2042
.pdf
2.
x
x 
c
y 
3. f (0,1,1) f (0,1,0) f (1,1,1) 1.
4.Все параллелограммы являются ромбами.
5.Изобразить на координатной прямой множество истинности
предиката: x 4 1.
Вариант 12
1. (x y) (z y)
2.
x
x 
c
y
3.f (0,1,1) f (0,1,0) f (1,0,0) 1.
4.Записать определение монотонной последовательности.
5.Изобразить на координатной прямой множество истинности
предиката: x 3 2.
Вариант 13
1.((x y) z) y
2.
x
y
x
3.f (0,1,1) f (0,1,0) f (0,0,1) 1.
4.Записать определение ограниченной последовательности.
5. Изобразить на координатной прямой множество истинности предиката: x 4 3 .
Вариант 14
1. (x y) (z y) 2.
c
x
x
yy
3.f (0,0,1) f (0,1,0) f (0,0,0) 1.
4.Записать определение предела сходящейся последовательности.
5.Изобразить на координатной прямой множество истинности предиката: x2 6x 16 0.
Вариант 15
1. ((x y) | z) y
2.
y
y
x x
3. f (0,1,1) f (1,0,1) f (1,1,1) 1.
4.Записать определение фундаментальной последовательности (или последовательности Коши).
5.Изобразить на координатной прямой множество истинности предиката: x2 0 .
Вариант 16
1. (x y) (z x)
2.
x
c 
y
x 
y 
3.f (0,1,1) f (0,0,0) f (1,0,1) 1.
4.Записать определение возрастающей функции.
5.Изобразить на координатной прямой множество истинности
предиката: x 2 5 .
Вариант 17
1.((x y) z) x 2.
x 
x
y
3.f (0,1,0) f (1,0,1) f (0,0,1) 1.
4.Записать определение четной функции.
5.Изобразить на координатной прямой множество истинности
предиката: x 1 2x 4 .
Вариант 18
1.(x | y) (z y)
2.
x |
c |
|
|
|
|
y |
y |
x |
|
||
|
|
3. f (0,1,1) f (0,1,0) f (0,1,1) 1.
4. Записать определение периодической функции.
5. Изобразить на координатной плоскости множество истинности двухместного предиката, заданного на множестве действительных чисел: x y .
Вариант 19
1.(x y) (z y)
2.
x
yx
y
3. f (0,1,1) f (0,1,0) f (1,1,1) 1.
4.Записать определение предела функции в точке.
5.Изобразить на координатной плоскости множество истинности двухместного предиката, заданного на множестве действительных
чисел: x y .
Вариант 20
1.((x y) z) y 2.
c
y y x
3. f (0,1,1) f (0,1,0) f (1,0,1) 1.
4.Записать определение функции, стремящейся к бесконечности в точке.
5.Изобразить на координатной плоскости множество истинности двухместного предиката, заданного на множестве действительных
чисел: x2 y2 9 .
Вариант 21
1.((x y) z) y
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
2. |
y |
|
x |
|
|
|
|
||
3. f (0,1,1) f (0,0,0) |
f (1,0,1) 1. |
|||
4.Записать определение непрерывности функции в точке.
5.Изобразить на координатной плоскости множество истинности двухместного предиката, заданного на множестве действительных
чисел: x2 y .
Вариант 22
1.((x y) z) y 2.
x
c x 
y
3.f (0,1,1) f (0,1,0) f (1,0,0) 1.
4.Каждое рациональное число есть действительное число.
5.Изобразить на координатной плоскости множество истинности двухместного предиката, заданного на множестве действительных
чисел: x 3y 6 .
Вариант 23
1.((x y) z) y 2.
|
|
|
|
x |
3. |
f (0,1,1) |
f |
(0,1,0) |
y |
f (0,0,0) 1. |
||||
|
|
x |
|
|
4. |
Существует |
число, которое является простым. |
||
|
|
|
y |
|
5. Изобразить на координатной плоскости множество истинности двухместного предиката, заданного на множестве действительных чисел: xy 0 .
