2042
.pdfФормулы F и Q логики предикатов называются раваносильными на множестве М, если при подстановке в них вместо предикатных переменных любых предикатов, определенных на множестве М, формулы превращаются в равносильные предикаты. Обозначается F=Q.
Равносильные преобразования формул
Переход от формулы к равносильной ей формуле называется
равносильным преобразованием исходной формулы.
Для формул логики предикатов сохраняется справедливость всех правил равносильных преобразований логики высказываний. Кроме того, справедливы следующие свойства:
1. Перенос квантора через отрицание.
( x)A(x) = ( x) A(x); |
( x)A(x) = ( x) A(x). |
2. Вынесение квантора за скобки. |
|
( х)(А(х) & B) = ( x)A(x) & B; |
( x)(A(x) & B) = ( x)A(x) & B; |
( х)(А(х) B) = ( x)A(x) B; |
( x)(A(x) B) = ( x)A(x) B. |
3. Перестановка одноименных кванторов. |
|
( y)( x)A(x,y) = ( x)( y)A(x,y); |
( y)( x)A(x,y) = ( x)( y)A(x,y). |
4. Переименование связанных переменных. Если заменить связанную переменную формулы А другой переменной, не входящей в эту формулу, в кванторе и всюду в области действия квантора получаем формулу, равносильную А.
Исчисление предикатов базируется на приведенных выше свойствах и правилах, называемых аксиомами.
Какими бы ни были формулы А и В, для них справедливы следующие аксиомы:
1)A (B A);
2)(A (B C)) ((A B) (A C));
3)( B A) (( B A) B);
4)( xi)A(xi) A(xj), где формула А(хi) не содержит переменной xi.
5)A(xi) ( xj)A(xj), где формула А(хi) не содержит переменной xi. Пример. Используя равносильности алгебры высказываний и
логики предикатов, преобразовать равносильным образом формулу(( х)(Р(х) ( х)(Q(x) R(x))).
Решение.
((х)(Р(х) (х)(Q(x) R(x)))
Закон де Моргана
((х)(Р(х)) (х)(Q(x) R(x))
Перенос квантора через отрицание |
|
|
(х)(Р(х)) (х)(Q(x) R(x)) |
Закон импликации |
(х)(Р(х) (х)(Q(x) R(x)) |
|
|
Закон двойного отрицания, |
|
закон де Моргана |
(х)(Р(х) (х)(Q(x) R(x)). |
|
|
Применение логики предикатов к логико-математической практике
Алгебра высказываний и алгебра предикатов находят широкое приложение как в самой математике, так и во многих технических областях. Запись задачи на языке логики предикатов есть своеобразная модель одной из сторон научно-исследовательского процесса. Происходит переход от своего рода «технической постановки» задачи к математической постановке, с тем чтобы в процессе решения можно было использовать математические методы.
Пример. Записать определение равномерной непрерывности функции на множестве на языке алгебры предикатов.
Решение.
Функция f(x) называется равномерно-непрерывной на множестве М, если абсолютная величина разности между значениями функции для каждой пары точек может быть меньше любого наперед заданного как угодно малого положительного числа, если эти точки достаточно близки друг к другу.
Символически на языке алгебры предикатов :
()( )(x1x2 M )( |
|
x1 x2 |
|
|
|
f (x1) f (x2 ) |
|
) . |
|
|
|
|
Логика предикатов и алгебра высказываний помогают хорошо ориентироваться в комплексе теорем:
АВ ( прямая теорема); В А ( обратная теорема);
АВ ( противоположная прямой теореме);
ВА (противоположная обратной теореме).
По закону контрапозиции имеем (А В) (В А), т.е.
вместо прямой теоремы можно доказать эквивалентную ей обратнопротивоположную теорему.
Пример. Для теоремы «Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно-перпендикулярны» сформулировать и записать на языке алгебры предикатов обратную, противоположную и противоположную обратной теоремы.
Решение. Введем предикаты, заданные на множестве всех четырехугольников: Р(q) – «четырехугольник q есть ромб» и Q(q) –
« в четырехугольнике q диагонали взаимно перпендикулярны». Тогда прямая теорема на языке алгебры предикатов может быть
записана в виде ( q)P(q) Q(q) .
Обратная теорема: пусть q – произвольный четырехугольник, тогда если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то четырехугольник есть ромб (теорема неверна) или
( q)Q(q) P(q) .
Противоположная теорема: пусть q – любой четырехугольник, тогда если q – не ромб, то его диагонали не перпендикулярны
(теорема неверна) или ( q)P(q) Q(q) .
