2042

3.f (0,1,1) f (0,1,0) f (0,0,1) 1.

4.Записать определение ограниченной последовательности.

5.Изобразить на координатной прямой множество истинности

предиката: x 4 3.

Вариант 14

1. (x y) (z y). 2.

c

x

x

yy

3.f (0,0,1) f (0,1,0) f (0,0,0) 1.

4.Записать определение предела сходящейся последовательности.

5.Изобразить на координатной прямой множество истинности

предиката: x2 6x 16 0.

Вариант 15

1. ((x y) | z) y .

2.

y

y

x x

3. f (0,1,1) f (1,0,1) f (1,1,1) 1.

4. Записать определение фундаментальной последовательности (или последовательности Коши).

5. Изобразить на координатной прямой множество истинности предиката: x2 0.

Вариант 16

1. (x y) (z x) .

2

x

c

y

x y

3. f (0,1,1) f (0,0,0) f (1,0,1) 1.

4.Записать определение возрастающей функции.

5.Изобразить на координатной прямой множество истинности

предиката: x 2 5.

Вариант 17

1.((x y) z) x . 2.

x x y

3.f (0,1,0) f (1,0,1) f (0,0,1) 1.

4.Записать определение четной функции.

5.Изобразить на координатной прямой множество истинности

предиката: x 1 2x 4 .

Вариант 18

1.(x | y) (z y) .

5. Изобразить на координатной плоскости множество истинности двухместного предиката, заданного на множестве действительных чисел: x 3y 6.

Вариант 23

1.((x y) z) y 2.

x

y

x

3.f (0,1,1) f (0,1,0) f (0,0,0) 1.

4.Существует число, которое является простым.

5.Изобразить на координатной плоскости множество истинности двухместного предиката, заданного на множестве действительных чисел: xy 0.

Вариант 24

1. ((x | y) z) y . 2.

x x

c

yy

3.f (0,1,1) f (1,0,0) f (1,1,1) 1.

4.Для каждого числа x существует такое число y, что x<y.

5.Изобразить на координатной плоскости множество истинности двухместного предиката, заданного на множестве действительных

чисел: y lg( x 1).

Лекция 5.5. Логика предикатов

Предикаты и кванторы. Формулы логики предикатов. Равносильные

преобразования формул. Применение логики предикатов к логикоматематической практике.

Предикаты и кванторы

Логика предикатов представляет собой развитие логики высказываний. С помощью формул логики высказываний можно описать и исследовать структуру сложных высказываний, установить их истинность или ложность в зависимости от истинности или ложности входящих в нее простых высказываний. Для описания внутренней логической структуры простых высказываний (т.е. высказываний, не содержащих связок) используется понятие предиката.

Предикат – повествовательное предложение, содержащее предметные переменные, определенные на соответствующих множествах. При замене переменных конкретными значениями (элементами) этих множеств предложение обращается в высказывание, т.е. принимает значение «истинно» или «ложно».

Пусть Mi – множество значений предметной переменной xi , i 1,n . n-местным предикатом P(x1, x2, …, xn) называется логическая

функция вида P(x1, x2,..., xn ) : М M1 М2 ... Мn {И, Л}.

записывалась бы так: Р(х)= «х>A».

Теперь изменим исходный ряд высказываний на другой.:

Р1 – «х1>y1», Р2 – «х2>y2», …,Рn – «хn>yn».

Здесь можно ввести двухместный предикат Р(х)= «х>y» c дополнительной предметной областью y y1, y2 ,..., yn .

Введем трехместный предикат Р(x,y,z)= «x=y+z». Если какойнибудь переменной задать конкретное значение, скажем х=5, то трехместный предикат превратится в двухместный Р(5,y,z)= «5=x+z».

При х=5 и y=3 получим одноместный предикат: Р(5,3,z)= «5=3+z».

Наконец, если добавить условие z=2, то исходный предикат становится нульместным предикатом (константой или

высказыванием), который в данном случае принимает истинное значение: Р(5,3,2)= «5=3+2».

Но могло получиться, что z=1, тогда имело бы место ложное высказывание: Р(5,3,1)= «5=3+1».

Таким образом, при замещении переменной xi предметной переменной ai , происходит превращение n-местного предиката в (n-1) местный предикат. Приписав конкретные значения всем аргументам предикатной функции, получаем предикатную константу.

Важную роль в логических представлениях систем, процессов, явлений с использованием предикатов играют собственные связки логики предикатов: общности и существования .

