Методика решения задач по оптике для студентов инженерных специальностей

29

Одномерная

нормированная

волновая

функция

ψn ( x) =

2

nπ

описывает

состояние частицы в

l sin

l

x

бесконечно

глубоком

прямоугольном

ящике

шириной

l = 6 нм

(0 ≤ x ≤ l).

Частица находится

в

возбужденном

состоянии

(n = 3).

Определить координаты

ящика хi , в

которых вероятность обнаружения частицы минимальна.

Пояснить полученный результат графически.

30

Одномерная

нормированная

волновая

функция

ψn ( x) =

2

nπ

описывает

состояние частицы в

l sin

l

x

бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной l .

Частица

находится

в

возбужденном состоянии

(n = 4 ).

Вычислить вероятность w нахождения такой частицы в

последней четверти ящика, то есть когда

3l ≤ x ≤ l .

4

31

Сферически

симметричная

волновая

функция,

описывающая некоторое состояние некоторой частицы,

имеет вид ψ(r) = Вe -r 2

(2d )2 , где r − расстояние частицы

от ядра,

d = 2Å –

константа. Определить

минимальное

расстояние rmin рассматриваемой частицы до ядра.

32

Сферически

симметричная

волновая

функция,

описывающая 1s-состояние электрона в атоме водорода,

имеет вид ψ(r) = Ce -r a , где r − расстояние электрона от

ядра,

а = 0,53 10−10 м−первый

боровский

радиус.

Определить минимальное расстояние rmin электрона до

ядра.

*****

§9 *****

§10. «Усеченные»

решения задач и ответы

Задача1

L,

Вычислить

боковое

смещение

луча

вызываемое

его

прохождением через стеклянную пластинку, погруженную в

жидкость

с

показателем

преломления

nж = 1,3.

Толщина

пластинки

d = 6

см,

показатель преломления nст = 1,5.

Угол

падения луча α = 60o.

1*. Дано:

Решение.

α = 60o = π 3 рад,

2 *. A

d = 6 cм = 6 10-2 м,

α

K

.B

Q

nж = 1,3,

.

N

nст = 1,5.

d

γ

L

l

γ

.

E

L– ?

L

. ..

M

O

C

F

α

D

4*. Составим полную систему уравнений для нахождения

искомой величины

L:

sinα

n

=

(1)

ст ,

sinγ

nж

(2)

l = d

cosγ ,

(3)

L = l sin(α −γ ).

Система трех уравнений (1) – (3) замкнута, так как

содержит три неизвестные величины: γ, l,

L.

9*. Ответ:

L ≈ 1,8 10−2м = 1,8 см.

***************

- 111 -

Задача2

Расстояние между предметом и его изображением в выпуклом

зеркале

L = 30 см.

Фокусное

расстояние

такого

зеркала

F = 14,3 см. Определить увеличение Г этого зеркала.

1*. Дано:

Решение.

2*.

T

.B

L = 30 см = 3 10-1 м

.M

F = 14,3 см = 1,43 10−1м.

.

P.B.1

.D

.A

F..A1

.C

O

. K

N

Г – ?

f

d

L

4*. Составим полную систему уравнений для нахождения

искомой величины Г :

1

1

1

(1)

−

=

,

f

d

F

f

Г =

(2)

,

d

(3)

L = f + d .

содержит три неизвестные величины: f ,

d, Г .

9*. Ответ:

Г ≈ 4,0 10−1 = 0,4.

***************

Задача3

На стеклянный

клин

(n =1,5)

нормально падает

свете равно

x = 0,2 мм.

1*. Дано:

Решение.

x = 0,2 мм =

2* .

= 2 10-4 м,

2

n =1,5,

.A

1

.C

α

′

10

−3

π .

.B

hk

hk+1

α = 4 =

2,7

k

k+1

λ – ?

x

4*. Составим полную систему уравнений для нахождения

искомой величины λ:

(1)

2hk n ± λ 2 = (2k +1)λ 2,

(hk +1 − hk )≈ α,

(2)

x

(3)

2h

n ± λ 2 = (2(k +1)+1)λ 2 .

k +1

Система трех уравнений (1) – (3) не замкнута, так как

содержит четыре неизвестные величины: hk , hk +1, k, α. Однако

уравнения (1) – (3) линейно зависимы относительно переменных

hk , hk +1,

k .

Обозначив hk +1 − hk = θ и вычитая из (3)

уравнение

(1), получим замкнутую систему двух уравнений с двумя

неизвестными величинами θ,

λ:

(4)

2θ n = λ ,

θ

(5)

≈ α .

x

9*. Ответ:

λ ≈ 3,5 10−7м = 350 нм.

***************

Задача4

Три николя расположены так, что угол между главными

плоскостями первого и

второго

равен

ψ1 = π 4, а

второго и

- 113 -

третьего − ψ2 = π 6.

Определить,

какую долю η интенсивности

естественного света

обнаружили в интенсивности выходящего

из третьего николя луча, если потерями на отражение и

поглощение можно пренебречь.

1*. Дано:

Решение.

2* .

B1

ψ1 = π 4 рад,

I1e

I3e

B

o

I2e

B2

I

0

e

e

e

ψ2 = π 6рад.

o

A1

o

A

ψ1 B1 B2

A2

B

ψ2

A A1

A2

оптические

оси

η – ?

4*.

Составим полную систему уравнений для нахождения

искомой величины η :

I1e =

1

I0 ,

(1)

2

I2e = I1e cos2 ψ1,

(2)

I3e = I2e cos2 ψ2 ,

(3)

η = I3e I0 .

(4)

9*. Ответ:

η ≈ 2,0 10−1 = 0,2.