Вариант 24
1. ((x | y) z) y
|
|
x |
x |
|
|
|
|||
|
|
y |
c |
|
2. |
|
y |
||
f (0,1,1) f (1,0,0) f (1,1,1) 1. |
||||
3. |
||||
4.Для каждого числа x существует такое число y, что x<y.
5.Изобразить на координатной плоскости множество истинности двухместного предиката, заданного на множестве действительных
чисел: y lg( x 1) .
Вариант 25
1. (x y) (z x)
2.
|
|
x |
|
x |
|
|
||
|
|
|
||||||
|
|
c |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y |
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||
|
|
|
|
|
||||
3. |
f (0,1,1) f (0,1,0) f (0,0,1) 1. |
|||||||
4, |
Все ромбы являются параллелограммами. |
|||||||
5. |
Изобразить на координатной плоскости множество истинности |
|||||||
двухместного предиката, заданного на множестве действительных чисел: y 1x .
Раздел 5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА
Лекция 5.1. Введение в теорию автоматов
Языки и грамматики. Определение конечного автомата. Способы задания
автоматов. Типы конечных автоматов.
Языки и грамматики
В математической кибернетике изучаются языковые процессы в кибернетических системах. Такие системы настроены заранее на решение только штатных задач и не могут перестраиваться на решение нештатных для них задач. Поэтому кибернетические системы называют сильноформальными. Процессы решения задач, которые происходят в кибернетических системах, относятся к информационно-логическим процессам. Информационно-логические процессы происходят в особой среде, которую называют языковой.
Язык – знаковая (символьная) система. Языки бывают естественные (например, русский язык) и искусственные (например, язык программирования).
Во всяком языке различают три его стороны: синтаксис, семантику и прагматику. Синтаксис отвечает на вопрос правильности формы (структуры) языка. Семантика отвечает на вопрос содержания (смысла) языка. Прагматика отвечает на вопрос целесообразности языка. Общие вопросы синтаксиса и семантики рассмотрены в разделе 4 «Математическая логика». В математической кибернетике изучают прагматику языка, связанную с применением языка в кибернетических системах. В кибернетических системах на первое место выходят специальные вопросы синтаксиса языка, которые изучаются в таких разделах, как грамматика и автоматы. Грамматика – средство порождения (синтаксиса) правильных форм языка, а автомат – средство восприятия (анализа) правильных форм языка. Содержанием языка ни в грамматике, ни в теории автоматов не интересуются.
Алфавитом называется произвольное непустое конечное множество А а1,а2,...,аn , элементы которого называются буквами,
или символами.
Словом в алфавите А называется произвольная цепочка букв алфавита x ai1ai2...aik . Число букв в слове называется длиной слова х
и обозначается |
|
x |
|
k . В |
случае |
длины k 0 |
слово называется |
|
|
||||||
пустым. Множество всех |
слов в |
алфавите А |
обозначается А , |
||||
множество всех непустых слов обозначается А .
Языком L в алфавите А называется подмножество слов в А,
L A . |
|
A a,b,c – алфавит. Тогда ab, aaa, c, abaccc – |
|||||||||
Пример. Пусть |
|||||||||||
непустые слова в А. |
При |
этом |
|
ab |
|
2. Подмножество |
всех |
||||
|
|
||||||||||
однобуквенных слов в А образует язык L1 a,b,c . Подмножество |
|||||||||||
всех |
двухбуквенных |
слов |
образует |
язык |
|||||||
L2 aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc из девяти слов. |
|
|
|||||||||
Соединением |
(или |
конкатенацией) |
слов x ai1ai2...aik |
и |
|||||||
x ai1ai2...aik в алфавите |
А а1,а2,...,аn |
называется |
бинарная |
||||||||
операция x y xy ai1ai2...aik ai1ai2...aik . Говорят, что слово х входит в слово y, если существует пара слов v,v , таких, что y uxv. При
этом слово u называется началом слова y, а слово v – концом слова y. Про слово х говорят, что оно первый раз входит в слово y, если начало слова u не содержит вхождения слова х.
Если L1 и L2 два языка в алфавите А, то соединением (или
конкатенацией) этих языков называется язык из всех возможных соединений слов хy этих языков, т.е.