Противоположная обратной теореме: пусть q – произвольный четырехугольник, тогда если диагонали четырехугольника не перпендикулярны друг к другу, то четырехугольник не является
ромбом (теорема верна) и ( q)Q(q) P(q) .
Каждое уравнение и неравенство с одним неизвестным представляет собой одноместный предикат, заданный, чаще всего, над множеством вещественных чисел. Все решения того или иного уравнения или неравенства представляют собой множество истинности соответствующего предиката. Решение уравнения или неравенства есть не что иное, как равносильное его преобразование. Процесс равносильных преобразований есть уникальный синтез математики и логики: математическое существо подвергается логическому анализу. Непонимание законов логики приводит к запутыванию в случаях и подслучаях, математика здесь не выручает. Придумываются различные методы решения (например, метод интервалов), позволяющие не упустить ни одной возможности, но они все вторичны. Первична логика равносильных преобразований.
Пример. Записать решение неравенства 
5 х x 1 в виде последовательности равносильных предикатов.
Решение.
5 х x 1 x 1 0 5 x (x 1)2 x 1 0 5 x 0
(x 1) (x2 3x 4 0) (x 1) (x 5)
(x 1) ( 4 x 1) (x 1)
( 1 x 1) (x 1) (x 1).
Логика этих преобразований такова. Предикат x 5 |
является |
|||||
следствием |
предиката |
x 1, т.е. |
предикат (x 1) (x 5) |
|||
является |
тождественно |
истинным, |
а значит, и предикат |
|||
(x 1) ((x 1) (x 5)) |
также |
тождественно |
истинен. |
|||
Поскольку |
предикат |
|
с |
обратной |
импликацией |
|
((x 1) (x 5)) (x 1) |
тождественно истинный, то приходим к |
|||||
равносильности предикатов |
(x 1) (x 5) и |
x 1, |
чем мы |
|||
воспользовались в процессе преобразований.
Рассмотрим принцип математической индукции, который является одной из аксиом, определяющих множество N натуральных чисел, предложенных в 1891 г. итальянским математиком Джузеппе Пеано (1858–1932).
Пусть Р(n) – некоторый предикат с областью определения N.
Высказывание (n) : P(n) |
истинно, если истинно высказывание |
P(1) (k)P(k) P(k 1) . |
Это утверждение, как и любая другая |
аксиома, не требует доказательства. Но если взять конкретный предикат Р(n), определенный на N, то для него надо проверять истинность высказывания Р(1) и истинность высказывания ( k)P(k) P(k 1). Если они оба истинны, то истинна и
вышеуказанная конъюнкция, значит, по принципу математической индукции, истинно и высказывание (n)P(n).
Пример. Доказать, что при любом натуральном n выражение
4n 15n 1 делится на 9.
Доказательство. При n=1 число 4+15–1=18 делится на 9. Предположим, что выражение 4k 15k 1 делится на 9. Тогда
4k 1 15(k 1) 1 4 4k 15k 14
4(4k 15k 1) 45k 18 4(4k 15k 1) 9(5k 2).
Оба слагаемых в правой части делятся на 9, значит, вся левая часть делится на 9. Следовательно, по принципу математической
индукции, утверждение (n) 4n 15n 1 делится на 9.
Контрольные вопросы
1.Дайте определение предиката, приведите пример.
2.Что такое квантор?
3.Что такое множество истинности предиката?
4.Приведите классификацию предикатов.
5.Сформулируйте основные правила построения формул.
6.Приведите классификацию формул логики предикатов.
Упражнения
1.Какие из следующих предложений являются предикатами:
а) «х делится на 5», ( х N ); б) « x2 2x 4», ( x R);
в) «река х впадает в озеро Байкал» (х пробегает множество всевозможных рек).
2.Прочитайте следующие высказывания и определите, какие из них истинные, а какие ложные, считая, что все переменные пробегают множество действительных чисел:
а) ( x)( y)(x y 7); б) в) ( x)( y)(x y 7) ; г)
( y)( x)(x y 7); ( x)( y)(x y 7).
3.Введя подходящие одноместные предикаты на соответствующих областях, переведите следующие высказывания на язык логики предикатов:
а) все рациональные числа действительные; б) ни одно рациональное число не является действительным;
в) некоторые рациональные числа действительные; г) некоторые рациональные числа не являются действительными.
4.Изобразите на координатной прямой множества истинности следующих предикатов:
а) (x 2) (x 2); б) (x 2) (x 2); в) (x 2) (x 2); г) (x 2) (x 2) .
