Методика решения задач по оптике для студентов инженерных специальностей

ϕ – ?

воспользоваться

дважды

законом

преломления

Снеллиуса (см. формулу (1.11) в §3.1) в сочетании

с аккуратным и грамотным геометрическим

построением хода луча через призму:

(1)

sin i1

= n ,

(2)

sin i2

= 1 .

sin i1′

sin i2′

n

Из

рассмотрения

соотношения

углов

в

соответствующих

треугольниках

рисунка

последовательно находим:

(3)

ϕ =π − ВСD =π −(π − CBD − BDC)=

= CBD + BDC = (i1 −i1′)+ (i2′ −i2 )= i1 +i2′ −

−(i1′ +i2 )= i1 +i2′ −θ,

а также:

(4)

i2 =π −i1′ −(π −θ)=θ −i1′.

2 *.

N

4*. Составим полную

систему

уравнений

для

θ

ϕ

нахождения

искомой

величины ϕ :

C

sin i1

i

B

.

D

i '

(1)

sin i1′

= n,

1 .

i '

i 2

.

2

1

. θ

sin i2

1

(2)

sin i′

= n

,

K

2

(3)

ϕ = i1 + i2′ −θ,

Q

M

i2 =θ − i1′.

(4)

Система

четырех уравнений (1)

–

(4) замкнута, так как

содержит четыре неизвестные величины: i1′, i2 , i2′ ,

ϕ .

5*. Решим систему уравнений

(1) – (4)

относительно ϕ .

Выражая из (1) угол i1′

и подставляя в (4), получаем систему трех

уравнений с тремя неизвестными:

sin i

2

=

1

,

(2)

sin i2′

n

(3)

ϕ = i1 + i2′ −θ,

i

= θ

sin i

(5)

2

− arcsin

1

.

n

- 41 -

Подставляя (5) в (2) и выражая из полученного выражения

величину i2′ , имеем систему двух уравнений с двумя

неизвестными:

i2′

sin i

(6)

= arcsin n sin θ − arcsin

1

,

n

ϕ = i1 + i2′ −θ.

(3)

После подстановки (6) в (3) получаем искомую величину в

общем виде:

(7)

ϕ

sin i

= i1 + arcsin n sin θ

−arcsin

n

1

−θ.

[ϕ]

6*. Проверка размерности полученной величины α :

=1+ (1+1)=1, едини

ца измерения – рад (см.

i 2' = i

2 = 0

N

приложение 2).

.

. D

7*.

Анализ

решения.

ϕ = i1

-θ

θ

ϕ

Выражение

в

скобках

sin i

B

π/2

θ −arcsin

1

i 1

. i 1'

n

полученной формулы (7)

Q.

.M

обращается в нуль, когда

sinθ = sin i1 , и значит, i = 0

n

2

(см.

выражение (5)), следовательно, i2′ = 0 . Тогда ϕ = i1 −θ . Это

вполне реализуемая ситуация, когда угол падения увеличивается,

то угол преломления в призме i1′

на грани NQ также растет. При

определенном значении i1′ луч BD, идущий внутри призмы,

становится перпендикулярен грани MN (см. рис.) и не испытывает

преломления на этой грани, и тогда ϕ = i1 −θ .

8*. Вычислим величину ϕ :

π

π

π

sin

3

π

π

ϕ = 3

−

≈ 3 (рад).

1,73

3

+ arcsin 1,73 sin 3

−arcsin

(5) x =

h

(sinα cosγ −cosα sin γ )=

cosγ

= h sinα − cosα sinα n

−

cosα

= hsinα 1

.

2

2

2

2

1−sin

α n

n

−sin

α

π

π

cos 6

≈ 2 10-4 (м)= 0,2(мм).

x =10−3 sin

1

−

2 π

6

2,25 −sin

6

1

−

cosα

≈ 2 10−4 м = 0,2 мм.

9*. Ответ: x = hsinα

2

2

n

− sin

α

1*. Дано:

Решение.

2* .

S

Е = 80 лк,

h

C

h = 2 м,

r

.

V = 15лм/Вт,

L

R

ϕ

o

A

. M

.D

ϕ = 15

=

.

Q.

L/2

= π 12 рад,

L = 1 м.

B.

.K

L/2

ϕ

3*. Анализ задачи.

Источник света будем

P – ?

углы

со

взаимно

перпендикулярными

сторонами).

Связь светового потока Ф и мощности Р

лампы, а также связь светового потока с силой

света I известны из общей теории фотометрии:

(4)

V =

Ф

,

(5)

I =

Ф

.

P

4π

4*. Составим полную систему уравнений для нахождения

искомой величины P :

I cosϕ,

(1)

E =

R2

R2 = r 2 + L2

4,

(2)

r 2 = L2 4 + h2 + Lhsinϕ,

(3)

Ф

V = P ,

(4)

I =

Ф .

(5)

4π

Система пяти уравнений (1) – (5) замкнута, так как

содержит пять неизвестных величин:

I, R, r, P, Ф.

5*. Решим систему уравнений

(1)

– (5) относительно Р.

E =

I

(1)

R

2 cosϕ,

2

2

2

(2)

R

= r

+ L 4,

(3)

r 2 = L2

4 + h2 + Lhsinϕ,

4πI .

(6)

Р =

V

(7)

R2 = L2 2 + h2 + Lhsinϕ,

2

Р =

4πЕR

(8)

.

V cosϕ

[Р]=

лк(м2 + м2 )

=

лм м2

= Вт.

лм Вт

м2 лм Вт

a) ϕ = 0 (отсутствие наклона парты), ,

Р =

4πЕ(L2 2 + h2 )

–

V

b) ϕ → π 2

(наклон

парты

приближается к

вертикали),

, Р → ∞,

то есть с приближением угла наклона парты к

π 2 мощность

лампы

резко растет,

как и сама

освещенность.

8*. Вычислим величину P:

π

4 3,14 80 1 2 + 4 +1 2sin

12

Р =

≈ 3,5 102 (Вт).

15cos π

Р = 4πЕ(L2

12

9*. Ответ:

2 + h2 + Lhsinϕ)≈ 3,5 102 Вт.

V cosϕ

***************

Задача 8

Расстояние между предметом и его изображением в выпуклом

зеркале

L = 30 см.

Уменьшение

изображения

–

Г = 0,4.

Определить фокусное расстояние F такого зеркала.

1*. Дано:

Решение.

T

3*.

Анализ

2*.

L = 30 см =

.M

.B

задачи.

Построим

= 0,3 м,

изображение

АВ

в

D

предмета

P.B.1 .

.A

Г = 0,4.

выпуклом

зеркале. .

..A1

.C

Из теории выпуклых

O

F

. K

___________

сферических

зеркал

F – ?

следует,

что

искомое

N

А1В1

изображение

f

d

(см. рис.) всегда

L

будет уменьшенным

мнимым прямым.

При построении точки В1 использованы два

луча: параксиальный ВМ, параллельный главной

оптической оси АО (его продолжение после

отражения в зеркале MF проходит через фокус F),

и центральный

BD (его продолжение DO идет

через центр зеркала О).

При построении точки А1 использованы два

следующих луча: центральный ОА, совпадающий

с главной оптической осью, и параксиальный AK

(его продолжение после отражения в зеркале KP

проходит через вспомогательный фокус Р).

Заметим,

что

нами

была

использована

- 49 -