Методика решения задач по оптике для студентов инженерных специальностей

В.В. Бурмистров

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по курсу

ОПТИКА+ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ИНЖЕНЕРНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ

= 2h n2 − n02 sin2 i

«КИ МГОУ» - 2010

В.В. Бурмистров

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по курсу

ОПТИКА+ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ИНЖЕНЕРНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ, РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ

Издание четвертое, стереотипное, исправленное и дополненное для дистанционного обучения

Рекомендовано кафедрой физики КИ МГОУ

в качестве учебного пособия для студентов инженерных специальностей

Коломна

«КИ МГОУ» - 2010

- 1 -

УДК 535 (075)

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры общей и специальной физики Обнинского института атомной энергетики ТихоненкоА.В.; канд. тех. наук, доцент кафедры теоретической и прикладной механики Коломенского института МГОУ ЕвдокимовВ.В.

Научный редактор: Беспалов Б.Б. Технический редактор: Тарасова Н.А. Компьютерная графика: Тарасова Н.А.

БурмистровВ.В.

«Методика решения задач по курсу Оптика + для студентов инженерных специальностей.» Методические указания, контрольные задания, решения и ответы.: Учеб.

пособие для вузов/В.В. Бурмистров – 4-е изд., стер. – К.: КИ МГОУ, 2010. – 343 с.: ил.

Пособие «Методика решения задач по курсу Оптика + для студентов инженерных специальностей. Методические указания, контрольные задания, решения и ответы» написано как дополнение одноименного учебника автора; на примере большого количества разнообразных задач автором реализована новая полностью формализованная «последовательная методика

единогофизико-математическогоподхода».

Предназначено для студентов ВУЗов, преподавателей и специалистов в области оптических явлений.

Оригинал-макет данного издания является собственностью автора, и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия автора запрещается и преследуется по закону.

- 2 -

ПРЕДИСЛОВИЕ

k третьему изданию

Настоящее учебно-методическое пособие является дополнением одноименного учебника автора, а также дополнением второго издания задачника «Методика решения задач по курсу «Оптика + для студентов

инженерных специальностей. Методические указания и контрольные задания». Целью данного пособия является действенная помощь студентам инженерно-технических специальностей высших учебных заведений в решении разнообразных задач по общему курсу «Оптика» в условиях крайнего дефицита аудиторного времени, отводимого на практические занятия в программе курса. На примере большого количества разнообразных задач (~300) автор демонстрирует применение своей новой полностью формализованной «последовательной методики единого физико-математическогоподхода».

Предлагаемый материал содержит «усеченные» решения и числовые ответы на все контрольные задачи. Прежде всего, студенту надлежит внимательно ознакомиться с методикой решения задач и методическими указаниями к их решению (§§ 1,2); затем отыскать в пособии свои контрольные задачи, так как нумерация задач здесь намеренно отличается от нумерации контрольных задач. В так называемых «усеченных» решениях отсутствуют какие-либо разделы, задачи имеют сквозную нумерацию.

Решения задач являются усеченными, так как в строгом соответствии с разработанной автором полностью формализованной методикой в каждой задаче присутствуют лишь 1-й, 2-й (если рисунок необходим в конкретной задаче), 4-й и 9-й условные пункты решения. Таким образом, студенту оставлен достаточно широкий простор для размышления в виде предложения дополнить решение каждой задачи пунктами 3-м, 5-м, 6-м, 7-м

и8-м. Необходимо заметить, что для успешного решения любой задачи потребуется разобраться в обозначениях, имеющихся в условии задачи и принятых автором на графическом сопровождении задачи (какие-либо словесные пояснения рисунков намеренно отсутствуют!). И конечно же, студенту придется приложить массу усилий для решения систем уравнений

играмотного оформления своих задач согласно «указаниям к решению задач», изложенным в задачнике в §2.

Настоящее пособие может быть использовано как студентами дневных инженерно-технических специальностей, так и студентамизаочниками. Последним предлагаемое пособие может оказать особую помощь, так как в учебных планах студентов-заочников практические занятия как вид аудиторных занятий вовсе отсутствуют.

- 3 -

§ 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ МЕТОДИКА ЕДИНОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОДХОДА

Критический обзор большого числа задачников по общему курсу физики, выпущенных за последние 40 лет различными авторами, позволяет сделать однозначное заключение об отсутствии какого-либо единого подхода к решению однотипных задач у различных авторов. Более того, один и тот же автор в рамках своего задачника не выдерживает какой-либо единой методики, применимой к решению задач любого раздела общего курса физики.

Подобная ситуация сильно осложняет положение всем начинающим, только что вступившим на путь познания законов мироздания и природы. Ведь за теорией должна неотступно следовать практика. А вот при решении однотипных задач у разных авторов и обнаруживается множество подходов. Безусловно, нельзя отбрасывать возможность решения одной задачи различными способами. Речь идет о необходимости существования единого подхода, понятного всем и применимого к любому разделу общего курса физики. Его-то в настоящее время и не удается обнаружить в качестве необходимого условия получения результата.

