- •Література..........................................................................................94 вступ
- •Моделі і моделювання
- •1.1 Загальні відомості про моделі і моделювання
- •1.2 Співвідношення між моделлю і оригіналом
- •1.3 Класифікація моделей і моделювання
- •1.4 Комп’ютерна модель і її переваги
- •1.5 Етапи створення комп'ютерної моделі
- •2.1 Поняття подібності
- •2.2 Види подібності
- •2.3 Критерії подібності
- •2.4 Теореми подібності
- •2.5 Аналіз розмірностей
- •3 Математичні моделі
- •3.1 Загальна характеристика математичної моделі
- •3.2 Класифікація математичних моделей
- •3.3 Побудова і аналіз математичних моделей
- •Побудова математичної моделі Перевірка адекватності моделі
- •4 Математичні схеми моделювання систем
- •5 Математична модель електричного ланцюга
- •5.1 Компонентні і топологічні рівняння електричного ланцюга
- •5.2 Матриця головних перетинів і її властивості
- •5.3 Матриця головних перетинів довільної схеми
- •5.4 Формування матриці головних перетинів
- •5.4.1 Формування структурної матриці
- •5.4.2. Отримання матриці головних перетинів
- •5.5 Вектор стану електричного ланцюга
- •5.6 Математична модель лінійного електричного ланцюга
- •5.9 Підготовка даних по електричній моделі для введення в еом
- •6 Імовірнісне моделювання
- •6.1 Метод статистичних випробувань
- •6.2 Генератори випадкових чисел
- •6.3 Моделювання випадкових подій та дискретних величин
- •6.5 Моделювання випадкових процесів
- •7 Прийняття рішень за результатами моделювання.
- •7.1 Відображення результатів моделювання
- •7.2 Методи прийняття рішень
- •7.3 Прийняття рішень щодо удосконалення систем
3 Математичні моделі
3.1 Загальна характеристика математичної моделі
У загальному випадку під математичною моделлю об'єкту (системи) розуміється будь-який математичний опис, який відображає з необхідною точністю поведінку реального об'єкту (системи) в реальних умовах. Математична модель відображає записану на мові математики сукупність знань, уявлень і гіпотез дослідника про модельований об'єкт. Оскільки ці знання ніколи не бувають абсалютными, то модель лише приблизно враховує поведінку реального об'єкту.
Математичне моделювання - це засіб вивчення реального об'єкту, процесу або системи шляхом їх заміни математичною моделлю, зручнішою для експериментального дослідження за допомогою ЕОМ.
Математична модель є наближеним представленням реальних об'єктів, процесів або систем, вираженим в математичних термінах і таким, що зберігає істотні риси оригіналу. Математичні моделі в кількісній формі, за допомогою логіко-математичних конструкцій, описують основні властивості об'єкту, процесу або системи, його параметри, внутрішні і зовнішні зв'язки.
У загальному випадку математична модель реального об'єкту, процесу або системи представляється у вигляді системи функціоналів
Фi (X,Y,Z,N,A,t)=0,
де X - вектор вхідних змінних, X=[x1,x2,x3, ... , xN, t],
Y - вектор вихідних змінних, Y=[y1,y2,y3, ... , yN, t],
Z - вектор стану, Z=[z1,z2,z3, ... , zN, t],
N - вектор зовнішніх дій, N=[n1,n2,n3, ... , nN, t],
A – вектор внутрішніх параметрів, А=[a1 , a2 , a3, …, aP ],
t - координата часу.
Приклад: Візьмемо деяку просту систему регулювання, структурна схема якої представлена на рис.3.1.
Математичною моделлю системи є диференціальне рівняння:
k1k2(x-y) або +k1k2y= k1k2x
х
Σ
k1
Рис. 3.1 Система регулювання
Характеристики системи: ; Z(t) = [ z1(t), z2(t)]; z1(t) = y(t); z2 (t)= ; N(t ) = 0; A=[k1, k2 ].
Функціонування системи полягає в зміні характеристик стану в часі. В деяких випадках характеристики стану можуть визначатися у вигляді явних функцій від параметрів системи, вхідних сигналів, початкових умов і часу. У інших випадках модель є системою рівнянь щодо характеристик станів системи і початкових сигналів. При цьому параметри входять в коефіцієнти рівнянь, а вхідні сигнали – в їх праві частини.
