5.3 Матриця головних перетинів довільної схеми

У матриці головних перетинів, як вже наголошувалося, стовпці належать хордам, а рядки – ребрам дерева графа. При побудові дерева графа зазвичай в ребрах групують:

• джерела напруги;

• конденсатори;

• резистори.

У хордах, як правило, залишаються:

• резистори;

• індуктивності;

• джерела струмів.

Візьмемо узагальнену матрицю головних перетинів і виділимо в ній стовпці і рядки, що належать конкретним елементам.

Тут - резистори, включені відповідно в хорди і ребра.

Враховуючи таке позначення, можна матрицю розбити на підматриці.

Індекси підматриць указують типи гілок, яким належать рядки і стовпці підматриці.

Сформоване вище правило побудови рівнянь струмів і напруги з використанням матриці можна розповсюдити і на випадок, коли ця матриця представлена підматрицями.

Підматриці, розташовані в рядку і узяті із зворотним знаком, є коефіцієнтами, що зв'язують вектор струму групи ребер, якій належить рядок, з вектором струму відповідних груп хорд. Наприклад:

Підматриці, розташовані уздовж стовпця деякої групи однотипних хорд, після транспортування є коефіцієнтами, що лінійно зв'язують вектор напруги цих хорд з вектором напруги відповідних груп ребер. Наприклад:

5.4 Формування матриці головних перетинів

Формування матриці проводиться в два етапи. На першому етапі по введених в ЕОМ даним ланцюга формується структурна матриця (матриця інциденцій). На другому етапі шляхом перетворення із структурної матриці будують матрицю .

5.4.1 Формування структурної матриці

Розглянемо побудову матриці на прикладі графа ланцюга, представленого на рис.5.3а. Складемо матрицю наступного вигляду. Припишемо стовпці матриці певним гілкам графа, а рядки – його вузлам. Дамо елементам цієї матриці наступні значення:

При нумерації гілок дотримуються наступної ієрархії: керовані джерела напруги, незалежні джерела напруги, ємкісні, резистивні, індуктивні елементи, незалежні джерела струму, керовані джерела струму.

Нумерація починається з гілок, що належать вищому ступеню ієрархії. Вичерпавши їх продовжать нумерацію, перейшовши до гілок наступного ступеня ієрархи і так далі, поки не буде пронумеровані всі гілки схеми. Саме так були пронумеровані гілки в графі на рис.5.3а. Для цього графа побудуємо наступну матрицю:

Кожен i - й рядок такої матриці показує, які гілки підключені до i - го вузла і який їх напрям щодо вузла; а кожен j - й стовпець указує, з якими вузлами сполучена j - а гілка.

Слід зазначити, що один з рядків матриці не є незалежним, він не несе інформації і може бути без наслідків вилучений з матриці. Викресливши в останній рядок, отримуємо:

Цю матрицю називають структурною і вона дає топологічний опис ланцюга. Оскільки рядки матриці указують гілки, підключені до відповідних вузлів, і їх напрям щодо вузлів, то перемножаючи рядки матриці на вектор струмів гілок , отримуємо алгебраїчну суму струмів у вузлах, рівну нулю (відповідно до ЗКC). Отже

Цей матричний запис відповідає наступній системі рівнянь: