5.4.2. Отримання матриці головних перетинів

Для отримання матриці необхідно дану систему рівнянь вирішити щодо струмів ребер. Цю операцію можна виконати методом виключення змінних: зі всіх рівнянь, окрім першого, виключається струм i_1, потім зі всіх рівнянь, окрім другого виключаємо струм i₂, і так далі Виключення змінних дозволяє перетворити матрицю так, що в її лівій частині утворюється одинична матриця, а права частина буде шуканою матрицею головних перетинів . В ході перетворення використовується перестановка рядків і стовпців матриці, підсумовування або віднімання рядків. Покажемо це на прикладі перетворення матриці

Така сама матриця була отримана раніше.

5.5 Вектор стану електричного ланцюга

Візьмемо лінійний RLC – ланцюг. Винесемо за межі аналізованого лінійного RLC – ланцюга (рис. 5.5а) незалежні джерела і реактивні елементи L і C.

Рис.5.5 Лінійий електричний ланцюг

До числа незалежних джерел входять джерела живлення і джерела вхідних сигналів. При цьому вважаємо, що аналізована схема не містить керованих джерел і не містить особливостей. Під особливостями зазвичай розуміють замкнуті контури, складені:

а) тільки з джерел напруги (U- контури);

б) тільки з ємкісних елементів (C - контури);

в) з джерел напруги і ємкісних елементів (UC - контури);

або гілки, що містять:

а) тільки джерела струму (J - перетини);

б) тільки індуктивні елементи (L - перетини);

в) джерела струму і індуктивні елементи (JL - перетини).

Частина схеми, що залишилася, після винесення з неї вказаних елементів буде лінійним пасивним R - ланцюгом (рис 5.5.б).

Струми (напруги) в елементах R – ланцюга не змінюються, якщо індуктивні елементи замінити джерелами струму , а ємкісні елементи – джерелами напруги (рис. 5.6 ).

При цьому джерела, що заміщають реактивні елементи, повинні бути такими, щоб їх струми і напруги в кожен момент часу мали ті ж значення, що і струми і напруги відповідних елементів.

Рис.5.6 Пасивний резистивний ланцюг

Пасивний лінійний R - ланцюг, представлений на рис.5.6, знаходиться під впливом джерел двох типів:

а) незалежних джерел живлення і джерел вхідних дій, представлених вектором:

б) джерел заміщення реактивних елементів, представлених вектором:

Останній вектор називається вектором стану.

Напруги і струми незалежних джерел вважаються відомими. Тому напруги і струми елементів RLC - ланцюгa у будь-який момент часу визначаються вектором стану для цього моменту часу.

Метод аналізу схеми, заснований на використанні вектора стану, як незалежна змінна, називається методом змінних стану.

5.6 Математична модель лінійного електричного ланцюга

Математична модель лінійного електричного ланцюга включає:

- рівняння струмів резистивних елементів;

- рівняння стану;

- рівняння виходу.

Розглянемо загальну структуру цих рівнянь.

1. Рівняння струмів резистивних елементів

Хай и - вектори струмів, які включають струми резистивних ребер і струми резистивних хорд. Введемо вектор струмів резистивних елементів

Очевидно

,

де и - матричні коефіцієнти, значення яких визначається топологією ланцюга і значеннями резистивних елементів ланцюга.

Отримане вище рівняння і є рівнянням струмів резистивних елементів.

2. Рівняння стану

Напруга на індуктивному елементі , как відомо, пов'язана із струмом в цьому елементі співвідношенням

Ця напруга діє між відповідними вузлами R - ланцюга, до яких підключений елемент . Очевидно, ця напруга зв'язана лінійною залежністю з векторами і .

або

Струм ємкісного елементу як відомо, пов'язаний з напругою на цьому елементі співвідношенням

,

Цей струм належить R – ланцюгу, витікаючи з вузла і втікаючи у вузол, між якими включений ємкісною елемент . Отже, струм може бути зв'язаний лінійною залежністю з векторами і .

або

Склавши подібні рівняння для всіх індуктивних і ємкісних елементів в тій послідовності, в якій струми і напруга цих елементів представлені у векторі стану їх потім можна об'єднати в одне матричне рівняння:

Дане рівняння носить назву рівняння стану. Значення матричних коефіцієнтів, які в нього входять, і визначаються топологією ланцюга і параметрами елементів ланцюга.

3. Рівняння виходу

Вихід аналізованого ланцюга позначимо через розуміючи під цим або .

Вихід R – ланцюга лінійно пов'язаний з вектором стану і вектором незалежних джерел тобто

Це і є рівняння виходу. Тут і - матричні коефіцієнти, визначувані параметрами схеми.

Слід відмітити, що схема зазвичай має один вихід, тому є скалярна, а не векторна величина.

5.7 Матричні коефіцієнти математичної моделі електричного ланцюга

1. Матричні коефіцієнти рівняння струмів резистивних елементів

Користуючись правилом побудови топологічних рівнянь з використанням матриці головних перетинів

(5.3)

записуємо топологічні рівняння для струмів резистивних ребер і напруги резистивних хорд:

(5.4)

Топологічні рівняння (5.4) доповнимо компонентними рівняннями для резистивних елементів, що зв'язують напругу і струми цих елементів за законом Ома

(5.5)

Тут і - матриці опорів резистивних ребер і резистивних хорд. У цих матрицях елементи, розташовані уздовж головної діагоналі, - опори відповідних резистивних елементів, решта елементів матриць має нульове значення.