1*. Дано:

Решение.

t = 1 мин = 60 c ,

2* ───

S = 10 см2 = 10−3 м2 ,

4*. Составим полную систему

уравнений для

нахождения

искомой

T = 1002°C ,

величины Q :

ε = kσT

′4

,

(1)

k = 0,7 .

(2)

T′ =T + 273,

(3)

Q = εSt.

Q – ?

трех уравнений (1) –

Система

σ = 5,67 10

−8

Вт

.

(3) замкнута, так как содержит три

неизвестные величины: Q, ε,

T′.

м

2

K

4

9*. Ответ:

Q ≈ 6,3 103 Дж = 6,3 кДж.

***************

1*. Дано:

−3

2 *.

Решение.

d = 1 мм = 10

м,

d

.

.

S1

.

.

S

C

N

2

L = 3 м,

d/2

m = 3 ,

r1

r2

d/2

L

λ = 0,5 мкм =

.

k=2. .

. . .

= 5 10−7 м.

M

O

экран

k=3

k=1

k=0

k=1 k=2 k=3

S – ?

S

(1)

r2

= L2

+(S −d 2)2,

1

2

2

2

(2)

r2

= L

+(S + d 2)

,

= (2m +1)

λ

(3)

,

2

= r2 − r1.

(4)

содержит четыре неизвестные величины: r1,

r2,

,

S.

9*. Ответ:

S ≈ 5,3 10−3м = 5,3 мм.

***************

Задача7

Луч падает

на

плоскопараллельную

пластинку толщиной

h = 1 мм, находящуюся в среде

с

показателем

преломления

n1 =1,

под

углом

α = π 6 рад.

Определить

геометрическую

длину пути L луча в пластинке, если ее показатель преломления

n2 =1,5 .

Решение.

1*. Дано:

h = 1 мм = 10-3м,

*

A

2 .

α

n1 =1,

.

n

K

.B

N

1

Q

α = π 6 рад,

γ

n2

h

L

n2 =1,5 .

γ

.

. ..

E

L

O

C

F

M

L – ?

α

D

4*.

Составим полную систему уравнений для нахождения

искомой величины L:

sinα

n

=

2 ,

(1)

sinγ

n1

L = h cosγ .

(2)

- 116 -

Система двух уравнений (1) – (2) замкнута, так как содержит

две неизвестные величины: γ,

L.

9*. Ответ:

L ≈ 1,1 10−3м = 1,1 мм.

***************

Задача8

В электрической лампочке

диаметр

вольфрамовой

спирали

d = 0,3 мм,

а длина –

L = 5 см. При включении лампочки в

сеть напряжением U = 220 B по спирали течет ток I = 0,5 A.

Найти

температуру

T

спирали, предполагая, что степень

черноты вольфрамовой спирали равна k = 0,8.

1*. Дано:

Решение.

d = 0,3 мм =

d

2*.

= 3 10−4м,

0

L

L = 5 см = 5 10−2м,

I

U = 220 B ,

k

0

I = 0,5 A ,

U

T

k = 0,8.

T – ?

σ = 5,67 10

−

8

Вт

.

м2 K4

2*.

4*.

Составим полную систему уравнений для нахождения

искомой величины T :

ε(T )= kσT 4,

(1)

P = IU,

(2)

(3)

ε(T )= P S ,

S =

πdL + 2 πd

2

4.

(4)

Система

четырех уравнений (1) –

(4) замкнута,

так как

- 117 -

содержит четыре неизвестные величины: ε,

T, P,

S .

9*. Ответ:

T ≈ 3,2 103 K.

***************

Задача9

Калий освещается белым светом с граничными длинами волн

λф = 390 нм

и

λкр = 760 нм.

Определить

наименьшее

задерживающее

напряжение

Umin ,

при

котором

фототок

прекратится. Работа выхода электронов с поверхности калия

равна A = 2,2 эВ.

1*. Дано:

2*.

Решение.

λф = 390 нм =

= 3,9 10-7м,

U , B

λкр = 760 нм =

U

з

= 7,6 10-7м,

min

α=arctg h/e

.

A = 2,2 эВ = 2,2

1,6 10-19 Дж.

A

.

.

α

ν, 1/c

νкр

νгр

=A/h

νф

Umin – ?

e

e = 1,6 10-19 Кл,

c = 3 108 м с,

h = 6,63 10−34 Дж с.

4*.

Составим полную систему уравнений для нахождения

искомой величины Umin :

hν = A +T ,

(1)

T = eUmin ,

(2)

ν =νф,

(3)

с =νф λф.

(4)

Система четырех уравнений (1) – (4) замкнута, так как

содержит четыре неизвестные величины: ν , T , Umin , νф.

9*. Ответ:

Umin ≈ 1,0 В.

***************

- 118 -

некоторой

точке F и образуя угол при вершине

F β =150o.

Определить величину δ двугранного угла.

1*. Дано:

*

Решение.

o

5π

S-источник

β = 150

=

рад.

2.

F

6

.α

.β

.

π−α−2γ

α

.K

B

N

.M

π/2−α

γγ

π/2−γ

δ – ?

π/2

δ

ребро

O.

двугранного

угла

4*. Составим

полную систему уравнений для нахождения

искомой величины δ:

(OKFM)

(1)

β + δ+ π 2 + α+π 2 + γ = 2π,

(2)

δ+ π 2 +π − 2γ −α+ π 2 + γ = 2π,

(OKNM)

(3)

δ+ π 2 −α + π 2 −γ = π.

(OKM)

Система трех уравнений (1) – (3) замкнута, так как

содержит три неизвестных величины: δ, α, γ.

9*. Ответ:

δ =

π

рад.

12