6.5 Моделювання випадкових процесів

Випадковий процес — це процес (тобто зміна в часі стану деякої системи чи об'єк­та), який розвивається під впливом якихось випадкових чинників і для якого зада­но ймовірнісні характеристики його протікання. До числа таких процесів можна віднести багато виробничих процесів, які супроводжуються випадковими флук­туаціями, а також процесів, з якими можна зустрітись у природничих науках, економіці, соціології тощо.

Моделювання будь-якого процесу, в тому числі і випадкового, полягає у від­творенні значень (величин) реалізації цього процесу. Випадковий стаціонарний процес задається значеннями математичного сподівання та автоковаріаційною або автокореляційною функцією. Для його моделювання скористаємось парамет­ричними моделями авторегресії, які широко застосовуються для аналізу часових рядів.

Авторегресійний процес к-го порядку з постійними коефіцієнтами визнача­ється рівнянням регресії

Значення процесу у будь-який момент часу t визначається через попе­редні значення та випадкове збурення e_t. На практиці звичайно використовують авторегресійні моделі процесів першого і другого порядку (процес Маркова і Юла-Уокера), автокореляційна функція яких є згасаючою (рис. 6.6).

Рис. 6.6. Автокореляційна функція стаціонарного процесу

Параметри процесу a₁, a₂, …, a_k визначаються через коефіцієнти автокореляції. Так, для процесу Юла

де ρ₁, ρ₂ — значення автокореляційної функції при зсувах 1 та 2.

Під час побудови рівняння авторегресії висуваються дві гіпотези. Перша — про стаціонарність процесу, друга — про те, що збудження е_t є випадковим проце­сом у широкому розумінні слова з нормальною функцією розподілу, нульовим математичним сподіванням і дисперсією σ². На рис. 6.7, а зображено графік ви­падкового процесу і нормальний розподіл збурення е_t (рис 6.7, б).

Рис. 6.7 Графіки випадкового процесу (а) і нормального розподілу збурення (б)

Процес у_t називається марківським, якщо для будь-яких моментів часу

t₁ <t₂<t₃< ... <t_n , умовна ймовірність значення y_t залежатиме від у_t-1 і не залежатиме від того, в якому стані процес знаходився в попередні моменти часу. Під час моделювання марківського стаціонарного процесу з параметрами М [у_t], ρ₁, σ² діють таким чином. За початковий член ряду можна взяти будь-яке значення ви­падкового процесу (тому що будь-яка частина стаціонарного процесу є повноцін­ним представником усього процесу і має ті ж імовірнісні характеристики), на­приклад у_t-1 = 0 або y_t-1 = М [ у_t]. За допомогою рівняння регресії розраховуємо значення у_t+1 при заданих а₀ = М [y_t] і a₁ = ρ₁ без урахування збурення е_t і моделюємо значення нормально розподіленої випадкової величини з математичним сподіванням, що дорівнює нулю, і дисперсією σ². Отримане значення додаємо до у_t-1 і таким чи­ном отримуємо нове значення реалізації випадкового процесу. Повторюємо про­цедуру для обчислення інших значень за рівнянням регресії, задаючи як початкове значення у_t тобто моделюємо у_t+1, ..., у_t+k . Така методика дає змогу моделювати випадкові стаціонарні процеси з будь-якими автокореляційними та багатомірними функціями розподілів.