В не лучшей ситуации находятся абитуриенты и студенты младших курсов технических вузов. Абитуриенты, не зная требований, предъявляемых тем или иным высшим учебным заведением на вступительных экзаменах, вынуждены постигать неписаные правила поступления примитивным «натаскиванием» материала или активным общением с репетиторами конкретного вуза. Студенты же младших курсов технических вузов, где на изучение объемной программы общего курса физики отводится с каждым годом все меньше и меньше аудиторного времени, вынуждены «переваривать» различные подходы решения задач от семестра к семестру, преподносимые разными преподавателями. Результат освоения ими общего курса физики – недоумение и разочарование в предмете или в преподавателях.

- 4 -

Автор настоящей работы предпринял попытку создать

полностью формализованный подход, применимый к решению задач любого раздела курса общей физики. Новый подход особенно актуален в момент широкого внедрения в практику единого государственного экзамена, когда мышление абитуриента должно быть «более отточенным», четко ориентированным на получение конечного результата. Это предполагает наличие выверенной методики с конкретными этапами решения. В результате, получилась последовательная методика единого физико-математического подхода.

Основная идея предлагаемой методики заключается в разделении решения на три этапа: физический, математический и физико-математический. Причем, первый и второй этапы независимы друг от друга и от третьего этапа. Прямо противоположное можно утверждать о третьем этапе – он полностью зависим как от физического, так и математического этапов. Ни один из разделов какого-либо этапа нельзя упразднить или поменять последовательность их применения. Отсюда название теории – последовательная методика единого физикоматематического подхода.

Физический этап начинается с первого раздела − краткой записи исходных данных и перевода физических величин в одну систему единиц (в нашем случае предпочтение отдается международной системе, то есть СИ). Во втором разделе этого этапа необходимо сделать детальный эскиз (чертеж) с нанесением на нем всех исходных данных и сохранением уже принятых в условии задачи обозначений. Особо подчеркнем, что подавляющее большинство физических задач (в частности, 99% задач по кинематике) требуют наличия эскиза задачи, а сам этот раздел решения является крайне важным для более глубокого осмысления содержания задачи. Можно утверждать больше: 50% успеха решения задачи в целом зависит от грамотного выполнения этого раздела физического этапа.

В третьем разделе физического этапа решения задачи необходимо проделать детальный предварительный анализ условия задачи, обозначив фундаментальные законы, теоретические предпосылки, другие, пусть даже малозначительные, закономерности и принципы, на которых

необходимо определить принадлежность задачи к тому или иному разделу физики, затем – фундаментальные законы, как правило, связанные с именем того или иного ученого, далее – конкретные правила либо принципы, с помощью которых удастся разрешить те или иные вопросы для вычисления искомой физической величины. Таким образом, в этом разделе должен быть намечен конкретный алгоритм описания условий задачи на языке математических формул.

В четвертом разделе физического этапа необходимо описать все явные и неявные данные, фигурирующие в задаче, на математическом языке, то есть в виде формул, и получить, в

конечном счете, замкнутую систему математических уравнений. Желательно сопроводить краткими, но исчерпывающими пояснениями каждое уравнение будущей системы. При этом совершенно необязательно, чтобы все уравнения были, как говорят, «сцеплены». В полученной системе могут присутствовать подсистемы уравнений, и это даже облегчает дальнейшее решение задачи. Главное заключается в том, чтобы количество уравнений системы строго соответствовало количеству неизвестных переменных. Если такую систему удается получить, то первый этап решения задачи

– физический – считается завершенным. В этом случае говорят,

что физическая постановка задачи осуществлена.

Следует оговориться, что полученная система уравнений может быть не замкнута, когда количество неизвестных, как правило, на одну единицу превышает количество уравнений, а все условия задачи исчерпаны. В этом случае, как правило, среди рассматриваемых уравнений присутствуют линейно-зависимые уравнения, или задача не доопределена, то есть некорректно поставлена. Сложность ситуации заключается в том, чтобы «усмотреть» линейно-зависимые уравнения и те неизвестные величины, относительно которых полученная система не может быть разрешена. Здесь на помощь могут прийти математические знания и опыт решения физических задач. Следовательно, и в таком сценарии физический этап решения задачи следует считать завершенным, если исключить некорректную постановку задачи.

Математический этап состоит из одного, но очень емкого раздела. Начинается он с анализа системы уравнений, поиска кратчайшего пути одновременного уменьшения количества уравнений и неизвестных. Здесь очень важна культура

- 6 -

решения систем уравнений, которая должна взращиваться с младших классов общеобразовательной школы на уроках математики. Подчеркнем, что все вычисления производятся в общем виде, следовательно, данный этап совершенно независим от физического этапа решения задачи и тем более – физикоматематического. Завершается математический этап получением искомой величины в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи, включая различные константы. Таким способом получают аналитическое решение задачи.

