Методика решения задач по оптике для студентов инженерных специальностей

4

вспомогательная оптическая ось BD, которой

*.

параллелен луч АК.

Состав

Согласно формулам зеркала и увеличению в

зеркале (см. формулы (1.1), и (1.5) в §1) имеем:

им

1

1

1

1

1

1

полную

(1)

′

систе

f − d = F

− f

+ d = − F и

(1 )

му

(2)

Г =

f

уравне

.

d

′

ний

более физична:

Заметим, что формула зеркала (1 )

1

1

1

(1)

−

=

,

f

d

F

f

Г =

(2)

,

d

(3)

L = f + d .

1

1

1

(4)

−

=

,

L − d

d

F

L − d

Г =

(5)

.

d

(3)

k

≈ S .

1

F1

Заметим, что выполнить построение

изображения

при

условии

F1<<F2

не

представляется возможным, поэтому в нашем

случае

справедливо

лишь

простое

неравенство

F1<F2, значит, выражение (3) у нас является

заниженным.

Окуляр же (вторая линза микроскопа)

действует как лупа (см. формулу (1.6) в §3.1):

(4)

k2

≈

L ,

F2

где L – расстояние наилучшего зрения (L = 0,25

м). Однако из рисунка видно, что формула (4) дает

*

завышенное значение.

2

.

d1

Об

f

d 2

Ок

M

1

A

f 2

O

B2

F

O

F2

B

. . 1 .F1

.2

B

. 2

.

F

1

.

1

S

d1 ~ F1

K

k1 = S / F1

(F <<F )

D

f 1~~ S

.

1

2

(O

E) || (O K)

A1 .

1

2

E

F1 =20 мм

k

= f

/ d

~ L / F

F2 =40

мм

2

2

2

~

2

S =100

мм

k = k1 * k2

N

A2

4*. Составим полную систему уравнений для нахождения

искомой величины k:

(1)

k = k1 k2 ,

k1

≈ S F1 ,

(3)

(4)

k

2

≈ L F .

2

Система трех уравнений (1), (3), (4) замкнута, так как

содержит три неизвестные величины: k,

k1, k2.

- 53 -

k =

0,1 0,25

≈ 31.

0,02 0,04

середины

этой линии,

точки N , умозрительно восстановлен

перпендикуляр на экран, обозначая центр O интерференционной

картины.

Источники находятся на расстоянии d = 1 мм друг от

друга и на расстоянии

L = 2 м от экрана, испуская свет с

1*. Дано:

3*.

Решение.

λ = 550 нм =

Анализ

задачи.

Главная

задача

интерференции

сводится

к

вычислению

= 0,55 10-6 м,

оптической

разности

хода

= r

− r

взаимодействующих волн. Вычислим

2

1

d = 1 мм =

в точке М экрана (см. рис.) для когерентных волн,

идущих из источников S1 и

S2

и проходящих

= 10-3 м,

геометрические

пути r1

и

r2

соответственно.

L = 2 м,

Показатель преломления среды равен единице в

нашем случае (среда – воздух).

k = 2.

По теореме Пифагора имеем (см. рис.):

(1)

2

2

−

d

2

r1

= L

+ x

2

,

x – ?

d 2

2

2

(2)

+ x

+

.

r2

= L

2

Максимум

освещенности

согласно

общей

теории интерференции (см. формулу (2.1) в § 2)

наблюдается, когда оптическая разность хода

равна четному количеству полуволн:

(3)

= 2k

λ .

2

2*.S

.

d

.

S

C

N

1

2

.

.

d/2

r2

d/2

L

r1

M

O

экран

k=2

k=1

k=0

k=1

k=2

x

- 55 -

определение разности хода

(см. выше):

2)2 ,

(1)

r2

= L2 + (x − d

1

2

2

+ (x + d

2

(2)

r2

= L

2) ,

= 2k λ

,

(3)

= r

2

(4)

− r .

2

1

Система четырех уравнений (1) – (4) замкнута, так как

содержит четыре неизвестные величины: r1, r2 ,

, x.

5*. Решим систему уравнений

(1)

– (4)

относительно х.

(r1 + r2 )(r1 − r2 )= 2xd,

(5)

r22 = L2 + (x + d 2)2 ,

(2)

r2 − r1 = 2k λ .

(6)

2

x =

2 2 0,55*10−6

= 2,2 10−3 (м)= 2,2(мм).

10−3

9*. Ответ:

x

=

Lkλ

= 2,2 10−3м = 2,2 мм.

d

***************

Задача 11

Найти «продолжительность жизни» t

Солнца, если считать его

абсолютно черным телом и предположить, что максимум энергии

излучения Солнца приходится на длину волны

λm = 0,5 мкм.

Известны

масса

Солнца M = 1,98 1030 кг

и

его радиус

R = 6,95 108 м.

Решение.

1*. Дано:

3*. Анализ задачи. С одной стороны,

λm = 0,5 мкм =

изменение

массы

Солнца

происходит

= 5 10−7 м,

вследствие потери энергии Е на излучение.

Так, согласно закону Стефана-Больцмана (см.

M = 1,98 1030кг,

формулу (3.1) в § 3.3) за время t c поверхности

S Солнца расходуется энергии Е:

R = 6,95 108 м,

(1)

Е = ε(Т) S t =σТ4S t,

где

ε(Т)−интегральная

излучательная

b ≈ 3 10−3м K,

способность, то есть мощность излучения с

единицы поверхности Солнца, Т – абсолютная

σ = 5,67 10−8

температура,

σ −

постоянная

Стефана-

Больцмана. Заметим, что поверхность S

Вт

,

Солнца можно найти, приняв его за шар с

радиусом R:

м2 К4

(2)

S = 4πR2 .

c = 3 108 м/с.

С

другой

стороны,

вследствие

взаимосвязи энергии Е и массы М солнца (см.

формулу (4.2) в § 4) имеем:

(3)

Е = Мс2 ,

где с – скорость света в вакууме.

t – ?

Абсолютную температуру Т можно найти

из правила смещения Вина (см. формулу (3.3)

в § 3):

(4)

λm = b T ,

4*. Составим

где b – постоянная Вина.

полную систему уравнений для нахождения

искомой величины t:

Е = σТ4 S t,

(1)

S = 4πR2 ,

(2)

Е = Мс2 ,

(3)

λm = b T .

(4)

Система четырех уравнений (1) – (4) замкнута, так как

содержит четыре неизвестные величины: Е, Т, S,

t .

5*. Решим систему уравнений

(1) – (4) относительно t.

[t]=

кг м2 с2 м4

=

кг м2 с2

=

кг м2 с

=

м2 Вт (м2 К4 ) м4 К4

Вт

Дж

=

кг

м2

с

= с.

кг

м с2

м