5. Запишите решение следующих неравенств и уравнений в виде последовательности равносильных предикатов:
а) |
3x 5 |
1; б) log 3 |
x 5 |
2. |
|
2x 4 |
x 3 |
||||
|
|
|
Расчетно-графическая работа по разделу «Элементы математической логики»
1. Для заданной булевой функции трех переменных:
а) построить таблицу истинности, найти двоичную форму булевой функции и привести функцию к СДНФ и СКНФ; б) с помощью эквивалентных преобразований привести функцию к ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ.
2.Найти функцию проводимости данной -схемы , если возможно, упростить схему.
3.По заданным условиям работы построить упрощенную схему.
4.Записать высказывания на языке логики предикатов.
5.Найти множество истинности для предикатов.
Вариант 1
1. (x y) (z x). 2.
x 
x 
y 
y 
c
.
3. f (0,0,1) f (0,1,1) f (1,1,0) 1.
4.Всякое натуральное число, делящееся на 12, делится на 2,4 и 6.
5.М 1,2,3,4,5,...,19,20 , «х – четное число».
Вариант 2
1.(x y) (z x).
|
y |
|
x |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
x |
|
|
3. f (0,0,1) f (0,1,0) f (1,0,0) 1.
4.Жители Швейцарии обязательно владеют или французским, или итальянским, или немецким языком.
5.М 1,2,3,4,5,...,19,20 , «х – нечетное число».
Вариант 3
1. (x y) (z x) . 2.
x
x |
y |
|
c
3.f (0,1,1) f (0,1,0) (1,1,1) 1
4.Некоторые змеи ядовиты.
5.М 1,2,3,4,5,...,19,20 , «х<10».
Вариант 4
1. (x y) (z x).
2.
xx
y
yc
3. f (0,1,1) f (0,1,0) f (1,0,0) 1.
4.Все собаки обладают хорошим обонянием.
5.М 1,2,3,4,5,...,19,20 , «х –квадрат натурального числа» «х –
квадрат натурального числа».
Вариант 5
1. (x | y) (z x).
2.
c
y 
y x
3. f (1,0,1) f (0,1,0) f (0,0,0) 1.
4.Функция, непрерывная на отрезке [0,1] , сохраняет знак или принимает нулевое значение.
5. М 1,2,3,4,5,...,19,20 , «х – квадрат натурального числа» «х – четное число».
Вариант 6
1. (z x) (y | x).
2.
x
y
c
yx
3. f (0,0,1) f (0,1,0) f (1,1,0) 1.
4.Все ромбы являются параллелограммами.
5.М 1,2,3,4,5,...,19,20 , «х – квадрат натурального числа» «x<10».
Вариант 7
1. (x | y) (z x). 2.
x
y 
x y
c
3.f (0,1,0) f (0,0,0) f (0,1,1) 1.
4.Некоторые параллелограммы являются ромбами.
5.М 1,2,3,4,5,...,19,20 , «х – нечетное число» «2 не делит х».
Вариант 8
1. (z x) (x | y).
2.
x 
x |
c |
3. f (1,0,1) f (0,1,0) f (0,0,0) 1.
4.Ни один параллелограмм не является ромбом.
5.М 1,2,3,4,5,...,19,20 , «х – четное число» «х не делит 8».
Вариант 9
1. (z x) (x | y). 2.
xx
y
c y
3. f (0,0,1) f (0,1,0) f (1,1,1) 1.
4. Некоторые ромбы не являются параллелограммами.
5. Изобразить на координатной прямой множество истинности предиката: x 4.
Вариант 10
1. ((x y) z) y . 2.
x
y
x y
3.f (0,1,1) f (0,0,0) f (1,0,1) 1.
4.Ни один ромб не является параллелограммом.
5.Изобразить на координатной прямой множество истинности
предиката: x 4.
Вариант 11
1. ((x y) z) | y .
2.
x
x 
c
y 
3. f (0,1,1) f (0,1,0) f (1,1,1) 1.
4.Все параллелограммы являются ромбами.
5.Изобразить на координатной прямой множество истинности
предиката: x 4 1.
Вариант 12
1. (x y) (z y).
2.
x
x 
c
y
3.f (0,1,1) f (0,1,0) f (1,0,0) 1.
4.Записать определение монотонной последовательности.
5.Изобразить на координатной прямой множество истинности
предиката: x 3 2.
Вариант 13
1.((x y) z) y.
2.
x
y
x
y 