5 Математична модель електричного ланцюга

5.1 Компонентні і топологічні рівняння електричного ланцюга

Математична модель будь-якого електричного ланцюга складається з компонентних і топологічних рівнянь цього ланцюга.

5.1.1 Компонентні рівняння

Ці рівняння відображають залежність між струмом і напругою для елемента схеми:

а) для лінійного резистивного елементу:

U_R(t)=Ri_R(t);

б) для лінійного індуктивного елементу:

U_L(t)=L ; i_L(t)=

в) для лінійного ємкісного елементу:

i_c(t)=c ; U_c(t)=

5.1.2 Топологичні рівняння

Ці рівняння характеризують спосіб з'єднання гілок, не відображаючи їх вмісту. Топологічні рівняння зазвичай будуються на законах Кирхгофа. Як відомо, є закон Кирхгофа для струмів ( ЗКС) і закон Кирхгофа для напруг (ЗКН). ЗКТ формулюється так: алгебраїчна сума струмів пов'язаних з вузлом, рівна нулю. На рис 5.1a. показаний вузол. Для нього ЗКС записується так:

і₁ + i₂ - i₃ = 0 ; (5.1)

Струми, які втікають в вузол мають один знак (наприклад, знак «+»), а струми, які витікають з вузла – протилежний.

ЗКН звучить так: в замкнутому контурі алгебраїчна сума напруг на елементах контура рівна алгебраїчній сумі ЕРС, діючих в цьому контурі. Якщо в контурі вісутні ЕРС, то алгебраїчна сума напруг на елементах контура рівна нулю. Для контура, зображеного на рис 5.1б. ЗКС записують так:

U₁ + U₃ - U₂ = 0 ; (5.2)

а) б)

Рис.5.1 Вузол і контур електричного ланцюга

Напруга, позитивний напрям якої співпадає з напрямом обходу контура, береться з одним знаком ( наприклад, з знаком «+»), а напруга, позитивний напрям якої протилежний напряму обхода контура, - з протилежним знаком.

Рівняння (5.1) і (5.2) не містить відомостей про те, які типи елементів включені в гілці і які їх параметри. Відомо, що якщо в схемі n- вузлів, то по ЗКC можна скласти (n-1) незалежних рівнянь. Для складання рівнянь по ЗКН в схемі повинні бути знайдені незалежні замкнуті контури, тобто такі контура, в кожному з яких є хоч би одна гілка, що не входить у всі інші контури. Пошук незалежних контурів для ланцюга з складною конфігурацією (топологією) є відносно великою трудністю. Щоб отримати топологічні рівняння кожну гілку електричного ланцюга представляють лінією, яка сполучає відповідні вузли. Виходить так званий граф ланцюга.

Приклад:

Рис.5.2 Електричний ланцюг і його граф

Вибір позитивного напряму струму і напруги на графі робиться довільно. При цьому вважається, що выбраное позитивний напрям струму одночасно є і позитивним напрямом напруги.

5.2 Матриця головних перетинів і її властивості

Візьмемо граф деякого ланцюга (рис. 5.3а).

Рис.5.3 Граф електричного ланцюга і його дерева

Сукупність гілок графа, в якій опиняються представленими всі вузли, але при цьому не утворюється жодного замкнутого контура, називають деревом графа. На рис 5.3б,в представлено два варіанти дерев графа, побудовані з графа ланцюга (можна побудувати і інші варіанти дерева). Гілки, що входять у вибране дерево називаються ребрами. Гілки, що не увійшли до вибраного дерева, називаються хордами. Таким чином, кожна гілка графа є або його ребром, або хордою.

Замкнута лінія, яка одноразово перетинає гілки деякої сукупності гілок графа і розділяє граф на дві незв'язані частини називається перетином. Якщо така лінія перетинає одне ребро, то перетин вважається головним. На рис. 5.4 показаний приклад побудови головних перетинів. Тут головним перетинам привласнена нумерація тих ребер, які входять в ці перетини.

Зазвичай ЗКС формулюється щодо вузлів, але його можна формулювати і щодо головних перетинів. ЗКС для перетинів звучить так: алгебраїчна сума струмів щодо головного перетину рівна нулю.

Дотримуючись такого формулювання ЗКС, отримуємо наступну систему рівнянь для головних перетинів, показаних на рис. 5.4.

Рис.5.4 Приклад побудови головних перетинів

або

(для головного перетину С₁);

(для головного перетину С₂);

(для главного сечения С₃);

(для головного перетину С₄);

(для головного перетину С₇).

Запишемо цю систему рівнянь в матричній формі:

Ввівши позначення для вхідних у вираз матриць, можна подібну систему рівнянь представити в загальному вигляді, справедливому для довільної схеми:

Матриця називається матрицею головних перетинів. Вона визначає зв'язок між струмами ребер і струмами хорд . Рядки матриці головних перетинів належать ребрам, а стовпці - хордам графа.

З матриці витікає не тільки система рівнянь по ЗКС, але і система рівнянь по ЗКН. Елементи стовпців матриці є коефіцієнтами, що лінійно зв'язують напругу хорд, відповідних стовпцям, з напругою ребер. Так, для вказаної вище матриці можна записати наступну систему рівнянь для ЗКН:

У матричній формі цю систему рівнянь можна записати так:

де - вектор напруги хорд; - транспонована матриця ;

- вектор напруги ребер.

Таким чином, матриця головних перетинів визначає повну систему топологічних рівнянь.