L3 L1 L2 L1L2 xy : x L1; y L2 .
При этом будем обозначать степенью многократное соединение одного и того же языка
L L1; LL L2,...,Ln 1L Ln .
Объединение всех степеней языка L называют итерацией этого языка и обозначают
L Ln .
n 0
Теорема. Множество всех языков в алфавите А с операцией объединения и соединения языков образуют алгебру.
Язык как множество можно задать перечислением слов или описанием свойств слов. Среди языков будем рассматривать те, которые можно порождать при помощи грамматик.
Грамматикой (порождающей) называется упорядоченная четверка G 
A,V ,S,P
, в которой: А – внешний алфавит с
элементами, называемыми буквами, или терминальными символами; V – внутренний алфавит с элементами, называемыми переменными, или нетерминальными символами, причем А V ;
S – выделенная переменная S V , называемая аксиомой;
Р – конечное число правил подстановки (замены) вида , где называется левой частью правила, а – правой.
Пример. Язык L anbn : n 1 в алфавите А a,b порождается следующей грамматикой: G 
A,V ,S,P
. Здесь V S , Р: 1) S ab, 2) S aSb.
Определение конечного автомата
Типичными кибернетическими системами являются автоматы. К автоматам относятся устройства детерминированного преобразования слов некоторого конечного входного алфавита в слова некоторого конечного выходного алфавита. Такими преобразователями являются как реальные устройства (компьютеры, живые организмы и т.д.), так и абстрактные системы (аксиоматические теории, математические машины).
В контактных и логических схемах комбинации значений переменных на входах в данный момент времени определяют значения выходных переменных. Такое понимание автомата как преобразователя информации является упрощенным. Существуют более сложные, не функциональные преобразователи информации. В более общем случае выходные переменные могут зависеть от значений входных переменных не только в данный момент, но и от их предыдущих значений, т.е. от того, что было на входе раньше, от входной истории. Такие преобразователи и принято называть автоматами.
Если число различных элементов входной информации у преобразователя есть конечное число (как и в конечном функциональном преобразователе), то и число возможных входных историй конечно. Поскольку автомат может вести себя по-разному
для каждой возможной предыстории, то такой автомат должен иметь память, чтобы помнить все эти предыстории. Если к тому же число различных элементов выходной информации также конечно, то описанная модель называется конечным автоматом.
Кроме входных и выходных переменных выделим совокупность промежуточных переменных, которые связаны с внутренней структурой автомата. В функциональных преобразователях промежуточные переменные непосредственно не участвуют в соотношениях вход-выход. Напротив, в преобразователях, которые мы назвали автоматами, выходные функции в качестве своих аргументов, кроме входных переменных, обязательно содержат некоторую совокупность промежуточных переменных, характеризующих состояние автомата. Набор всех возможных состояний, которые присущи данному автомату, называется множеством внутренних состояний автомата.
Состояние любой системы неформально можно определить как характеристику, однозначно определяющую её дальнейшее поведение, все последующие реакции системы на внешние события. Это означает, что на один и тот же входной сигнал конечный автомат может реагировать по-разному, в зависимости от того, в каком состоянии он находится в данный момент. При получении входного сигнала конечный автомат выдает информацию на выход как функцию этого входного сигнала и текущего состояния и, кроме того, меняет свое состояние, так как входной сигнал изменяет предысторию.
В теории автоматов принято считать, что автоматы работают дискретным образом, то есть входные и выходные переменные, а также внутренние состояния не являются непрерывными функциями во времени, а изменяются мгновенно в фиксированные моменты времени, называемые тактами. Предполагается, что конечный автомат может иметь только одно состояние из конечного множества внутренних состояний между двумя тактами. Интервал времени между двумя (различными) тактами, в котором состояние остается неизменным, называют тактом автоматного цикла
(продолжительность такта автоматного цикла не обязательно является постоянной величиной). Переход автомата из одного внутреннего состояния в другое зависит только от порядкового номера такта.
Таким образом, состояние конечного автомата в любой тактовый момент характеризуется значениями такой совокупности переменных,