На математическом этапе не завершается решение задачи. После получения формулы для расчета искомой величины необходимо перейти к физико-математическому этапу решения задачи. На этом этапе осуществляется проверка правильности конечного результата. В первом разделе этого этапа проверяют размерность (единицу измерения) искомой величины. Следует заметить, что в этом разделе достаточно проверить хотя бы единицу измерения (необязательно размерность), если ожидаемая единица измерения искомой величины не вызывает сомнений, и хорошо известны соотношения между другими единицами измерений, входящими в конечную формулу. Таким образом, доходить «до корней» совсем необязательно. При этом в правую часть полученной формулы вместо символов величин следует подставить обозначения единиц этих величин. Очевидно, с этой целью все величины, фигурирующие в задаче, предварительно, в первом разделе физического этапа, были выражены в одной системе единиц. Затем с этими единицами измерений необходимо произвести соответствующие действия, иногда длинные преобразования, и убедиться в том, что полученная при этом единица измерения совпадает с единицей измерения искомой величины. Если такого совпадения нет, то это означает, что задача решена неверно; следует вернуться к первым двум этапам и определить источник ошибки, тщательно проверив исходные уравнения и их преобразования. В противном случае, переходят ко второму разделу физико-математического этапа.

Во втором разделе этого этапа проверяют разумность

результата. При этом необходимо произвести анализ решения задачи, то есть применить полученную формулу в различных частных случаях. Для этого требуется отдельные величины, входящие в конечную формулу, устремить либо к нулю, либо к бесконечности, а, может быть, к π/2 и т.п. Анализ решения должен

- 7 -

продемонстрировать полную пригодность конечного результата для частных случаев. Если в каком-то варианте обнаруживается несуразность, то необходимо найти физическое объяснение этому курьезу либо пересмотреть полученное решение, отыскав ошибку в предыдущих этапах решения задачи. Подчеркнем, что очень часто анализ решения помогает не только проверить правильность полученного результата, но и осознать (прочувствовать) фундаментальность физических законов, быстро запомнить многие формулы, а иногда даже предвосхитить решение будущих задач.

Завершается решение задачи третьим разделом физикоматематического этапа, в котором проверяется разумность числового значения полученной величины. С этой целью в конечную формулу вместо буквенных символов величин необходимо подставить их числовые значения, выраженные, как было уже отмечено, в одной системе единиц. При подстановке в расчетную формулу, а также при записи ответа числовые значения величин следует записывать в стандартном виде: произведение числа А – десятичной дроби с одной значащей цифрой после запятой (1<A<10) – на соответствующую степень основания десять. Окончательный ответ следует, как правило, записывать также в стандартном виде с двумя-тремя значащими цифрами. Полученное в этом разделе число вместе с ранее определенной единицей измерения составляют искомую физическую величину, которую следует сравнить с аналогичными величинами, взятыми из справочника, например. Акцентирование внимания на реальных числовых значениях величин очень полезно для развития физического кругозора и быстрого приобщения к многогранному миру физики. Подавляющее большинство физических задач имеют в условиях задачи реальные числовые значения физических величин.

Необходимо сделать несколько заключительных замечаний прежде, чем перейди к демонстрации применения данной методики на множестве конкретных примеров.

Во-первых, все три этапа решения задачи (восемь разделов) в обязательном порядке присутствуют в каждой задаче, однако не следует думать, что они канонизированы. Следовательно, границы между ними весьма условны, и вовсе не следует сосредотачиваться на безусловном соблюдении формы. Дело,

- 8 -

очевидно, состоит в том, что у нас имеется реальная схема, применение которой гарантирует получение результата.

Во-вторых, может сложиться такая ситуация, когда получить аналитическое решение не удается. Тогда полученную систему уравнений решают одним из известных численных методов. В таком случае тем более необходимы перевод всех величин в одну систему единиц и подстановка их числовых значений в соответствующие уравнения системы. В этом случае имеют дело с приведенными уравнениями для величин.

Дальнейшее решение, применение математического этапа, сводится к выбору и воплощению того или иного численного или графического метода. На физико-математическом же этапе требуется, как и прежде, произвести оценку разумности полученного «готового» результата физической величины. Таким образом, и в этом нетипичном случае, выходящем за рамки школьной программы, предлагаемая методика продолжает работать.

В-третьих, у каждого раздела физики имеются свои особенности, поэтому применение данной методики также имеет отличительные особенности в рамках этих разделов, поэтому желательно сделать соответствующие акценты в методике при разборе решений конкретных задач.

***** § 1… МЕТОДИКА… *****

- 9 -