Пусть Р(х) – предикат, определенный на М, т.е. х М . Высказывание «для всех х из М Р(х) истинно» обозначается

( х)Р(х). Знак х называется квантором общности.

Высказывание «существует такой х из М, что Р(х) ложно» обозначается ( х)Р(х). Знак х называется квантором существования.

Переход от Р(х) к ( х)Р(х) или ( х)Р(х) называется связыванием переменной х, или навешиванием квантора на переменную х (или на предикат Р), или квантификацией переменной х.

Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной, несвязанная квантором переменная называется свободной.

Вставляя кванторы перед предикатами, мы как бы усиливаем или ослабляем их действие. Если выражение Р(х) – переменное

высказывание, зависящее от х, то выражения ( х)Р(х) или ( х)Р(х) не зависят от переменной х и при фиксированных значениях Р и М превращают одноместный предикат в высказывание.

Пример. Пусть х определен на множестве людей М, а Р(х) –

предикат «х – смертен». Тогда выражение ( х)Р(х) означает «все люди смертны». Оно не зависит от переменной х, а характеризует всех людей в целом, т.е. выражает суждение относительно всех х множества М.

Выражение, на которое навешивается квантор, называется

областью действия квантора.

Пример. Пусть Р(х) – «х – четное число». Тогда высказывание ( х)Р(х) истинно на любом множестве М четных чисел и ложно, если

М содержит хотя бы одно нечетное число. Высказывание ( х)Р(х) истинно на любом множестве, содержащем хотя бы одно четное число, и ложно на любом множестве нечетных чисел.

Операцию связывания квантором можно применять и к предикатам от большего числа переменных. Навешивание квантора на n-местный предикат уменьшает в нем число свободных переменных, превращая его в (n-1)-местный предикат.

одноместный предикат от y – «для всех х из множества М

точке y=0. Если навесим квантор на вторую переменную x y(x y) ,

то тогда истинность получим лишь на множестве, состоящем из одного элемента.

При перестановке кванторов общности и существования меняется смысл высказывания, т.е. кванторы не обладают в общем случае свойством коммутативности.

Пример. Пусть предикат Р(х,y) описывает отношение « х любит y». Рассмотрим предложения, соответствующие различным вариантам навешивания кванторов:

1) х yP(x, y) – « для любого человека х существует человек y, которого он любит» или «всякий человек кого-нибудь любит»;

2) y xP(x, y) – существует такой человек y, что его любят все х»;

3) y xP(x, y) – для всякого человека существует человек, который его любит» или « каждого человека кто-то любит»;

4) x yP(x, y) – «существует человек, который любит всех людей». Множеством истинности предиката P(x1, x2 ,..., xn ) , заданного над

множествами M1,M2 ,...,Mn , называют совокупность упорядоченных наборов (a1,a2 ,...,an ) M1 M2 ... Mn , таких, что данный предикат обращается в истинное высказывание P(a1,a2 ,...,an ) при подстановке

Выражение можно рассматривать как одноместный предикат, где

рассматривать на следующей области определения: 1) М=N, тогда P 1 ;

2)М=Z, тогда P 1,2 ;

3)М=R, тогда P 1,2, 2 .

Пример. Найти множество истинности предиката « x2 y2 0»,

множество, состоящее из всех таких упорядоченных пар (x1, x2 ) , что

x1 M1, x2 M2 и x2 y2 0.

Р ( 3, 3), ( 3,1), ( 3,2), ( 2, 3), ( 2,1), ( 1, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3) .

Предикаты называются:

–тождественно истинными, если М=Р+;

–тождественно ложными, если Р+= ;

–выполнимыми (опровержимыми), если Р+≠ (если М-Р+≠ ).

Пример. Исследуем на выполнимость трехместный предикат

xP(x, y, x) .

Рассмотрим множество натуральных чисел с нулем N0.

Если Р – предикат суммы S, то для формулыxS(x, y, x) существует постановка константы вместо свободной

переменной y=0, при которой формула xS(x,0, x) становится истинной.

Если Р – предикат произведения П, то для формулыxП(x, y, x) существует подстановка константы вместо свободной

переменной y=1, при которой формула xП(x,0, x) становится истинной. Таким образом, предикат xP(x, y, x) выполним, так как Р+≠ . Два n-местных предиката P и Q , заданных на одном и том же

Формулы логики предикатов