусть t(i, j) – продолжительность операции (i, j) .

1) tр ( j) – ранний срок свершения события с номером j – это

самый ранний момент времени, к которому завершатся все работы, предшествующие этому событию. Если j 0, то ранний срок

исходного события t p (0) 0. Ранний срок любого другого события

определяется по наибольшему из продолжительности путей, ведущих от исходного события в данное. Продолжительности этих путей вычисляются путем сложения ранних сроков совершения событий, предшествующих данному, последовательно с продолжительностями работ, изображенных стрелками, входящими по отношению к данному событию.

t p ( j) max (t p (i) t(i, j),

(i, j) U j

где U j – множество работ, входящих в j событие.

2) tp (i) – поздний срок наступления события i – самый поздний

момент времени, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ, следующих за этим событием. Для нахождения позднего срока любого из событий выявляются все стрелки, выходящие по отношению к данному событию. Находятся разности между поздними сроками совершения последующих событий работ, изображенных этими стрелками, и их

продолжительностями. Из разностей определяется минимальная, которая и является поздним сроком данного события.

tп (i) min (tп ( j) t(i, j),

(i, j) U i

где U i – множество работ, выходящих из i события.

3) R(i)– резерв времени события i. Резерв показывает, на какой

предельно допустимый срок может задержаться совершение события i без изменения срока наступления итогового события.

R(i) tп (i) t p (i).

У критических событий ранние и поздние сроки совершения совпадают, ибо резерв времени у них равен нулю.

4) Ткр – критическое время – это время, необходимое для

выполнения всех работ критического пути. Критический путь должен начинаться с исходного события, проходить через события и работы, не имеющие резервов, нигде не прерываясь, и заканчиваться в завершающем событии. Критический путь имеет наибольшую продолжительность (критическое время). Все работы и события, лежащие на критическом пути, – критические. Остальные работы и события – некритические (ненапряженные) и обладают резервами времени, которые позволяют передвигать сроки их выполнения, не влияя на общую продолжительность выполнения всего комплекса работ.

5)Rп (i, j) – полный резерв времени работы (i,j) – это

максимальное количество времени, на которое можно задержать начало работы или увеличить ее продолжительность, не нарушая критический срок. Полный резерв представляет разность между максимальным отрезком времени, в течение которого может быть выполнена операция, и ее продолжительностью.

Rп (i, j) tп ( j) tp (i) t(i, j) .

6) Rc (i, j) – свободный резерв времени работы (i,j) – это

минимальное время, на которое можно отсрочить начало работы или увеличить продолжительность работы при условии, что все события наступают в ранние сроки.