3.3 Побудова і аналіз математичних моделей

Початковим пунктом для побудови моделі, як правило, буває деяка емпірична реальна картина явища, яка висуває перед дослідником задачу, на яку потрібно знайти відповідь.

Основні етапи побудови і аналізу конкретних моделей представлено на рис. 3.4. Опишемо стисло ці етапи.

Етап 1. При з'ясуванні і постановці задачі на фізичному рівні проходить процес схематизації і ідеалізація явища (рис. 3.4), тобто виділення його істотних особливостей. Деякі риси явища можуть виявитися важливими, інші - неістотними.

Етап 2. Після виявлення істотних чинників потрібні дані перекладаються мовою математичних понять і величин : складаються системи визначальних параметрів явища, формулюються співвідношення між величинами і параметрами.

Це найважча стадія процесу моделювання. Тут досліднику доводиться часто спиратися на фундаментальні фізичні закони.

Етапи 3,4. Після побудови моделі (етап 3) слід проводити перевірку адекватності моделі явищу і логічній несуперечності або коректності постановки задачі. Так, можна використовувати вельми просте і завжди ефективне правило перевірки фізичної розмірності всіх членів рівнянь.

Реальне

явище

Перевірка несуперечливості моделі

Накопичення фактів, опис явищ

Рішення задачі, чисельний анализ, математичий прогноз

Постановка задачі, схематизація

Побудова математичної моделі Перевірка адекватності моделі

Рис.3.4 Етапи побудови і аналізу моделей

Етапи 3,4. Після побудови моделі (етап 3) слід проводити перевірку адекватності моделі явищу і логічній несуперечності або коректності постановки задачі. Так, можна використовувати вельми просте і завжди ефективне правило перевірки фізичної розмірності всіх членів рівнянь.

Етапи 5,6. Перевіряється справедливість моделі і результатам рішення теоретичної задачі відповідно до математичної моделі і зіставлення їх з реальною ситуацією, яка вивчається. Глибина віддзеркалення моделлю дійсності залежить від цілей дослідження.

Вид математичної моделі визначається не тільки природою реального об'єкту, але і тими завданнями, для вирішення яких будується модель, а також необхідною точністю їх рішень. Тому необхідні дослідження отриманої моделі з метою визначення області її найбільш ефективного використання при рішенні інженерної задачі і встановлення меж зміни змінних, в яких вона справедлива.

Розглянемо як приклад побудову моделі Сонячної системи.

Спостереження за зоряним небом почалися ще в глибокій старовині. Первинний аналіз цих спостережень дозволив виділити планети зі всієї різноманітності небесних світил. Отже, першим кроком було виявлення об'єкту дослідження. Іншим кроком стало виявлення закономірності руху планет, тобто «аксіом» гіпотетичної моделі. З початку була створена модель Птолемея ( II ст. до н.е.) – геоцентрична модель. У ній Сонце і планети рухалися навколо Землі. Ці рухи описувалися за допомогою правил (формул), але у міру накопичення результатів спостереження вони постійно ускладнювалися.

М.Копернік в 1543 році запропонував принципово нову модель Сонячної системи - геліоцентричну. У ній всі планети обертаються навколо Сонця. Проте ця модель ще не була математичною, поскільки не було параметрів моделі (швидкостей руху планет, параметрів орбіт і т.д).

У XVII ст. Кеплер сформулював закон руху планет. Вони описували кінематику руху кожної планети окремо, не стосуючись причин, що викликають це рух.

І. Ньютон в 2 - й половині XVII століття запропонував динамічну модель Сонячної системи. Вона базувалася на відкритому ним законі усесвітнього тяжіння. Динамічна модель Ньютона узгоджувалася з кінематичною моделлю Кеплера.

Проте в 40годах XIX ст.результаты динамічній моделі почали суперечити накопичені результати спостережень. Наприклад, рух планети Уран відхилявся від теоретично обчисленного руху на моделі. Це дозволило Леверьє в 1846г. передбачити нову планету – Нептун, яка впливає на рух планети Уран. Пізніше в тому місці, на яке указував Леверьє, дійсно була відкрита планета Нептун.

Так само була передбачена і пізніше відкрита в 1930р планета Плутон. Одночасно з відкриттям нових планет, удосконалювалася і модель Сонячної системи.

3.4 Компонентні і топологічні рівняння модельованого об'єкту.

Поведінку більшості фізичних систем можна охарактеризувати за допомогою фазових змінних. Фазова змінна ( ФЗ ) - це величина, що характеризує фізичний або інформаційний стан модельованого об'єкту. Так, в електричній системі ФЗ це струми і напруги, а в механічній системі – сили і швидкості.

Закони функціонування елементів системи задаються компонентними рівняннями. Вони описують зв'язок ФЗ різного типу для кожного елементу системи. Компонентні рівняння - це рівняння математичних моделей елементів системи. Вони можуть бути лінійними, нелінійними, алгебраїчними, диференціальними або інтегральними.

Кожен елемент модельованого об'єкту повинен мати компонентне рівняння. Для більшості елементів такі рівняння вже отримані, їх використовують при моделюванні. Наприклад, в гідравліці для дроселя є аналітичний вираз, який зв'язує витрату і тиск:

, де Р – тиск, Па;

Q – витрата, м³ /c;

m_г ^– коефіцієнт маси, кг/м⁴ ;

μ_г – коефіцієнт демпфування, Н*с/м.

Зв'язок між однорідними ФЗ, які відносяться до різних елементів в підсистемах, встановлюється топологічними рівняннями. Вони відображають топологію взаємозв'язків елементів. Їх отримують на основі даних про структуру системи. Приклади топологічних рівнянь : у електричних системах – рівняння на основі законів Кірхгофа ; у механічних системах – рівняння, що відображають принципи Д.Аламбера і додавання швидкостей і так далі. Очевидно, що процедура розробки топологічних рівнянь виконується для кожного моделюючого об'єкту, оскільки структури об'єктів різні.

Математичну модель системи отримують об'єднанням компонентних і топологічних рівнянь цієї системи.