2.5 Аналіз розмірностей

Аналіз розмірностей виник як результат природного розповсюдження на фізичні явища понять геометричної подібності, відношення і пропорції. Дж. Фурье (1768–1830) вперше встановив, що існують певні основні одиниці вимірювання, щодо яких кожна фізична величина має визначені розмірності, які потрібно записувати як показники ступенів основних одиниць вимірювання.

Ідеї, лежачі в основі аналізу розмірностей, по суті очевидні і прості і базуються на фізичних законах (зв'язках між фізичними величинами), вони не залежать від свавілля у виборі основних одиниць вимірювання. З цієї ідеї на основі простих міркувань і застосування простого математичного апарату можна вивести важливе слідство: функції, які виражають фізичні закономірності, повинні володіти деякою фундаментальною властивістю, яка в математиці називається узагальненою однорідністю або симетрією. Ця властивість дозволяє записати шукані закономірності в безрозмірному вигляді, інваріантному щодо вибору систем одиниць вимірювання, з меншим числом аргументів (вже безрозмірних) і тим самим спростити їх (закономірностей) знаходження.

Одиниця вимірювання є мірою, за допомогою якої вимірюється та або інша фізична величина. Цим вимірюванням є пряме або непряме порівняння фізичних характеристик з відповідними (фізично подібними) еталонами, прийнятими за одиницю і званими одиницею вимірювання. Так, період напіврозпаду порівнюється з одиницею вимірювання – роком, швидкість літака порівнюється з одиницею вимірювання швидкості, рівній швидкості рівномірного руху, в якому шлях в один кілометр проходиться за час, рівний одній годині і так далі.

Величини, чисельні значення яких в даних питаннях залежать від вибору одиниць вимірювання, називаються розмірними величинами. Наприклад, енергію можна вимірювати в кілограмометрах, калоріях, тоннах вугілля, кілограмах урану, рублях і ще в багатьох інших одиницях вимірювання.

Одиниці вимірювання фізичних величин підрозділяються на основних і похідних. Величини, для яких одиниці вимірювання вводяться з досвіду за допомогою природних або штучних еталонів, по умові називаються первинними або основними. При цьому самі одиниці вимірювання також називаються первинними. Так, наприклад, для вивчення механічних рухів відомими способами вводяться первинні, або основні, одиниці вимірювання, такі, як довжина, час і маса, причому тут є певна свобода вибору. Так, для опису тих же механічних явищ можна прийняти еталони для сили, довжини і часу.

Одиниці вимірювання для інших величин, які виходять з визначення цих величин через первинних, називаються похідними або вторинними. Визначення фізичної величини завжди указує спосіб її вимірювання, принаймні уявний. Так, щільністю, згідно визначенню, є відношення маси до величини об'єму, який її укладає.

У різних областях науки і техніки вигідно і зручно вибирати як первинні одиниці вимірювання свої місцеві системи первинних одиниць вимірювання. Системою одиниць вимірювання називається сукупність основних одиниць вимірювання, достатня для вимірювання параметрів (характеристик) даного класу явищ. Виникли різні системи одиниць вимірювання і як наслідок – рутинне завдання про перехід (перерахунку) від однієї системи до іншої.

З 1960 року використовується Міжнародна система одиниць СІ (System International d’Unites), в якій основними одиницями вимірювання є метр, кілограм-маса і секунда.

Вираз похідної одиниці вимірювання через основні одиниці вимірювання називається її розмірністю. Розмірність виражає якісну суть фізичної величини, зміряної за допомогою даної системи одиниць вимірювання, і виходить автоматично з визначення цієї величини. Для позначення розмірності фізичних величин вводять символи. У системі СІ символи одиниць вимірювання для основних фізичних величин будуть: L для одиниці довжини, T для одиниці часу і M для одиниці маси. Розмірність деякої фізичної величини f прийнято за пропозицією Максвела позначати через [f]. Важливо підкреслити, що розмірність визначається класом систем одиниць вимірювання і в різних класах систем вимірювання розмірність одної і той же фізичної величини буде різною. Так, наприклад, розмірність сили F в класі LMT буде [F] = MLT ^-2, а в класі MKS, де основними є метр, кілограм - сила и секунда, вона буде [F] = K. Таким чином, у формулі (у функції) розмірності для якої-небудь величини φ,

[φ] = L^α T ^β M ^γ . (2.4)

Аргументи L, T, M виступають як деякі позитивні числа, які можна перемножувати або ділити.

Величини, чисельне значення яких однаково у всіх системах одиниць вимірювання усередині даного класу, називаються безрозмірними, тобто для таких величин в (2.4) α = β = γ = 0. Очевидно, що розмірність безрозмірної величини рівна одиниці. Останні всі величини називаються розмірними.

Приведена вище формула (функція) розмірності фізичної величини (2.4) є степеневий одночлен. Природно виникає питання: чи є фізичні величини, для яких це не так, тобто їх розмірність наприклад в класі LTM, виражається у вигляді M sin L або lg T / e^M ? Насправді таких величин немає і розмірність будь-якої фізичної величини завжди є степеневим одночленом.

