2.3 Критерії подібності

Очевидно, що поняття подібності фізичних процесів або технічних систем є розвитком поняття афінної подібності. Проте для фізичних процесів не всі масштабні коефіцієнти тj можуть приймати незалежні значення в результаті взаимозависимостей параметрів процесу або системи між собою. Наприклад, при довільному виборі опору певного резистора і напруги на нім струм, який протікає через цей елемент, не може приймати довільного значення. Це створює можливість введення деяких узагальнених характеристик подібних процссов і систем, які є функціями груп залежних і незалежних змінних. Ці узагальнені характеристики отримали назву критеріїв подібності.

Критерій подібності — безрозмірна величина, складена з розмірних фізичних параметрів, що визначають дане фізичне явище. Рівність всіх однотипних критеріїв подібності для двох фізичних явищ і систем - необхідна і достатня умова фізичної подібності цих систем.

Приклади:

Критерій подібності в теоретичній механіці

Критерій подібності механічного руху виходить з рівняння, що виражає другий закон Ньютона і називається числом Ньютона:

,

де — сила, що діє на тіло; — його маса; — час;

— характерний лінійний розмір.

Критерії подібності в теорії пружності

При вивченні пружних деформацій конструкції під впливом зовнішніх сил основними критеріями подібності є коефіцієнт Пуассона для матеріалу конструкції:

і критерії , ,

де — відносна подовжинна деформація;

— відносна поперечна деформація;

— модуль Юнга; ρ — щільність матеріалу конструкції;

F — характерна зовнішня сила; g — прискорення сили тяжіння.

Критерії подібності в електричній системі

Хай електричний ланцюг складається з двох резисторів R₁ і R₂ і джерела ЕРС Е. Згідно другого закону Кірхгофа:

.

Представимо це рівняння у вигляді: .

Робимо рівняння безрозмірним: .

Звідси критерії подібності: ; .

Всяка нова комбінація з критеріїв подібності також є критерієм подібності, що дає можливість у кожному конкретному випадку вибрати найбільш зручні і характерні критерії.

Хай процес описується рівнянням F(x,y,q) = 0. Тоді критерії подібності:

Тут

де α_i, β_j, γ_к можуть набувати довільних значень, у тому числі і нульові.

У конкретному випадку, якщо, наприклад, процес описується інтегральним рівнянням F(x,y,q) = E – iR₁, - iR₂ = 0 маємо {q} = {R₁,R₂},

{x} = Е, {у} = i. Приведення до безрозмірного вигляду дає

1 – iR₁/E - iR₂/E = 0. Це означає, що для всіх подібних процесів повинна виконуватися умова

π₁ = iR₁ /E = = const,

π₂ = iR₂ /E = = const.

Звідси: С₁ = С₂ = 1; ; т.е. α₁ = α₂ = -1.

т.е. β₁ = β₂ = 1.

; т.е. γ₁ = 1.

; т.е. γ₁ = 0; γ₂ = 1.

Якщо відомі рівняння, що описують дане фізичне явище, то критерії подібності для цього явища можна отримати, приводячи рівняння до безрозмірного вигляду шляхом введення деяких характерних значень для кожного з визначальних фізичних параметрів, що входять в систему рівнянь. Тоді критерії подібності визначаться як безрозмірні коефіцієнти, що з'являються перед деякими з членів нової, безрозмірної системи рівнянь. Коли рівняння, що описують фізичне явище, невідомі, критерії подібності відшукуються за допомогою аналізу размерностей, що визначають фізичні параметри.