Виразимо в (5.4) напруги на резистивних елементах через струми цих елементів, використовуючи компонентні рівняння (5.5), після чого в (5.4) всі члени, що містять струми резистивних елементів, перенесемо в ліві частини рівності.

(5)

(5.6)

(5.7)

Об'єднаємо ці рівняння в одне матричне рівняння

Тут - одинична матриця; - нульова матриця.

З урахуванням введених позначень рівняння прийме вигляд

або

або

де

2. Матричні коефіцієнти рівняння стану

По матриці головних перетинів для довільної схеми

запишемо топологічні рівняння для і .

(5.8)

(5.9)

Компонентні рівняння для індуктивних і ємкісних елементів мають вигляд:

; (5.10)

Підставимо в (5.8) і (5.9) вирази (5.10)

(5.11)

Далі виразимо через , використовуючи (5.5)

(5.12)

Об'єднаємо обидва рівняння в одне матричне. Отримаємо:

Тут і - матриці ємкостей і індуктивностей. У цих матрицях елементи розташовані уздовж головної діагоналі, решта елементів матриць має нульове значення.

Таким чином

(5.13)

Раніше було виведено:

Підставимо це рівняння в (5.13). Отримаємо

або

3. Матричні коефіцієнти рівняння виходу

Відгук Х_вих на виході схеми може стати, як вже наголошувалося, напругою U_вих або струмом і_вих. Якщо Х_вих= U_вих, то його можна представити електричною сумою напруги гілок при обході деякого контура від однієї (початкової) вихідної клеми схеми до другої (кінцевої) клеми.

Якщо Х_вих= і_вих, то він може бути визначений алгебраїчним підсумовуванням струмів гілок, відповідних до вихідного ланцюга.

5.8 Математична модель електричного ланцюга з нелінійними елементами

Сформулюємо математичну модель електричного ланцюга, що має в своєму складі нелінійні резистори або нелінійні реактивні елементи – нелінійні конденсатори і нелінійні котушки індуктивностей.

1. Математична модель ланцюга з нелінійними резистивними елементами

Для виявлення загальної структури рівнянь математичної моделі ланцюга з нелінійними резистивними елементами скористаємося тим же прийомом, який був раніше використаний для отримання структури рівнянь лінійного ланцюга. Винесемо з аналізованої схеми незалежні джерела, реактивні елементи і нелінійні резистивні елементи.

При цьому частина схеми, що залишилася, є лінійною резистивною схемою. Далі проведемо еквівалентну заміну нелінійних резисторів джерелами напруги або струму. Підхід при цьому наступний:

а) якщо j-й нелінійний резистор заміщений джерелом напруги U_{H j}, то струм цього джерела повинен виражатися через його напругу залежністю, відповідній вольт-амперній характеристиці j-го нелінійного резистивного елементу, тобто ;

б) якщо к-й нелінійний резистивний елемент заміщається джерелом струму , то напруга на цьому джерелі повинна виражатися через струм джерела залежністю, що є вольт-амперною характеристикою к-го нелінійного резистивного элемента, тобто .

Представимо вектором напруги джерел напруги, замінюючих групу нелінійних резистивних елементів, а вектором - струми джерел струму, що заміщають ці елементи. Ці вектори, у свою чергу, об'єднаємо у вектор

Таким чином, лінійна резистивна схема виявляється під впливом трьох груп джерел, напруги і струми яких представляються векторами .

На підставі принципу лінійного зв'язку струмів в лінійній резистивній схемі з напругами і струмами джерел, що діють в схемі, можна структуру рівнянь математичній моделі ланцюга з нелінійними резистивними елементами представити в наступному вигляді:

а) рівняння струмів лінійних резистивних елементів

(5.14)

б) рівняння стану

(5.15)

в) рівняння відгуку (виходу)

(5.16)

Як видно, особливість рівнянь математичної моделі ланцюга з нелінійними резистивними елементами, що відрізняє їх від рівнянь лінійного ланцюга, полягає в наявності в правій частині кожного з рівнянь третього члена, що містить вектор .

Система рівнянь (5.14) - (5.16) є неповною, оскільки число невідомих більше, ніж число рівнянь. Доповнимо цю систему рівнянням

(5.17)

Воно відображає залежність струмів і напруг джерел що заміщають нелінійні резистивні елементів від напруги і струмів решти всіх джерел, що діють в схемі.

Система рівнянь (5.14) – (5.17) вже є повною. По рівняннях (5.15) і (5.17) знаходять спочатку вектори і . Потім по значеннях цих векторів проводять обчислення по рівняннях (5.14) і (5.16).

2. Математична модель ланцюга з нелінійними реактивними елементами

При розгляді ланцюгів, що містять нелінійні реактивні елементи, практичний інтерес представляє випадок, коли ємкість нелінійного ємкісного елементу є функцією напруги на цьому елементі

,

а індуктивність нелінійного індуктивного елементу – функція струму в цьому елементі

В цьому випадку значення нелінійних елементів залежать від вектора стану елементами якого є напруга на ємкісних елементах і струми в індуктивних елементах.

Структура рівняння стану ланцюга з нелінійними реактивними елементами може бути прийнята тією ж, що і структура рівняння стану ланцюга, що не містить нелінійних елементів, тобто

(5.18)

Проте матричні коефіцієнти і в цьому випадку є змінними, залежними від вектора стану .

При інтегруванні рівняння (5.18) на кожному кроці інтеграції необхідно виконувати перерахунок коефіцієнтів і відповідно до нового стану вектора .

Матричні коефіцієнти , , і , що входять в рівняння

струмів резистивних елементів і рівнянь виходу не залежать від значень параметрів реактивних елементів.