2042

которая вместе с заданными значениями входных переменных позволяет определить выходные переменные в данный тактовый момент и состояние в следующий тактовый момент.

Будем считать, что входные и выходные переменные, а также внутренние состояния конечного автомата принимают значения из некоторых конечных алфавитов. Пусть Xi – алфавит входной

переменной xi , а Yi – алфавит выходной переменной yi . Конечный автомат с n входами и m выходами характеризуется входным

упрощенном виде конечный автомат можно представить в виде

Пусть Q1,Q2,...,Qk – конечные алфавиты переменных состояния q1,q2,...,qk , тогда множество состояний (алфавит) Q Q1 Q2 ...Qk .

Подчеркнем, что все указанные алфавиты конечны.

Из разъяснений понятия состояния, приведенных ранее, следует,

1 -м такте однозначно определяется входными переменными x и состоянием q в предыдущем такте, то есть q 1 x ,q . Функции q 1 , y часто называют характеристическими

При анализе автоматов бывает удобным пользоваться языком графов, который позволяет переносить на автоматы многие понятия и методы теории графов, являясь в то же время весьма наглядным.

Граф автомата строится таким образом, что его вершины соответствуют состояниям автомата и однозначно помечаются символами из множества Q (каждый символ из Q используется ровно

один раз как пометка некоторой вершины). Каждому переходу из одного состояния автомата в другое соответствует ориентированное ребро графа (дуга), помеченное в общем случае символом из входного алфавита X и символом выходного алфавита Y ; эти символы для удобства разделены наклонной чертой, причем вверху указываются символы (номера) входного, а внизу – выходного алфавитов. Кратные ребра в графе не обязательны, их можно заменить одним ребром, помеченным дизъюнкцией соответствующих условий переходов из одного состояния автомата в другое. Если условие перехода требует более одного входного воздействия, то соответствующая дуга помечается конъюнкцией всех требуемых входов.

На рис. 5.3 показан граф, построенный в соответствии с приведенной выше общей таблицей переходов (см. табл. 5.3).

Так как из состояния 0 автомат переходит в состояния 1, 2,3, то из вершины 0 графа исходят дуги в вершины 1, 2,3. При этом переход

в состояние 1 совершается под воздействием входа 2 и ему соответствует выход 0, поэтому дуга из вершины 0 в 1 помечается как

20 . Переход в состояние 2 совершается под воздействием 1 и ему соответствует выход 0, поэтому дуга из вершины 0 в 2 помечается как 10 . Переходы в состояние 3 совершаются под воздействием 0 и 3 и им обоим соответствует выход 0, поэтому дуга из вершины 0 в 3

помечается как дизъюнкция 00 30 . Аналогично определяются и

другие дуги графа. Петли соответствуют переходам, при которых состояния не изменяются.

Рассматриваемый автомат переходит из состояния 2 в 2 под воздействиями 1 и 2, которым соответствуют выходы 0 и 1. Поэтому

петля при вершине 2 помечается как дизъюнкция 10 21 .

Матрица переходов (или матрица соединения) автомата А представляет собой квадратную таблицу, в которой номера строк и столбцов соответствуют номерам состояний. Клетка матрицы на пересечении i -й строки и j -го столбца заполняется дизъюнкцией пар

«вход-выход», которая приписана дуге графа, исходящей из i -й в j -ю

вершину. При отсутствии такой ветви клетка заполняется нулем (или остается свободной).

Рис. 5.3

Для рассматриваемого примера получена табл. 5.4.

Полное описание поведения автомата заключается в определении последовательности выходных сигналов при возбуждении его в тактовые моменты времени некоторой последовательностью входных сигналов. Входная и выходная последовательности представляются

характеристических функций, необходимо определить или задать начальное состояние автомата.

Реакцию автомата на входную последовательность удобно определять по его графу. Для этого требуется проследить путь в графе, начиная от вершины начального состояния, по направлению дуг, которые отмечены очередными номерами из входной последовательности. Выходная последовательность определяется номерами, которыми отмечены дуги в порядке их следования по пройденному пути, а последовательность состояний автомата –

Типы конечных автоматов

Различают комбинационные и последовательностные автоматы.

Для комбинационных автоматов характерно то, что каждая совокупность состояний выходов однозначно определяется одним или несколькими комбинациями входов. В общем случае действие

такого автомата можно описать некоторыми однозначными функциональными зависимостями между его входными и выходными переменными:

y1 1 x1,..., xn ; y2 2 x1,..., xn ;

…………………;

ym 1 x1,..., xn .

Таким образом, для комбинационных автоматов функция перехода не имеет смысла, а функция выходов вырождается к виду y x . Их называют автоматами без памяти или

тривиальными автоматами. Схема такого автомата изображена на рис. 5.1.

П р и м е р . Пусть на входе имеются три переменные x1, x2, x3 , а на выходе – две логические функции y1, y2 . Допустим, что на выходах

комбинационный, то изменение комбинации состояния его выходов

x2 0; x3 1). Каждая комбинация выходов однозначно определена той или иной комбинацией входов. Тогда выходную функцию y1

можно выразить булевыми функциями:

y1 x1 x2 x3; y1 x1 x2 x3 x1 x2 x3

или представить таблицей истинности (табл. 5.5).

В последовательностных автоматах одна и та же совокупность состояний входных символов может в разные тактовые моменты цикла определять разные состояния выходных функций. Например, на -м такте при совокупности входов x1 1; x2 0; x3 0 выходная

функция y1 0, а на k -м такте при такой же совокупности

входов выходная функция y1 1 (табл. 5.6). Таким образом, условия работы этого автомата противоречивы.

последовательностью прихода входных сигналов. Такой автомат не может быть построен без введения дополнительных внутренних переменных, кодирующих последовательность отработки тактов автомата, которые называют элементами памяти z (табл. 5.7).

Переменная z является одновременно и функцией выхода и входной переменной, однако не изменяет количество входных переменных и на блок-схеме автомата имеет вид обратной связи. В этом случае функция y1 будет определена следующими логическими

выражениями:

y1 x1 x2 x3 z ; y1 x1 x2 x3 z .

Наличие памяти z обусловливает внутренние состояния автомата q , которые, в свою очередь, определяют выходную функцию y ,

наряду с состояниями входов x . Очевидно, в последовательностных

автоматах присутствуют и функции переходов и функции выхода.

Если характеристические функции и определены для всех наборов из множества X Q , то такой автомат называют полным;

если определена только функция , то автомат называют полным по переходам. В случае, когда функции и определены не для всех функций набора из множества X Q , автомат называют неполным

или частично определенным и его таблицы выходов и переходов будут иметь некоторые незаполненные клетки.

Определение общей модели автомата связывают обычно с автоматом первого рода, называемым также автоматом Мили. Если выходные переменные являются функцией только состояния, то имеем автомат второго рода или автомат Мура, т.е. для автомата Мура y q .

10

Рис. 5.6

Согласно табл. 5.9, автомат на выходе независимо от своего начального состояния просто сдвигает все входные символы на одну позицию вправо. Обычно такой автомат называют автоматом задержки на один такт. Граф его представлен на рис. 5.6.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение конечного автомата.

2.Укажите структурную схему конечного автомата и дайте комментарии к ней.

3.Дайте определения основным типам конечных автоматов.

4.Укажите способы задания конечных автоматов.

x1 y3

Представить этот автомат общей таблицей переходов.