Побудова математичної моделі полягає у визначенні зв'язків між тими або іншими процесами і явищами, створенні математичного апарату, що дозволяє виразити кількісно і якісно зв'язок між тими або іншими процесами і явищами, між фізичними величинами, що цікавлять фахівця, і чинниками, що впливають на кінцевий результат. Зазвичай їх виявляється настільки багато, що ввести в модель всю їх сукупність не вдається. При побудові математичної моделі перед дослідженням виникає завдання виявити і виключити з розгляду чинники, що неістотно впливають на кінцевий результат ( математична модель зазвичай включає значно менше число чинників, чим в реальній дійсності). На основі даних експерименту висуваються гіпотези про зв'язок між величинами, що виражають кінцевий результат, і чинниками, введеними в математичну модель. Такий зв'язок часто виражається системами диференціальних рівнянь в приватних похідних (наприклад, в задачах механіки твердого тіла, рідини і газу, теорії фільтрації, теплопровідності, теорії електростатичного і електродинамічного полів).
Форма і принципи представлення математичної моделі залежить від багатьох чинників.
Математичне моделювання, окрім дослідження об'єкту, процесу або системи і складання їх математичного опису, також включає:
побудова алгоритму, що моделює поведінку об'єкту, процесу або системи;
перевірка адекватності моделі і об'єкту, процесу або системи на основі обчислювального і натурного експерименту;
корегування моделі;
використання моделі.
Побудова математичної моделі зазвичай починається з побудови і аналізу простої, найбільш грубої математичної моделі даного об'єкту, процесу або системи. Надалі, у разі потреби, модель уточнюється, виконується її відповідність об'єкту повнішою.
Візьмемо простій приклад. Потрібно визначити площу поверхні письмового столу. Зазвичай для цього вимірюють його довжину і ширину, а потім перемножують отримані числа. Така елементарна процедура фактично позначає наступне: реальний об'єкт (поверхня столу) замінюється абстрактною математичною моделлю – прямокутником. Прямокутнику приписуються розміри, отримані в результаті вимірювання довжини і ширини поверхні столу, і площа такого прямокутника приблизно береться за шукану площу столу.
Проте модель прямокутника для письмового столу – це проста, найбільш груба модель. При серйознішому підході до завдання перш, ніж скористатися для визначення площі столу моделлю прямокутника, цю модель потрібно перевірити. Перевірки можна здійснити таким чином: зміряти довжини протилежних сторін столу, а також довжини його діагоналей і порівняти їх між собою. Якщо, з необхідним ступенем точності, довжини протилежних сторін і довжини діагоналей попарно рівні між собою, то поверхню столу дійсно можна розглядати як прямокутник. Інакше модель прямокутника доведеться відкинути і замінити моделлю чотирикутника загального вигляду. При вищій вимозі до точності може виникнути необхідність піти в уточненні моделі ще далі, наприклад, врахувати закруглення кутів столу.
Найпростіше будується модель, коли добре відомі закони, що визначають поведінку і властивості об'єкту, процесу або системи, і є великий практичний досвід їх застосування. Складніша ситуація виникає тоді, коли наші знання про об'єкт, що вивчається, процес або систему недостатні. В цьому випадку при побудові математичної моделі доводиться робити додаткові припущення, які носять характер гіпотез, така модель називається гіпотетичною. Виводи, отримані в результаті дослідження такої гіпотетичної моделі, носять умовний характер. Для перевірки виводів необхідно зіставити результати дослідження моделі на ЕОМ з результатами натурного експерименту. Таким чином, питання застосовності деякої математичної моделі до вивчення даного об'єкту, процесу або системи не є математичним питанням і не може бути вирішений математичними методами.
Основним критерієм істинності є експеримент, практика в найширшому сенсі цього слова.
Побудова математичної моделі в прикладних завданнях – один з найбільш складних і відповідальних етапів роботи. Досвід показує, що у багатьох випадках правильно вибрати модель – означає вирішити проблему більш, ніж наполовину. Трудність даного етапу полягає в тому, що він вимагає з'єднання математичних і спеціальних знань. Тому дуже важливо, щоб при вирішенні прикладних завдань математики володіли спеціальними знаннями про об'єкт, а їх партнери, фахівці, – певною математичною культурою, досвідом дослідження в своїй області, знанням ЕОМ і програмування.