Говорять, що набір величин а₁ , а₂ ,…, а_к мають незалежні розмірності, якщо розмірність жодної з цих величин не можна представити у вигляді добутку ступенів розмірностей решти величин. Наприклад, розмірності щільності [ρ] = ML ^-3, прискорення [w] = LT ^-2 і сили [F] = MLT ^-2 незалежні; розмірності довжини [l] = L швидкості [v] = LT ^-1 і прискорення [w] = LT ^-2 залежні, оскільки між размерностями цих останніх величин має місце співвідношення [l] • [w] = [v ²].

Приклад 1.

Кожному фізикові доводилося застосовувати методи аналізу розмірностей до простих задач, зокрема в області механіки.

Почнемо з дуже показової задачі про простий математичний маятник.

Наша мета — знайти без детального рішення задачі деякі співвідношення між різними вимірюваними величинами, які представляють для нас інтерес. Звичайний метод полягає в наступному. Перш за все виписується таблиця величин, від яких, ймовірно, залежить відповідь, далі складаються формули розмірності цих величин і, нарешті, накладається умова, щоб ці величини входили у функціональні зв'язки, не залежні від одиниць, в яких величини зміряні.

Спробуємо цим методом знайти залежність періоду коливання простого маятника змінних, які визначають його властивості. Очевидно, час коливання може залежати від довжини маятника, його маси, прискорення сили тяжіння і амплітуди коливань. Випишемо розмірності цих величин, застосовуючи основну систему одиниць – СІ. Таблиця величин в даному випадку має такий вигляд:

Назва величини Символ Формула

розмірності

Час коливання t T

Довжина маятника l L

Маса маятника m M

Прискорення сили тяжіння g LT ^-2

Кутова величина коливання θ без розмірності

Ми повинні виразити t як функцію l, m, g и T так, щоб функціональне співвідношення залишалося незмінним при будь-якій зміні розміру основних одиниць. Хай це співвідношення має вигляд:

t = f ( l, m, g, θ )

Формули розмірностей показують, яким чином основні одиниці визначають чисельне значення змінних. Чисельна величина періоду коливання залежить тільки від вибраної одиниці часу і не міняється при зміні одиниць маси або довжини. Отже, величини, які стоять под знаком f у правій частині рівняння, повинні бути асоційовані так, щоб вся комбінація залишалася незмінної при зміні одиниць маси і довжини. Зокрема, не повинна відбутися зміна при зміні одиниці тільки одної маси. Але розмір одиниці маси впливає тільки на величину m. Тому, якщо взагалі m входить в аргумент функції, то чисельне значення функції буде іншим при зміні основної одиниці маси, причому ця зміна не може компенсуватися відповідною зміною значень інших кількостей, оскільки останні не залежать від зміни розміру одиниці маси. Отже маса взагалі не може входити у функціональне співвідношення, інакше кажучи, наша функція приймає вигляд:

t = f ( l, g, θ ).

Величини l і g разом повинні входити у функцію так, щоб числове значення аргументу не мінялося при зміні одиниці довжини і постійному t, тобто зміна числової величини l, здійснюване зміною розміру одиниці довжини повинно в точності компенсуватися зміною значення g, що відбувається при такій зміні одиниць. Формула розмірності показує, що для виконання цього необхідно розділити l на g тобто:

.

Далі, зміна основних одиниць не може вплинути на числову величину кутової амплітуди, оскільки вона не має розмірності і отже, θ може входити в невідому функцію будь-яким способом.

Але очевидно, що l / g повинно бути представлено у функції так, щоб вся комбінація мала розмірність Т, оскільки таку розмірність має t, яке стоїть в лівій частині. Звідси ясно, що l / g повинно знаходитися під знаком квадратного кореня, тобто

де φ(θ) – невідома функція.

Далі по міркуваннях симетрії (явище не залежить від правого або лівого початкового відхилення маятника на кут θ₀ ) виходить, що

φ( θ₀ ) = φ(- θ₀ ), тобто функція φ парна. При малих θ функцію φ можна розкласти в ряд

φ(θ) = C₁ + C₂ θ + C₃ θ ² + … = C₁ + C₃ θ ³ + …

Тут прийнято C₂ = 0 через парність функції φ. Для малих коливань члени з ступенями θ ² і вище можна опустити, і тоді для періоду малих коливань получим формулу ( φ ( θ ) = C₁ )

.

Таким чином, для малих коливань маятника за допомогою аналізу размерностей і приведених вище додаткових міркувань формула для періоду коливань визначається з точністю до постійного множника. Далі з простого досвіду з використанням годинника або математичного рішення цієї задачі можна отримати значення константи C₁ = 2π . Звичайно, з досвіду отримуємо не 2π, але близьке до нього значення. Отримана формула

.

справедлива для маятників будь-якої довжини l і в будь-якому полі сили тяжіння (на будь-якій планеті).

Приклад 2.

Приведемо доведення теореми Піфагора. Розглянемо прямокутний трикутник з катетами а і b і гіпотенузою c:

Гострий кут напроти сторони а позначимо A. З міркувань розмірності площа трикутника S пропорційна квадрату однієї із сторін, скажімо, гіпотенузи:

Висота h, опущена з прямого кута на гіпотенузу, розбиває трикутник на два йому подібних, причому їх гіпотенузи рівні а і b відповідно. Гострий кут кожного з цих трикутників рівний A, тому їх площі можуть бути виражені як

Підставляючи ці формули в очевидну рівність S₁ + S₂ = S і скорочуючи на загальний множник f(A), приходимо до шуканої теореми: