2.4 Теореми подібності

Забезпечення достовірності отриманих по модельних дослідженнях результатів при проведенні обмеженого числа експериментів при різноманітних поєднаннях параметрів вимагає необхідних і достатніх умов для існування подібності. Ці умови відбиті в трьох теоремах подібності, в яких сконцентрований результат численних досліджень. Перші дві теореми визначають необхідні, третя – необхідні і достатні умови подібності.

Перша теорема подібності, звана теоремою Ньютона або Ньютона—Бертрана, затверджує: що для подібних явищ повинні існувати однакові критерії подібності. У основному сучасному формулюванні, що враховує можливість існування різних видів подібності, перша теорема має наступний вигляд: явища, подібні в тому або іншому сенсі (повно, приблизно, фізично, математично і т. д.), мають певні поєднання параметрів, звані критеріями подібності, чисельно однакові для подібних явищ.

Перша теорема не указує способи встановлення подібності і способи його реалізації, вона лише формує необхідні умови існування подібності (однакові критерії подібності).

Друга теорема подібності, звана π – теоремою, затверджує: всяке повне рівняння фізичного процесу, записане в певній системі одиниць, може бути представлене функціональною залежністю між критеріями подібності, отриманими з параметрів цього процесу. Друга теорема встановлює можливість представлення інтеграла диференціального рівняння фізичного процесу не як функції параметрів процесу і системи, в якій протікають ці процеси, а як функція відповідним чином побудованих деяких безрозмірних величин — критеріїв подібності. Якщо початкове диференціальне рівняння проінтегрувало, то функціональні зв'язки між критеріями подібності будуть однозначно визначені відповідно до тих допущень, які були прийняті при складанні і інтеграції даного рівняння. Якщо ж диференціальне рівняння було відсутнє або не інтегрувалося, то вид функціональних зв'язків між критеріями подібності не буде виявлений. Пізніше, проте, Еренфест-афанасьева привела доказ того, що критерії подібності можна знайти і за відсутності диференціального рівняння процесу на основі аналізу размерностей фізичних величин, що беруть участь в цьому процесі. Ця можливість була сформульована і строго доведена у вигляді теореми, названою π-теоремой, оскільки згадані вище безрозмірні параметри (критерії подібності) позначалися буквою π.

Друга теорема так само, як і перша, не указує способів виявлення подібності і способів реалізації подібності.

Третя теорема подібності визначає необхідні і достатні умови подібності фізичних явищ. Третя теорема подібності утверж дає: необхідними і достатніми умовами для створення подібності явища, що вивчається, є:

• пропорційність подібних параметрів, що входять в умови однозначності;

• рівність критеріїв подібності явища, що вивчається.

Умови однозначності – це умови, що визначають індивідуальні особливості досліджуваного явища. Ці умови не залежать від механізму самого досліджуваного явища.

До них відносяться наступні чинники і умови:

• геометричні властивості системи, в якій протікає процес;

• фізичні параметри середовища і тіл, створюючих систему;

• початковий стан системи (початкові умови);

• умови на межах системи (граничне або краєві умови);

• взаємодія об'єкту і зовнішнього середовища.

Очевидно, не можна математично формулювати умови однозначності в загальному вигляді. У кожному конкретному випадку вони можуть бути різні залежно від роду вирішуваного завдання і виду рівняння. Так, наприклад диференціальне рівняння u = iR + Ldi/dt описує зміну струму в часі у ланцюзі з активним опором R і індуктивністю L при включенні її на u = const. Для виділення певного процесу з сукупності процесів, що описуються приведеним рівнянням, достатньо знати параметри u, R, L і початкові умови, наприклад,

i = i₀ при t = t₀.

Третя теорема подібності іменується також зворотною теоремою подібності або теоремою Кирпічева—Гухмана.